TEOREMA DE BAYES

Conocimientos previos

concepto y ejemplos: vídeo y pdf para descargar

Teorema de Bayes: Enlace al vídeo

PDF del vídeo: Descargar PDF

¿qué dice el teorema de bayes? ¿cómo uso el teorema de bayes? ¿cuándo uso el teorema de bayes?

El teorema de Bayes, nombrado en honor al reverendo Thomas Bayes, es un teorema central en la teoría de la probabilidad y la estadística que permite actualizar las probabilidades de eventos sobre la base de nueva evidencia o información. En otras palabras, permite determinar cómo cambian las probabilidades de un evento (hipótesis) a la luz de observaciones o sucesos que se van conociendo.

 

Enunciado del teorema de Bayes:

 

Sea A y B dos eventos, el teorema de Bayes establece la siguiente relación: P(A|B) = [ P(B|A) * P(A) ] / P(B)

Donde:

  • P(A|B): Es la probabilidad posterior de A dado que se ha observado el evento B. Es decir, la probabilidad actualizada de la hipótesis (A) después de tener en cuenta la nueva información (B).
  • P(B|A): Es la verosimilitud o probabilidad de observar la evidencia B dado que la hipótesis A es cierta.
  • P(A): Es la probabilidad inicial o probabilidad "a priori" de la hipótesis A, es decir, la probabilidad de que suceda A antes de conocer la evidencia B.
  • P(B): Es la probabilidad de observar la evidencia B, independientemente de si A es verdadera o no. Puede calcularse utilizando la ley de probabilidad total.

 

Interpretación:

 

El teorema de Bayes proporciona una forma de razonar sobre la incertidumbre de las hipótesis. Nos dice cómo actualizar nuestras creencias (probabilidades) sobre una hipótesis a medida que adquirimos nueva información. Combina nuestras creencias previas (probabilidad a priori) con la fuerza de la nueva evidencia (la verosimilitud) para obtener una probabilidad revisada o posterior.

PROBLEMAS/ejercicios RESUELTOS: vídeos y pdf para descargar

exámenes de pau de matemáticas aplicadas a las cc. ss. ii

  • Andalucía Junio 2024 (Convocatoria Ordinaria) Ejercicio 6 Apartado c: Enlace al vídeo

           PDF del vídeo: Descargar el PDF

    • Andalucía Junio 2024 (Convocatoria Ordinaria Examen Suplente) Ejercicio 5 Apartado a: Enlace al vídeo 

          PDF del vídeo: Descargar el PDF

    • Andalucía Junio 2024 (Convocatoria Ordinaria Examen Suplente) Ejercicio 6 Apartado a: Enlace al vídeo 

          PDF del vídeo: Descargar el PDF

    • Andalucía Junio 2024 (Convocatoria Ordinaria Examen Suplente) Ejercicio 6 Apartado a: Enlace al vídeo 

          PDF del vídeo: Descargar el PDF

    exámenes de pau de matemáticas ii

    Problema 7 - PEBAU Asturias Convocatoria extraordinaria 2024

    PEBAU Asturias Convocatoria extraordinaria 2024

    Pregunta 7.

    En un instituto el 55 % de los estudiantes del curso 2023-2024 hacen el Bachillerato de la modalidad de Ciencias y Tecnología. El 30 % de los estudiantes que cursan el Bachillerato de Ciencias y Tecnología cursan como optativa la asignatura “Proyecto de Investigación Integrado” y de los que no hacen este Bachillerato, el 40 % cursan esta asignatura como optativa.

    (a) [1.25 p.] Tomado un estudiante al azar del total de matriculados en Bachillerato, ¿cuál es la probabilidad de que curse la asignatura “Proyecto de Investigación Integrado”?

    (b) [1.25 p.] Si un estudiante elegido al azar no cursa la asignatura “Proyecto de Investigación Integrado”, ¿cuál es la probabilidad de que curse el Bachillerato de Ciencias y Tecnología?

    Solución

    Apartado a: Cálculo de la probabilidad de cursar “Proyecto de Investigación Integrado”

    Sea el evento \( \textcolor{white}{\overline{A}} \) = “el estudiante NO hace el Bachillerato de Ciencias y Tecnología” y su complemento \( A \) = “el estudiante hace el Bachillerato de Ciencias y Tecnología”. Se nos da:

    • \( P(A)=0.55 \).
    • \( P(\text{PII} \mid A)=0.30 \) (de los que hacen Ciencias y Tecnología, el 30 % cursan “Proyecto de Investigación Integrado”).
    • \( P(\textcolor{white}{\overline{A}})=1-0.55=0.45 \).
    • \( P(\text{PII} \mid \textcolor{white}{\overline{A}})=0.40 \) (de los que NO hacen Ciencias y Tecnología, el 40 % cursan “Proyecto de Investigación Integrado”).

