SUCESOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES. PROBABILIDAD CONDICIONADA

Conocimientos previos

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Sucesos dependientes e independientes. Probabilidad condicionada: Enlace al vídeo

¿Qué son sucesos dependientes? ¿Qué son sucesos independientes? ¿qué es la probabilidad condicionada? ¿cómo calculo la probabilidad condicionada?

Imagina que tienes una baraja de cartas. Sacas una carta y luego, sin devolverla, sacas otra. La probabilidad de sacar un corazón en el segundo intento depende de lo que hayas sacado en el primero, ¿verdad? Esto es un ejemplo de sucesos dependientes.

Sucesos dependientes: Dos sucesos son dependientes cuando la ocurrencia de uno afecta la probabilidad de ocurrencia del otro.
Sucesos independientes: Dos sucesos son independientes cuando la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro. Por ejemplo, si lanzas una moneda dos veces, el resultado del primer lanzamiento no influye en el segundo.

Probabilidad Condicionada

La probabilidad condicionada es la probabilidad de que ocurra un evento, dado que otro evento ya ha ocurrido. Se denota como P(A|B), y se lee "probabilidad de A dado B".

Fórmula: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
- P(A ∩ B): Probabilidad de que ocurran ambos eventos A y B.
- P(B): Probabilidad de que ocurra el evento B.

Volviendo al ejemplo de las cartas, si A es el evento "sacar un corazón en el primer intento" y B es el evento "sacar un corazón en el segundo intento sin reposición", entonces P(B|A) sería la probabilidad de sacar un corazón en el segundo intento, sabiendo que ya sacamos un corazón en el primero. Evidentemente la probabilidad de sacar un corazón en el segundo intento depende de lo que ocurrió en el primero puesto que no devolvemos la primera carta a la baraja.

Relación entre Sucesos Dependientes e Independientes y Probabilidad Condicionada:

Sucesos independientes: Si A y B son independientes, entonces P(A|B) = P(A). Es decir, la probabilidad de A no se ve afectada por B.
Sucesos dependientes: Si A y B son dependientes, entonces P(A|B) ≠ P(A). La probabilidad de A cambia dependiendo de si B ha ocurrido o no.

En resumen:

Dependencia: La ocurrencia de un evento influye en la probabilidad de otro.
Independencia: La ocurrencia de un evento no influye en la probabilidad de otro.
Probabilidad Condicionada: Mide la probabilidad de un evento dado que otro ya ocurrió.

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EXÁMENES DE PAU DE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC. SS. II

Andalucía Junio 2024 (Convocatoria Ordinaria) Ejercicio 5 Apartado a: Enlace al vídeo

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EXÁMENES DE PAU DE MATEMÁTICAS II

PAU Madrid Convocatoria Ordinaria 2024 - Matemáticas II

PAU Madrid Convocatoria Ordinaria 2024

Ejercicio B4.

Tenemos dos dados no trucados de seis caras. Denotamos por $A$ la puntuación obtenida en el dado azul y por $R$ la obtenida en el dado rojo. Las caras están numeradas del 1 al 6.

La puntuación total $S$ se calcula de la siguiente manera:

Si el número $A$ es impar, $S = A + R$ .
Si el número $A$ es par, $S = A + 2 R$ .

Se pide:

(a) Calcular la probabilidad de obtener una puntuación de 10 y la probabilidad de obtener una puntuación impar.
(b) Calcular:
- la probabilidad de haber obtenido un número par en el dado azul, dado que la puntuación total ha sido 8;
- y la probabilidad de haber obtenido un número impar en el dado rojo, dado que la puntuación total es par.

Solución

B4 (b):

Ahora analizaremos dos probabilidades condicionales.

(i) Probabilidad de que $A$ sea par dado que $S = 8$ :

Recordemos que la puntuación $S$ se define por:

Si $A$ es impar, $S = A + R$ .
Si $A$ es par, $S = A + 2 R$ .

Primero, determinamos los resultados (pares $(A, R)$ ) que dan $S = 8$ .

Caso 1: $A$ es impar y $S = A + R = 8$ . Los posibles valores impares de $A$ son $1, 3, 5$ :

$A = 1$ ⟹ $R = 7$ (no válido, ya que $R \leq 6$ ).
$A = 3$ ⟹ $R = 5$ (válido).
$A = 5$ ⟹ $R = 3$ (válido).

