DISCUSIÓN DE Sistemas de ecuaciones lineales por el método de LOS DETERMINANTES
Conocimientos previos
- Método de los determinantes para hallar el rango de una matriz.
- Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales.
- Teorema del rango o de Rouché-Frobenius.
concepto y ejemplos: vídeo y pdf para descargar
Caso 1 - Sistemas compatibles determinados: Enlace al vídeo 1
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Caso 2 - Sistemas compatibles indeterminados: Enlace al vídeo 2
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Caso 3 - Sistemas incompatibles: Enlace al vídeo 3
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¿Cómo discuto un sistema de ecuaciones lineales usando determinantes?
El método de los determinantes es un método algebraico para discutir sistemas de ecuaciones lineales (SEL), basado en las propiedades de los determinantes. Se aplica principalmente a sistemas con el mismo número de ecuaciones e incógnitas.
Para entender mejor la forma de estudiar si un sistema de ecuaciones lineales es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible te recomiendo ver los vídeos de más arriba donde se estudia cada uno de los casos.
PROBLEMAS/ejercicios RESUELTOS: vídeos y pdf para descargar
exámenes de pau de matemáticas aplicadas a las cc. ss. ii
exámenes de pau de matemáticas ii
- Andalucía Junio 2024 (Convocatoria Ordinaria) Ejercicio 6 Apartado a: Enlace al vídeo
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Considera el sistema:
Ecuación 1: y + z = 1
Ecuación 2: (k-1)x + y + z = k
Ecuación 3: x + (k-1)y +z = 0
a) Discute el sistema según los valores de k.
b) Para k = 1 resuelve el sistema, si es posible. ¿Hay alguna solución en la que y=0? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.
ABAU Galicia Convocatoria Ordinaria 2024
Pregunta 2. Números y Álgebra. (2 puntos)
Discuta, según los valores del parámetro \(m\), el siguiente sistema: \[ \begin{cases} mx + (m+2)y + z = 3, \\ 2mx + 3my + 2z = 5, \\ (m-4)y + mz = m. \end{cases} \]
Solución
Paso 1: Escribimos el sistema de ecuaciones en forma matricial \(AX = B\):
\[ \begin{pmatrix} m & m+2 & 1 \\ 2m & 3m & 2 \\ 0 & m-4 & m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ m \end{pmatrix} \]
Paso 2: Hallamos el determinante de la matriz de coeficientes \(A\):
\[ \det(A) = \begin{vmatrix} m & m+2 & 1 \\ 2m & 3m & 2 \\ 0 & m-4 & m \end{vmatrix} = m \begin{vmatrix} 3m & 2 \\ m-4 & m \end{vmatrix} - (m+2) \begin{vmatrix} 2m & 2 \\ 0 & m \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 2m & 3m \\ 0 & m-4 \end{vmatrix} \] \[ = m(3m^2 - 2(m-4)) - (m+2)(2m^2 - 0) + (2m(m-4) - 0) \] \[ = m(3m^2 - 2m + 8) - 2m^3 - 4m^2 + 2m^2 - 8m \] \[ = 3m^3 - 2m^2 + 8m - 2m^3 - 4m^2 + 2m^2 - 8m = m^3 - 4m^2 = m^2(m-4) \]
Paso 3: Determinamos los valores de \(m\) para los que \(\det(A) = 0\):
\[ m^2(m-4) = 0 \implies m = 0 \text{ (raíz doble) o } m = 4 \]
Paso 4: Si \(m \neq 0\) y \(m \neq 4\), entonces \(\det(A) \neq 0\), y por el Teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible determinado.
Paso 5: Analizamos el caso \(m = 0\). El sistema se reduce a:
\[ \begin{cases} 2y + z = 3, \\ 2z = 5, \\ -4y = 0. \end{cases} \]
De la tercera ecuación, \(y = 0\). De la segunda ecuación, \(z = \frac{5}{2}\). Sustituyendo en la primera ecuación: \[ 2(0) + \frac{5}{2} = \frac{5}{2} \neq 3. \] El sistema es incompatible para \(m = 0\).