    Usando la regla de la probabilidad total, la probabilidad de que un estudiante curse “Proyecto de Investigación Integrado” es:

    \[ P(\text{PII})=P(A)\cdot P(\text{PII}\mid A)+P(\textcolor{white}{\overline{A}})\cdot P(\text{PII}\mid \textcolor{white}{\overline{A}})=0.55\cdot0.30+0.45\cdot0.40. \]

    Calculando:

    • \(0.55\cdot0.30=0.165\).
    • \(0.45\cdot0.40=0.18\).

    Por lo tanto,

    \[ P(\text{PII})=0.165+0.18=0.345. \]

    Es decir, la probabilidad es del 34.5 %.

    Apartado b: Cálculo de la probabilidad de que, si un estudiante no cursa “Proyecto de Investigación Integrado”, haga Ciencias y Tecnología

    Se desea hallar \( P(A \mid \text{No PII}) \), la probabilidad de que un estudiante haga el Bachillerato de Ciencias y Tecnología, dado que no cursa “Proyecto de Investigación Integrado”.

    Por el teorema de Bayes:

    \[ P(A \mid \text{No PII})=\frac{P(A \cap \text{No PII})}{P(\text{No PII})}. \]

    Primero, calculamos \( P(A \cap \text{No PII}) \):

    \[ P(A \cap \text{No PII})=P(A)\cdot\Bigl(1-P(\text{PII}\mid A)\Bigr)=0.55\cdot(1-0.30)=0.55\cdot0.70=0.385. \]

    Luego, \( P(\text{No PII})=1-P(\text{PII})=1-0.345=0.655 \).

    Así, la probabilidad es:

    \[ P(A \mid \text{No PII})=\frac{0.385}{0.655}\approx0.5878. \]

    Es decir, aproximadamente el 58.78 %.

    Problema 10 - Prueba de Enfermedad

    EBAU La Rioja Convocatoria Ordinaria 2024

    Problema 10

    El 2 % de la población mundial padece una cierta enfermedad. Se dispone de una prueba para detectarla, pero no es fiable. En el 98 % de los casos da positivo en personas enfermas. Y en el 4 % de los casos da positivo en personas sanas.

    Halla:

    (i) la probabilidad de que una persona esté sana, habiendo salido la prueba positiva.

    (ii) habiendo salido la prueba negativa, la probabilidad de que una persona esté enferma.

    Solución

    Parte (i): Calcular \(P(S \mid \text{Pos})\) (la probabilidad de que una persona esté sana dado que la prueba ha salido positiva).

    1. Definimos los eventos:

      • \(E\): la persona está enferma.
      • \(S\): la persona está sana (complemento de \(E\)).
      • \(\text{Pos}\): la prueba sale positiva.

    2. Datos conocidos:

      • \(P(E)=0.02\) y, por tanto, \(P(S)=0.98\).
      • \(P(\text{Pos} \mid E)=0.98\) (la prueba da positivo en el 98 % de las personas enfermas).
      • \(P(\text{Pos} \mid S)=0.04\) (la prueba da positivo en el 4 % de las personas sanas).

    3. Aplicamos el teorema de Bayes:

      \[ P(S \mid \text{Pos}) = \frac{P(\text{Pos} \mid S)\,P(S)}{P(\text{Pos}\mid E)\,P(E) + P(\text{Pos}\mid S)\,P(S)}. \]

    4. Sustituimos los valores:

      \[ P(S \mid \text{Pos}) = \frac{0.04 \times 0.98}{0.98 \times 0.02 + 0.04 \times 0.98}. \]

    5. Calculamos el numerador y el denominador:

      • Numerador: \(0.04 \times 0.98 = 0.0392\).
      • Denominador: \(0.98 \times 0.02 = 0.0196\); \(0.04 \times 0.98 = 0.0392\); luego, \(0.0196 + 0.0392 = 0.0588\).

    6. Finalmente:

      \[ P(S \mid \text{Pos}) = \frac{0.0392}{0.0588} \approx 0.6667, \] lo que equivale aproximadamente al 66.67%.

    Parte (ii): Calcular \(P(E \mid \text{Neg})\) (la probabilidad de que una persona esté enferma dado que la prueba ha salido negativa).

    1. Datos conocidos:

      • \(P(E)=0.02\) y \(P(S)=0.98\).
      • \(P(\text{Neg} \mid E) = 1 - P(\text{Pos}\mid E) = 1 - 0.98 = 0.02\).
      • \(P(\text{Neg} \mid S) = 1 - P(\text{Pos}\mid S) = 1 - 0.04 = 0.96\).