Caso 2: $A$ es par y $S = A + 2 R = 8$ . Los posibles valores pares de $A$ son $2, 4, 6$ :

$A = 2$ ⟹ $2 R = 8 - 2 = 6$ ⟹ $R = 3$ (válido).
$A = 4$ ⟹ $2 R = 8 - 4 = 4$ ⟹ $R = 2$ (válido).
$A = 6$ ⟹ $2 R = 8 - 6 = 2$ ⟹ $R = 1$ (válido).

En total, los resultados que dan $S = 8$ son:

(Caso 1) $(A, R) = (3, 5)$ y $(5, 3)$ .
(Caso 2) $(A, R) = (2, 3), (4, 2), (6, 1)$ .

Por lo tanto, hay $2 + 3 = 5$ resultados con $S = 8$ . De estos, los casos en que $A$ es par corresponden a los 3 resultados del Caso 2. Así, la probabilidad condicional es: $P (A par | S = 8) = \frac{3}{5} .$

(ii) Probabilidad de que $R$ sea impar dado que $S$ es par:

Para determinar esta probabilidad, primero contemos el total de resultados con $S$ par, y luego, de ellos, aquellos en los que $R$ es impar.

Caso 1: Si $A$ es impar, $S = A + R$ es par cuando la suma de $A$ (impar) y $R$ es par; esto ocurre si $R$ es impar (ya que impar + impar = par). Los posibles $A$ impares son ${1, 3, 5}$ y $R$ impar toma valores en ${1, 3, 5}$ . Por lo tanto, hay $3 \times 3 = 9$ resultados.

Caso 2: Si $A$ es par, $S = A + 2 R$ es siempre par (pues $A$ par + $2 R$ par = par). Los posibles $A$ pares son ${2, 4, 6}$ y $R$ puede ser cualquiera de los 6 números. Por lo tanto, hay $3 \times 6 = 18$ resultados en este caso. De estos, los casos donde $R$ es impar corresponden a $R \in {1, 3, 5}$ : $3 \times 3 = 9$ resultados.

Así, el total de resultados con $S$ par es $9$ (caso 1) $+ 18$ (caso 2) = $27$ resultados, y los que tienen $R$ impar son $9$ (caso 1) $+ 9$ (caso 2) = $18$ resultados.

Por lo tanto, la probabilidad condicional es: $P (R impar | S par) = \frac{18}{27} = \frac{2}{3} .$

Conclusión (b):
$P (A par | S = 8) = \frac{3}{5}$ y $P (R impar | S par) = \frac{2}{3}$ .

Problema 7 - Estadística: Independencia y probabilidad condicional

EBAU La Rioja Convocatoria Ordinaria 2024

Problema 7

El 60% de los habitantes de una población consume pan integral, el 40% consume pan blanco y el 20% consume ambos tipos de pan.

(a) (0,5 p.) ¿Son independientes los sucesos “consumir pan integral” y “consumir pan blanco”?

(b) (0,5 p.) Sabiendo que un habitante consume pan integral, ¿cuál es la probabilidad de que consuma pan blanco?

(c) (0,75 p.) Calcule el porcentaje de la población que no consume ninguno de los dos tipos de pan.

(d) (0,75 p.) Sabiendo que un habitante no consume pan integral, ¿cuál es la probabilidad de que consuma pan blanco?

Solución

Parte (a): Comprobación de la independencia de los sucesos.

Sean $I$ el suceso "consumir pan integral" y $B$ el suceso "consumir pan blanco". Las probabilidades dadas son:

P (I) = 0.6, P (B) = 0.4, P (I \cap B) = 0.2 .

Dos sucesos son independientes si se cumple que:

P (I \cap B) = P (I) \cdot P (B) .

Calculamos $P (I) \cdot P (B)$ :

P (I) \cdot P (B) = 0.6 \cdot 0.4 = 0.24 .

Como $P (I \cap B) = 0.2 \neq 0.24$ , los sucesos no son independientes.

Parte (b): Probabilidad condicional.

La probabilidad de que un habitante consuma pan blanco, dado que consume pan integral, es:

P (B | I) = \frac{P (B \cap I)}{P (I)} = \frac{0.2}{0.6} = \frac{1}{3} \approx 0.3333 .