TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL
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¿qué dice el teorema de la probabilidad total? ¿Cómo uso el teorema de la probabilidad total? ¿cuándo uso el teorema de la probabilidad total?
El teorema de la probabilidad total es un concepto fundamental en la teoría de la probabilidad que permite calcular la probabilidad de un evento en función de la probabilidad de eventos relacionados y la probabilidad de condiciones previas. Este teorema es particularmente útil cuando el espacio muestral se divide en subconjuntos o eventos mutuamente excluyentes.
Por ejemplo, imagina que tienes una urna con bolas de diferentes colores y tamaños. Quieres saber la probabilidad de sacar una bola roja. Una forma de hacerlo es dividir las bolas en grupos (por ejemplo, por tamaño) y calcular la probabilidad de sacar una bola roja dentro de cada grupo. El Teorema de la Probabilidad Total te permite "sumar" estas probabilidades para obtener la probabilidad total de sacar una bola roja.
Formalmente:
Supongamos que tenemos un espacio muestral Ω dividido en eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos: A₁, A₂, ..., An. Esto significa que estos eventos no pueden ocurrir al mismo tiempo (son mutuamente excluyentes) y que uno de ellos siempre ocurre (son exhaustivos). Si queremos calcular la probabilidad de un evento B, el Teorema de la Probabilidad Total nos dice que:
Donde:
- P(B|Aᵢ): Probabilidad de que ocurra B sabiendo que ocurre Aᵢ (probabilidad condicionada).
- P(Aᵢ): Probabilidad de que ocurra Aᵢ.
En palabras:
La probabilidad de que ocurra B es igual a la suma de las probabilidades de que B ocurra dado que cada uno de los Aᵢ ocurrió, multiplicada por la probabilidad de que cada Aᵢ ocurra.
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- Andalucía Junio 2024 (Convocatoria Ordinaria) Ejercicio 6 Apartado a: Enlace al vídeo
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Pregunta 7.
En un instituto el 55 % de los estudiantes del curso 2023-2024 hacen el Bachillerato de la modalidad de Ciencias y Tecnología. El 30 % de los estudiantes que cursan el Bachillerato de Ciencias y Tecnología cursan como optativa la asignatura “Proyecto de Investigación Integrado” y de los que no hacen este Bachillerato, el 40 % cursan esta asignatura como optativa.
(a) [1.25 p.] Tomado un estudiante al azar del total de matriculados en Bachillerato, ¿cuál es la probabilidad de que curse la asignatura “Proyecto de Investigación Integrado”?
(b) [1.25 p.] Si un estudiante elegido al azar no cursa la asignatura “Proyecto de Investigación Integrado”, ¿cuál es la probabilidad de que curse el Bachillerato de Ciencias y Tecnología?
Solución
Apartado a: Cálculo de la probabilidad de cursar “Proyecto de Investigación Integrado”
Sea el evento \( \textcolor{white}{\overline{A}} \) = “el estudiante NO hace el Bachillerato de Ciencias y Tecnología” y su complemento \( A \) = “el estudiante hace el Bachillerato de Ciencias y Tecnología”. Se nos da:
- \( P(A)=0.55 \).
- \( P(\text{PII} \mid A)=0.30 \) (de los que hacen Ciencias y Tecnología, el 30 % cursan “Proyecto de Investigación Integrado”).
- \( P(\textcolor{white}{\overline{A}})=1-0.55=0.45 \).
- \( P(\text{PII} \mid \textcolor{white}{\overline{A}})=0.40 \) (de los que NO hacen Ciencias y Tecnología, el 40 % cursan “Proyecto de Investigación Integrado”).
Usando el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que un estudiante curse “Proyecto de Investigación Integrado” es:
\[ P(\text{PII})=P(A)\cdot P(\text{PII}\mid A)+P(\textcolor{white}{\overline{A}})\cdot P(\text{PII}\mid \textcolor{white}{\overline{A}})=0.55\cdot0.30+0.45\cdot0.40. \]
Calculando:
- \(0.55\cdot0.30=0.165\).
- \(0.45\cdot0.40=0.18\).
Por lo tanto,
\[ P(\text{PII})=0.165+0.18=0.345. \]
Es decir, la probabilidad es del 34.5 %.