DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE Sistemas de ecuaciones lineales por el método de gauss

Conocimientos previos

concepto y ejemplos

Caso 1 - Sistemas compatibles determinados: Enlace al vídeo 1

Caso 2 - Sistemas compatibles indeterminados: Enlace al vídeo 2

Caso 3 - Sistemas incompatibles: Enlace al vídeo 3

El método de Gauss, también conocido como eliminación gaussiana, es un algoritmo fundamental para resolver sistemas de ecuaciones lineales (SEL). Es un procedimiento sistemático que permite obtener las soluciones del sistema, ya sea que este sea compatible determinado (una solución única), compatible indeterminado (infinitas soluciones) o incompatible (sin soluciones).

Pasos generales del método de Gauss:

Escribir el sistema de ecuaciones en forma matricial: Expresar el sistema como la ecuación AX = b o (A|b), donde A es la matriz de coeficientes, X es la matriz de incógnitas y b es la matriz de términos independientes.
Escalonar la matriz A: Mediante operaciones elementales entre filas, se transforma la matriz A en una matriz triangular superior o escalonada.
Sustitución regresiva: Se resuelve el sistema de ecuaciones escalonado por sustitución, comenzando por la última ecuación y subiendo hasta la primera.

Discusión de la compatibilidad y tipo de solución:

Sistema compatible determinado: Si el rango de la matriz A es igual al rango de la matriz ampliada (AIb) (y este rango es igual al número de incógnitas), el sistema tiene una única solución.
Sistema compatible indeterminado: Si el rango de la matriz A es igual al rango de la matriz ampliada (A|b) (y este rango es menor que el número de incógnitas), el sistema tiene infinitas soluciones.
Sistema incompatible: Si el rango de la matriz A es diferente al rango de la matriz ampliada (A|b), el sistema no tiene soluciones.

PROBLEMAS RESUELTOS

exámenes de pau de matemáticas aplicadas a las cc. ss. ii

exámenes de pau de matemáticas ii

Andalucía Junio 2024 (Convocatoria Ordinaria) Ejercicio 6 Apartado b: Enlace al vídeo

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Problema B.1.c - Resolución de Sistema Lineal

PAU Madrid Convocatoria Ordinaria 2024

Ejercicio B1.

Consideremos las matrices reales \[ A=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix} b & 2b & b \\ 2b & 3b & b \\ b & b & b \end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}, \] con \(b\neq 0\).

Se pide:

(a) Encontrar todos los valores de \(b\) para los que se verifica \[ B\,C\,B^{-1}=A. \]
(b) Calcular el determinante de la matriz \(AA^t\).
(c) Resolver el sistema \[ B\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\-1\\1 \end{pmatrix} \] para \(b=1\).

Solución del apartado c)

Paso 1: Escribimos el sistema de ecuaciones en forma matricial

Matriz ampliada: \[ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right] \]

Paso 2: Aplicamos Gauss para obtener ceros por debajo de las cabeceras de fila

Operaciones:

Fila 2 ← Fila 2 - 2 × Fila 1:
Fila 3 ← Fila 3 - Fila 1:

Fila 2 ← -1 × Fila 2:
Fila 3 ← Fila 3 + Fila 2:

Paso 3: Depejamos las incógnitas

De la Fila 3: \( z = 5 \).
De la Fila 2: \( y + 5 = 7 \implies y = 2 \).
De la Fila 1: \( x + 2(2) + 5 = 3 \implies x = -6 \).

Solución:

\[ \boxed{x = -6,\quad y = 2,\quad z = 5} \]

Verificación

\( 1(-6) + 2(2) + 1(5) = 3 \) ✔️
\( 2(-6) + 3(2) + 1(5) = -1 \) ✔️
\( 1(-6) + 1(2) + 1(5) = 1 \) ✔️

Problema 5 - Matriz A^-1b

EBAU La Rioja Convocatoria Ordinaria 2024

Problema 5

Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real \(a\):

\[ \begin{cases} x - y + az = a, \\ ax + y - z = a, \\ (a + 1)x + z = a + 2, \end{cases} \]

halla la matriz \(A^{-1}b\) sin calcular la matriz inversa de \(A\), siendo \(A\) la matriz de coeficientes y \(b\) la de términos independientes.

Solución

Paso 1: Sistema en forma matricial

Escribimos el sistema de ecuaciones en forma matricial \(Ax = b\), donde \(A\) es la matriz de coeficientes, \(x\) es el vector incógnita, y \(b\) es el vector de términos independientes:

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & a \\ a & 1 & -1 \\ a+1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad x = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} a \\ a \\ a+2 \end{pmatrix}. \]

Paso 2: Calcular el determinante de la matriz \(A\)

Para determinar si es posible calcular la inversa de la matriz \(A\), primero hallamos el determinante de \(A\). Recordemos que si el determinante es cero, la matriz no tiene inversa.

