SISTEMAS DE ECUACIONES HOMOGÉNEOS
Conocimientos previos
- Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales.
- Teorema del rango o de Rouché-Frobenius.
- Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss.
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¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales homogéneo?
Los sistemas de ecuaciones lineales homogéneos son un tipo especial de sistemas de ecuaciones lineales en el que todos los términos independientes son iguales a cero. Esto significa que las ecuaciones del sistema solo tienen variables, sin un valor constante al que igualar.
Propiedades de los sistemas de ecuaciones homogéneos:
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Siempre tienen al menos una solución: La solución trivial, donde todas las incógnitas valen cero , siempre cumple las ecuaciones homogéneas.
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Si un sistema homogéneo tiene una solución no trivial (distinta a la trivial) entonces tiene infinitas soluciones. Esto significa que, si se encuentra una solución no trivial, se pueden obtener infinitas más.
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Los sistemas homogéneos equivalentes tienen el mismo conjunto de soluciones. Dos sistemas de ecuaciones homogéneas se consideran equivalentes si se pueden obtener uno del otro mediante operaciones elementales como multiplicar una ecuación por un escalar distinto de cero, sumar o restar ecuaciones entre sí, o intercambiar el orden de las ecuaciones.
Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones homogéneos:
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Método de la matriz ampliada: Se forma la matriz ampliada del sistema, que incluye una columna adicional con ceros. Se aplica el método de Gauss para escalonar la matriz ampliada hasta obtener una matriz escalonada en la parte superior y despejamos las variables correspondientes a columnas que poseen cabecera de fila (variables dependientes) en función de las demás (variables independientes) a cada una de las cuáles se le asigna un parámetro.
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Método del determinante: Se calcula el determinante de la matriz de coeficientes del sistema. Si el determinante es igual a cero, el sistema tiene infinitas soluciones, en caso contrario solo tendrá la solución trivial. Se pueden encontrar soluciones no triviales utilizando el método de la matriz ampliada.