PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON MATRICES

Conocimientos previos

• Definición y orden de una matriz.
• Traspuesta de una matriz.
• Suma de matrices.
• Producto de un número por una matriz.
• Producto de matrices.

concepto y ejemplos: vídeo y pdf para descargar

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Propiedades de la suma de matrices,  del producto de un número por una matriz,de la traspuesta de una matriz y de la multiplicación de matrices.

Propiedades de la suma de matrices:

 

• Conmutatividad: La suma de matrices es conmutativa, lo que significa que el orden en que se suman las matrices no afecta el resultado. En otras palabras, para cualesquiera matrices A y B del mismo orden, se cumple que: A+B=B+A

• Asociatividad: La suma de matrices es asociativa, lo que significa que el orden en que se agrupan las matrices para sumar no afecta el resultado. En otras palabras, para cualesquiera matrices A, B y C del mismo orden, se cumple que: (A+B)+C=A+(B+C)

• Elemento neutro: La matriz nula del mismo orden actúa como elemento neutro para la suma de matrices. En otras palabras, para cualquier matriz A y la matriz nula del mismo orden, 0 , se cumple que: A+0=A

• Elemento opuesto: La matriz opuesta de una matriz A actúa como elemento inverso para la suma de matrices. En otras palabras, para cualquier matriz A de la misma dimensión, se cumple que: A+(−A)=0

 

Propiedades del producto por escalar:

 

• Asociatividad: El producto por escalar es asociativo, lo que significa que el orden en que se multiplican los escalares por la matriz no afecta el resultado. En otras palabras, para cualesquiera números reales a​ y b y cualquier matriz A, se cumple que:

      (a​⋅b​)A=a​⋅(b​⋅A)

• Conmutatividad: El producto por escalar es conmutativo, lo que significa que el orden en que se multiplica el escalar por la matriz no afecta el resultado. En otras palabras, para cualquier número real a y cualquier matriz A se cumple que: A=Aa

• Distributividad respecto a la suma de matrices: El producto por escalar se distribuye sobre la suma de matrices. En otras palabras, para cualquier número real a y cualquier matriz A y B de la misma dimensión, se cumple que: a(A+B)=aA+aB

• Distributividad respecto a la suma de escalares: El producto por escalar se distribuye sobre la suma de escalares. En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b y cualquier matriz A, se cumple que: (a+b)A=aA+bA

• Elemento neutro: El escalar 1 actúa como elemento neutro para la multiplicación escalar de matrices. En otras palabras, para cualquier matriz A, se cumple que: 1A=A

• Elemento opuesto: El escalar −1 actúa como elemento opuesto para la multiplicación escalar de matrices. En otras palabras, para cualquier matriz A, se cumple que: (−1)A=−A

 

Propiedades de la traspuesta de una matriz:

 

Si denotamos por A' la traspuesta de la matriz A:

•  Involución:

        La traspuesta de la traspuesta de una matriz es la matriz original: (A')'=A

Esta propiedad implica que si aplicamos la traspuesta dos veces a una matriz, volvemos a la matriz original.

• Conmutatividad de la traspuesta con la multiplicación por escalar:

       La traspuesta del producto de una matriz por un escalar es igual al producto del escalar por la traspuesta de la matriz:(aA)'=aA'

       Esta propiedad indica que la traspuesta y la multiplicación por escalar conmutan entre sí.

• Distributividad de la traspuesta sobre la suma:

       La traspuesta de la suma de dos matrices es igual a la suma de las traspuestas de las matrices: (A+B)'=A'+B'

       Esta propiedad permite distribuir la operación de traspuesta sobre la suma de matrices.

• No conmutatividad de la traspuesta con la multiplicación de matrices:

       La traspuesta del producto de dos matrices es igual al producto de las traspuestas de las matrices en orden contrario al                     original: (AB)'=B'A'

 

Propiedades del producto de matrices:

 

• Propiedades conmutativa y asociativa:

      No conmutativa: En general, el producto de matrices no es conmutativo. Esto es, en general, para dos matrices A y B:

                                   A x B ≠ B x A.

       El orden de las matrices en el producto sí importa y puede afectar significativamente el resultado, hasta el punto de que se               pueda hacer uno de los productos pero no se pueda hacer el otro.

       Propiedad asociativa: El producto de matrices sí es asociativo. Para tres matrices A, B y C: (A x B) x C = A x (B x C)

       El orden de agrupación de las matrices no altera el resultado final.

• Propiedad distributiva:

      El producto de matrices distribuye sobre la suma de matrices, tanto por la izquierda como por la derecha. Para matrices A, B, C        y un escalar k:

                        Distributividad por la izquierda: A x (B + C) = A x B + A x C

                        Distributividad por la derecha: (A + B) x C = A x C + B x C

• Elemento identidad:

       Para cualquier matriz cuadrada A existe una matriz identidad I de la misma dimensión que las matrices con las que se opera,             que al multiplicarse por cualquier matriz, no altera su valor. Matemáticamente: A x I = I x A = A

       La matriz identidad tiene en su diagonal principal elementos 1 y en el resto elementos 0.

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