El determinante de una matriz \(3 \times 3\) se calcula expandiendo por cofactores:

\[ \text{det}(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} a & -1 \\ a+1 & 1 \end{vmatrix} + a \cdot \begin{vmatrix} a & 1 \\ a+1 & 0 \end{vmatrix}. \] Calculamos cada determinante menor: \[ \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1, \quad \begin{vmatrix} a & -1 \\ a+1 & 1 \end{vmatrix} = a - (-a-1) = 2a+1, \quad \begin{vmatrix} a & 1 \\ a+1 & 0 \end{vmatrix} = a \cdot 0 - 1 \cdot (a+1) = -a-1. \] Sustituimos estos valores en la fórmula del determinante: \[ \text{det}(A) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (2a+1) + a \cdot (-a-1) = 1 + 2a + 1 - a^2 - a = -a^2 + a + 2. \] Por lo tanto, el determinante es: \[ \text{det}(A) = -a^2 + a + 2. \]

Paso 3: Análisis de los valores de \(a\) que anulan el determinante

El determinante de \(A\) se anula cuando:

\[ -a^2 + a + 2 = 0. \]

Resolvemos esta ecuación de segundo grado utilizando la fórmula general:

Las soluciones son \(a = 2\) y \(a = -1\). En estos valores de \(a\), la matriz \(A\) no tiene inversa y, por lo tanto, no se puede hallar \(A^{-1}b\).

Paso 4: Resolver el ejercicio para todos los demás valores de \(a\)

Para valores de \(a\) distintos de \(2\) y \(-1\), el determinante es diferente de cero y podemos resolver el sistema mediante el método de eliminación gaussiana para hallar \(A^{-1}b\) sin calcular la inversa explícitamente. Aplicamos eliminación de Gauss al sistema \(Ax=b\).

Paso 5: Aplicar eliminación de Gauss

Vamos a utilizar el método de eliminación de Gauss para resolver el sistema. El objetivo es transformar la matriz aumentada \([A|b]\) en una forma escalonada.

Subpaso 5.1: Operar con la primera fila

El sistema aumentado inicial es:

\[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & a & a \\ a & 1 & -1 & a \\ a+1 & 0 & 1 & a+2 \end{array} \right). \]

Restamos \( a \) veces la primera fila a la segunda fila (\(F_2 \to F_2 - aF_1\)) y \( (a+1) \) veces la primera fila a la tercera fila (\(F_3 \to F_3 - (a+1)F_1\)):

\[ \begin{aligned} F_2 &\to F_2 - aF_1 \\ F_3 &\to F_3 - (a+1)F_1 \end{aligned} \] Esto nos da: \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & a & a \\ 0 & 1+a & -1-a^2 & a - a^2 \\ 0 & a+1 & -a^2-a+1 & 2-a^2 \end{array} \right). \]

Subpaso 5.2: Operar con la tercera fila

Restamos la segunda fila a la tercera fila (\(F_3 \to F_3 - F_2\)):

\[ F_3 \to F_3 - F_2. \] Esto nos da el siguiente sistema aumentado: \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & a & a \\ 0 & a+1 & -a^2-1 & a - a^2 \\ 0 & 0 & (-a^2-a+1) - (-a^2-1) & (2-a^2) - (a - a^2) \end{array} \right). \]

Subpaso 5.3: Simplificar la tercera fila

Simplificamos el elemento \( (3,3) \) y \( (3,4) \):

\[ \begin{aligned} (-a^2-a+1) - (-a^2-1) &= -a^2 - a + 1 + a^2 + 1 = 2 - a \\ (2-a^2) - (a - a^2) &= 2 - a^2 - a + a^2 = 2 - a \end{aligned} \] El sistema se reduce a: \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & a & a \\ 0 & a+1 & -a^2-1 & a - a^2 \\ 0 & 0 & 2-a & 2-a \end{array} \right). \]

Ahora podemos resolver el sistema triangular para valores de \(a\) distintos de \(2\) y \(-1\).

Paso 6: Resolución del sistema

El sistema escalonado es:

\[ \begin{cases} (2-a)z = 2-a, \\ (a+1)y + (-a^2-1)z = a - a^2, \\ x - y + az = a. \end{cases} \]

De la primera ecuación, si \(a \neq 2\), despejamos \(z\):

\[ z = \frac{2-a}{2-a} = 1. \] Sustituimos \( z = 1 \) en la segunda ecuación para despejar \( y \), si \(a \neq -1\): \[ (a+1)y - (a^2+1) = a - a^2 \implies (a+1)y = a - a^2 + a^2 + 1 = a + 1 \implies y = \frac{a+1}{a+1} = 1. \] Finalmente, sustituimos \( y = 1 \) y \( z = 1 \) en la tercera ecuación para despejar \( x \): \[ x - 1 + a = a \implies x = 1. \]

Por lo tanto, para \(a \neq 2\) y \(a \neq -1\), la solución única del sistema es:

\[ x = 1, \quad y = 1, \quad z = 1. \]

Conclusión

El vector \( x = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) es la solución de \( A^{-1}b \) para todos los valores de \(a\) distintos de \( 2 \) y \( -1 \).