RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL
Conocimientos previos
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Recta tangente y recta normal a la gráfica de una función en un punto: Enlace al vídeo
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¿qué es la recta tangente? ¿cómo hallo la recta tangente?
- Recta tangente: La recta tangente a la gráfica de una función en un punto es la recta que pasa por ese punto y cuya pendiente es la derivada de la función en ese punto, es decir, .
- Recta normal: La recta normal a la gráfica de una función en un punto es la recta que pasa por ese punto y es perpendicular a la recta tangente en ese punto. La pendiente de la recta normal es el inverso negativo de la pendiente de la recta tangente, es decir, .
- Ecuación de la recta tangente:
La ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto se puede encontrar usando la fórmula punto-pendiente:
y - f(a) = f'(a)(x - a)
- Ecuación de la recta normal:
La ecuación de la recta normal a la gráfica de una función en un punto se puede encontrar usando la siguiente fórmula:
y - f(a) = (-1\f'(a))(x - a)
PROBLEMAS/ejercicios RESUELTOS: vídeos y pdf para descargar
exámenes de pau de matemáticas aplicadas a las cc. ss. ii
- Andalucía Junio 2024 (Convocatoria Ordinaria Examen suplente) Ejercicio 3 Apartado b: Enlace al vídeo
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exámenes de pau de matemáticas ii
- Andalucía Junio 2024 (Convocatoria Ordinaria) Ejercicio 1 Apartado b: Enlace al vídeo
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Sea la función f:(0,+∞)→R definida por f(x)=ln(x), donde ln denota la función logaritmo neperiano, y los puntos de su gráfica A(1,0) y B(e,1).
a) Determina, si existen, los puntos de la gráfica de f en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta que pasa por los puntos A y B.
b) Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función en el punto A.
PAU Madrid Convocatoria Ordinaria 2024
Problema A2
Sea la función \[ f(x)=x^4+\pi x^3+\pi^2x^2+\pi^3x+\pi^4. \]
Se pide:
- (a) [0.5 puntos] Calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(f\) en \(x=\pi\).
- (b) [1 punto] Probar que \(f\) tiene, al menos, un punto con derivada nula en el intervalo \((-\pi,0)\) utilizando, justificadamente, el teorema de Rolle, y volver a probar la misma afirmación utilizando, adecuadamente, el teorema de Bolzano.
- (c) [1 punto] Sea \(g(x)=f(-x)\); calcular el área entre las gráficas de \(f(x)\) y \(g(x)\) en el intervalo \([0,\pi]\).
Solución
Paso 1 (a): Cálculo de la recta tangente
Sea \[ f(x)=x^4+\pi x^3+\pi^2x^2+\pi^3x+\pi^4. \]
Evaluamos \(f\) en \(x=\pi\):
\[ f(\pi)=\pi^4+\pi\pi^3+\pi^2\pi^2+\pi^3\pi+\pi^4=5\pi^4. \]
La derivada de \(f\) es:
\[ f'(x)=4x^3+3\pi x^2+2\pi^2x+\pi^3. \]
Evaluamos en \(x=\pi\):
\[ f'(\pi)=4\pi^3+3\pi\pi^2+2\pi^2\pi+\pi^3=(4+3+2+1)\pi^3=10\pi^3. \]
Por tanto, la recta tangente en \(x=\pi\) tiene pendiente \(10\pi^3\) y pasa por \((\pi,5\pi^4)\). Su ecuación es:
\[ y-5\pi^4=10\pi^3(x-\pi). \]
EBAU La Rioja Convocatoria Ordinaria 2024
Problema 1
Escribe, si existen, las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva \( f(x) = |x| \exp(-x) \) en los puntos de abcisa \( x = 0 \) y \( x = -1 \).
Solución
Caso 1: \( x = 0 \)
La función tiene dos expresiones, dependiendo del signo de \( x \):
\[ f(x) = \begin{cases} x \exp(-x) & \text{si } x \geq 0, \\ -x \exp(-x) & \text{si } x < 0. \end{cases} \]Evaluamos la derivada desde la derecha y la izquierda:
Para \( x > 0 \), derivamos \( f(x) = x \exp(-x) \) usando la regla del producto:
\[ f'(x) = \exp(-x) - x \exp(-x). \]Evaluamos en \( x = 0 \):
\[ f'(0^+) = \exp(0) - 0 \cdot \exp(0) = 1. \]Para \( x < 0 \), derivamos \( f(x) = -x \exp(-x) \) también usando la regla del producto:
\[ f'(x) = -\exp(-x) + x \exp(-x). \]Evaluamos en \( x = 0 \):
\[ f'(0^-) = -\exp(0) + 0 \cdot \exp(0) = -1. \]Como las derivadas laterales no coinciden, no existe derivada en \( x = 0 \), así pues no existe la recta tangente en \( x = 0 \).
Resultado: No existe la recta tangente en \( x = 0 \).
Caso 2: \( x = -1 \)
Evaluamos la función en \( x = -1 \):
\[ f(-1) = -(-1) \exp(-(-1)) = \exp(1) = e. \]Por lo tanto, \( f(-1) = e \), lo que nos da la ordenada del punto de tangencia.
Derivamos y evaluamos en \( x = -1 \):
\[ f'(-1) = -\exp(1) + (-1) \cdot \exp(1) = -e - e = -2e. \]La ecuación de la recta tangente es: \[ y - f(-1) = f'(-1) (x - (-1)). \]
Sustituimos \( f(-1) = e \), \( f'(-1) = -2e \) y \( x_0 = -1 \) en la ecuación de la recta tangente:
\[ y - e = -2e (x + 1). \]Simplificamos:
\[ y = -2e x - 2e + e = -2e x - e. \]Resultado: La recta tangente en \( x = -1 \) es \( y = -2e x - e \).