Parte (a): Distribución de la variable aleatoria.

La variable aleatoria que cuenta el número de microprocesadores defectuosos sigue una distribución binomial, ya que tenemos un número fijo de ensayos (\(n = 2500\)) y dos posibles resultados en cada ensayo (defectuoso o no defectuoso), con una probabilidad constante de éxito (\(p = 0,02\)). Por lo tanto, la variable aleatoria \(X\) que representa el número de microprocesadores defectuosos sigue una distribución binomial \(X \sim B(2500, 0,02)\).

Parte (b): Cálculo de la media y la desviación típica.

La media de una distribución binomial \(B(n, p)\) se calcula como:

\[ \mu = n \cdot p = 2500 \cdot 0,02 = 50. \]

La desviación típica se calcula como:

\[ \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{2500 \cdot 0,02 \cdot 0,98} = \sqrt{49} = 7. \]

Parte (c): Probabilidad de que el número de microprocesadores defectuosos sea menor o igual que 57.

Como \(n = 2500\) es grande, podemos aproximar la distribución binomial por una distribución normal \(N(\mu, \sigma)\), donde:

\[ X \sim N(50, 7). \]

Usamos la corrección por continuidad de Yates para calcular \(P(X \leq 57)\):

\[ P(X \leq 57) \approx P\left(Z \leq \frac{57,5 - 50}{7}\right) = P(Z \leq 1.07). \]

De las tablas de la distribución normal, \(P(Z \leq 1.07) = 0.8577\). Por lo tanto, la probabilidad es \(P(X \leq 57) \approx 0.8577\).

Parte (d): Probabilidad de que el número de microprocesadores defectuosos sea exactamente 50.

La probabilidad de que \(X = 50\) se calcula usando la aproximación normal con corrección por continuidad:

\[ P(X = 50) \approx P\left(49.5 \leq X \leq 50.5\right). \] \[ P(49.5 \leq X \leq 50.5) = P\left(\frac{49.5 - 50}{7} \leq Z \leq \frac{50.5 - 50}{7}\right) = P(-0.071 \leq Z \leq 0.071). \]

De las tablas de la distribución normal, esta probabilidad es aproximadamente \(P(X = 50) \approx 0.0558\).