POSICIÓN RELATIVA DE UN PUNTO Y UNA RECTA Y DE UN PUNTO Y UN PLANO
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¿Cómo hallo la posición relativa de un punto y una recta? ¿Y de un punto y un plano?
Posición relativa de un punto y una recta:
Si las coordenadas del punto cumplen alguna de las ecuaciones de la recta entonces el punto pertenece a la recta, en caso contrario no pertenece a la recta.
Posición relativa de un punto y un plano:
Si las coordenadas del punto cumplen alguna de las ecuaciones del plano entonces el punto pertenece al plano, en caso contrario no pertenece al plano.
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exámenes de pau de matemáticas ii
EBAU Región de Murcia Junio 2024
Problema 6
Considere las siguientes rectas:
Recta \(r\): \[ x+2y=13,\quad z=2. \]
Recta \(s\): \[ y+2z=4,\quad -x+y=3. \]
a) Compruebe que ambas rectas se cruzan en el espacio. b) Compruebe que el punto \(P(0,3,0)\) no está en ninguna de las dos rectas. c) Calcule la ecuación del plano (en cualquiera de sus formas) que contiene al punto \(P\) y es paralelo a ambas rectas.
Solución
Apartado b: Comprobación de que el punto \(P(0,3,0)\) no pertenece a ninguna de las rectas
Para la recta \(r\), las ecuaciones son \(x+2y=13\) y \(z=2\). Evaluando en \(P(0,3,0)\):
- \(0+2\cdot3=6\), que no es igual a 13.
- \(z=0\) en \(P\) pero en \(r\) se requiere \(z=2\).
Como el punto no cumple ninguna de las dos ecuaciones concluimos que no pertenece a \(r\)
Para la recta \(s\), las ecuaciones son \(y+2z=4\) y \(-x+y=3\). Evaluando en \(P(0,3,0)\):
- \(3+2\cdot0=3\), que no es igual a 4.
- \(-0+3=3\) se cumple, pero basta con que falle una condición para concluir que \(P\) no pertenece a \(s\).
Por tanto el punto no pertence a ninguna de las dos rectas.