En forma matricial para \(m=0\), la matriz ampliada es: \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 5 \\ 0 & -4 & 0 & 0 \end{array} \right) \] El rango de la matriz de coeficientes es 2 (por ejemplo, \(\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 4 \neq 0\)). Consideramos el determinante formado por las columnas 2, 3 y la columna de términos independientes de la matriz ampliada: \[ \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 5 \\ -4 & 0 & 0 \end{vmatrix} = -4 \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = -4(5-6) = 4 \neq 0. \] Por lo tanto, el rango de la matriz ampliada es 3. Como el rango de la matriz de coeficientes (2) es diferente del rango de la matriz ampliada (3), el sistema es incompatible para \(m=0\).
Paso 5: Analizamos el caso \(m = 4\).
En forma matricial para \(m=4\), la matriz ampliada es:
\[ \left( \begin{array}{ccc|c} 4 & 6 & 1 & 3 \\ 8 & 12 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 4 & 4 \end{array} \right) \] El rango de la matriz de coeficientes es 2 (por ejemplo, \(\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} = 16 \neq 0\)). Consideramos el determinante formado por las columnas 1, 3 y la columna de términos independientes de la matriz ampliada: \[ \begin{vmatrix} 4 & 1 & 3 \\ 8 & 2 & 5 \\ 0 & 4 & 4 \end{vmatrix} = 4 \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 4 & 4 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 8 & 5 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 8 & 2 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} = 4(8-20) - 1(32) + 3(32) = -48 - 32 + 96 = 16 \neq 0. \] Por lo tanto, el rango de la matriz ampliada es 3. Como el rango de la matriz de coeficientes (2) es diferente del rango de la matriz ampliada (3), el sistema es incompatible para \(m=4\).Conclusión:
El sistema es:
- Compatible determinado si \(m \neq 0\) y \(m \neq 4\).
- Incompatible si \(m = 0\).
- Incompatible si \(m = 4\).
EBAU Castilla y León Convocatoria Ordinaria 2024
Problema 1
(Álgebra)
(a) Discutir el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro \(a \in \mathbb{R}\):
\[ \begin{cases} x + \frac{y}{2} + z = 0 \\ 2ax + y = 0 \\ 2x + y + az = 0 \end{cases} \](1,2 puntos)
(b) Resolver el sistema para \(a = 1\). (0,8 puntos)
Solución
Parte (a): Discusión del sistema según \(a \in \mathbb{R}\).
Escribimos el sistema en forma matricial:
\[ A \cdot \mathbf{x} = \mathbf{b}, \] donde: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & 1 \\ 2a & 1 & 0 \\ 2 & 1 & a \end{pmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}. \]Para discutir el sistema, hallamos el determinante de la matriz de coeficientes \(A\):
\[ \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & \frac{1}{2} & 1 \\ 2a & 1 & 0 \\ 2 & 1 & a \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & a \end{vmatrix} - \frac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} 2a & 0 \\ 2 & a \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 2a & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}. \]Calculamos los determinantes menores:
\[ \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & a \end{vmatrix} = a, \quad \begin{vmatrix} 2a & 0 \\ 2 & a \end{vmatrix} = 2a^2, \quad \begin{vmatrix} 2a & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 2a - 2. \]Por lo tanto, el determinante es:
\[ \det(A) = a - \frac{1}{2} \cdot 2a^2 + (2a - 2) = -a^2 + 3a - 2. \]Este determinante es un polinomio cuadrático en \(a\). Para discutir el sistema, encontramos los valores de \(a\) para los cuales \(\det(A) = 0\):
\[ -a^2 + 3a - 2 = 0 \quad \Longrightarrow \quad a = 1 \quad \text{y} \quad a = 2. \]Por lo tanto, discutimos el sistema en los siguientes casos:
- Si \(a = 1\) o \(a = 2\), el sistema es compatible indeterminado, ya que \(\det(A) = 0\) y el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada y menor que el número de incógnitas.
- Si \(a \neq 1\) y \(a \neq 2\), el sistema es compatible determinado, ya que \(\det(A) \neq 0\) y el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada e igual al número de incógnitas.