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POSICIÓN RELATIVA DE UN PUNTO Y UNA RECTA Y DE UN PUNTO Y UN PLANO

Conocimientos previos

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Posición relativa de un punto y una recta y de un punto y un plano: Enlace al vídeo

¿Cómo hallo la posición relativa de un punto y una recta? ¿Y de un punto y un plano?

Posición relativa de un punto y una recta:

Si las coordenadas del punto cumplen alguna de las ecuaciones de la recta entonces el punto pertenece a la recta, en caso contrario no pertenece a la recta.

Posición relativa de un punto y un plano:

Si las coordenadas del punto cumplen alguna de las ecuaciones del plano entonces el punto pertenece al plano, en caso contrario no pertenece al plano.

PROBLEMAS/ejercicios RESUELTOS: vídeos y pdf para descargar

exámenes de pau de matemáticas ii

Problema 6 - EBAU Región de Murcia Junio 2024

EBAU Región de Murcia Junio 2024

Problema 6

Considere las siguientes rectas:

Recta $r$ : $x + 2 y = 13, z = 2.$

Recta $s$ : $y + 2 z = 4, - x + y = 3.$

a) Compruebe que ambas rectas se cruzan en el espacio. b) Compruebe que el punto $P (0, 3, 0)$ no está en ninguna de las dos rectas. c) Calcule la ecuación del plano (en cualquiera de sus formas) que contiene al punto $P$ y es paralelo a ambas rectas.

Solución

Apartado b: Comprobación de que el punto $P (0, 3, 0)$ no pertenece a ninguna de las rectas

Para la recta $r$ , las ecuaciones son $x + 2 y = 13$ y $z = 2$ . Evaluando en $P (0, 3, 0)$ :

$0 + 2 \cdot 3 = 6$ , que no es igual a 13.
$z = 0$ en $P$ pero en $r$ se requiere $z = 2$ .

Como el punto no cumple ninguna de las dos ecuaciones concluimos que no pertenece a $r$

Para la recta $s$ , las ecuaciones son $y + 2 z = 4$ y $- x + y = 3$ . Evaluando en $P (0, 3, 0)$ :

$3 + 2 \cdot 0 = 3$ , que no es igual a 4.
$- 0 + 3 = 3$ se cumple, pero basta con que falle una condición para concluir que $P$ no pertenece a $s$ .

Por tanto el punto no pertence a ninguna de las dos rectas.