    2. Aplicamos el teorema de Bayes:

      \[ P(E \mid \text{Neg}) = \frac{P(\text{Neg}\mid E)\,P(E)}{P(\text{Neg}\mid E)\,P(E) + P(\text{Neg}\mid S)\,P(S)}. \]

    3. Sustituimos los valores:

      \[ P(E \mid \text{Neg}) = \frac{0.02 \times 0.02}{0.02 \times 0.02 + 0.96 \times 0.98}. \]

    4. Calculamos:

      • Numerador: \(0.02 \times 0.02 = 0.0004\).
      • Denominador: \(0.02 \times 0.02 = 0.0004\) y \(0.96 \times 0.98 = 0.9408\); luego, \(0.0004 + 0.9408 = 0.9412\).

    5. Por lo tanto:

      \[ P(E \mid \text{Neg}) = \frac{0.0004}{0.9412} \approx 0.000425, \] lo que equivale aproximadamente al 0.0425%.

    Conclusión Final

    • La probabilidad de que una persona esté sana, habiendo salido la prueba positiva, es aproximadamente del 66.67%.
    • La probabilidad de que una persona esté enferma, habiendo salido la prueba negativa, es aproximadamente del 0.0425%.
    Problema E9 - Probabilidad y Estadística

    EBAU Castilla y León Convocatoria Ordinaria 2024

    Problema E9

    Entre los vehículos que revisa un taller mecánico:

    • El 48% de ellos son coches, de los cuales las tres cuartas partes requieren reparación.
    • El 28% son motocicletas y entre ellas la mitad requieren reparación.
    • El 24% son furgonetas, de las cuales un tercio requieren reparación.

    Se consideran los sucesos:

    • \( C = \) "coche",
    • \( M = \) "motocicleta",
    • \( F = \) "furgoneta",
    • \( R = \) "requiere reparación".

    a) Indicar qué probabilidades de sucesos, condicionados o no, se consideran en el enunciado y cuáles son sus valores. (0,2 puntos)

    b) Calcular \( P(R \cap F) \), \( P(R) \) y \( P(C \,|\, R) \). (1,3 puntos)

    c) ¿Son independientes los sucesos \( C \) y \( R \)? (0,5 puntos)

    Solución

    Apartado a: Probabilidades del enunciado

    Las probabilidades que se mencionan en el enunciado son:

    • \( P(C) = 0.48 \) (probabilidad de que un vehículo sea un coche).
    • \( P(M) = 0.28 \) (probabilidad de que un vehículo sea una motocicleta).
    • \( P(F) = 0.24 \) (probabilidad de que un vehículo sea una furgoneta).
    • \( P(R \,|\, C) = \frac{3}{4} = 0.75 \) (probabilidad de que un coche requiera reparación).
    • \( P(R \,|\, M) = \frac{1}{2} = 0.5 \) (probabilidad de que una motocicleta requiera reparación).
    • \( P(R \,|\, F) = \frac{1}{3} \approx 0.333 \) (probabilidad de que una furgoneta requiera reparación).

    Apartado b: Cálculo de \( P(R \cap F) \), \( P(R) \) y \( P(C \,|\, R) \)

    1. Cálculo de \( P(R \cap F) \):

    Usamos la definición de probabilidad de la intersección en el caso de sucesos dependientes:

    \[ P(R \cap F) = P(R \,|\, F) \cdot P(F) = \frac{1}{3} \cdot 0.24 = 0.08 \]

    Por tanto, \( P(R \cap F) = 0.08 \).

    2. Cálculo de \( P(R) \):

    Usamos el Teorema de la probabilidad total:

    \[ P(R) = P(R \,|\, C) \cdot P(C) + P(R \,|\, M) \cdot P(M) + P(R \,|\, F) \cdot P(F) \] \[ P(R) = 0.75 \cdot 0.48 + 0.5 \cdot 0.28 + \frac{1}{3} \cdot 0.24 \] \[ P(R) = 0.36 + 0.14 + 0.08 = 0.58 \]

    Por tanto, \( P(R) = 0.58 \).

    3. Cálculo de \( P(C \,|\, R) \):

    Usamos El Teorema de Bayes:

    \[ P(C \,|\, R) = \frac{P(R \cap C)}{P(R)} = \frac{P(R \,|\, C) \cdot P(C)}{P(R)} \] \[ P(C \,|\, R) = \frac{0.75 \cdot 0.48}{0.58} = \frac{0.36}{0.58} \approx 0.6207 \]

    Por tanto, \( P(C \,|\, R) \approx 0.6207 \).

    Apartado c: Independencia de \( C \) y \( R \)

    Para que \( C \) y \( R \) sean independientes, debe cumplirse:

    \[ P(C \cap R) = P(C) \cdot P(R) \]

    Calculamos \( P(C \cap R) \):

    \[ P(C \cap R) = P(R \,|\, C) \cdot P(C) = 0.75 \cdot 0.48 = 0.36 \]

    Calculamos \( P(C) \cdot P(R) \):

    \[ P(C) \cdot P(R) = 0.48 \cdot 0.58 = 0.2784 \]

    Como \( 0.36 \neq 0.2784 \), los sucesos \( C \) y \( R \) no son independientes.