DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE LA MEDIA MUESTRAL Y DE LA PROPORCIÓN MUESTRAL

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¿cómo se distribuye la media muestral? ¿cómo se distribuye la proporción muestral?

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE LA MEDIA MUESTRAL

En el caso de muestras grandes (generalmente, se considera que una muestra es grande cuando tiene 30 o más observaciones), la distribución de probabilidad de la media muestral se aproxima a una distribución normal, independientemente de la distribución de la población original. Este fenómeno se conoce como el Teorema Central del Límite (TCL).

 

Teorema Central del Límite (TCL):

 

El TCL establece que, si se toman muestras aleatorias de tamaño suficientemente grande de una población con media μ y desviación estándar σ, la distribución de las medias muestrales (x̄) se aproximará a una distribución normal con media μ y desviación estándar σ/√n, donde n es el tamaño de la muestra.

Distribución de probabilidad de la media muestral en muestras grandes:

  • Forma: Normal
  • Media (μx̄): Igual a la media poblacional (μ)
  • Desviación estándar (σx̄): Igual a la desviación estándar poblacional (σ) dividida por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra (√n)

 

¿Por qué es importante?

 

La distribución de probabilidad de la media muestral en muestras grandes es fundamental para realizar inferencia estadística. Nos permite:

 

  1. Estimar la media poblacional: Podemos utilizar la media muestral como un estimador puntual de la media poblacional.
  2. Construir intervalos de confianza: Podemos calcular un intervalo de confianza para la media poblacional, que nos indica un rango de valores dentro del cual es probable que se encuentre la media real con un cierto nivel de confianza.
  3. Realizar pruebas de hipótesis: Podemos probar afirmaciones sobre la media poblacional, como si es igual a un valor específico o si es mayor o menor que otro valor.

 

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE LA PROPORCIÓN MUESTRAL

La distribución de probabilidad de la proporción muestral en muestras grandes es un concepto fundamental en estadística inferencial, especialmente cuando se trata de estimar proporciones en una población a partir de datos muestrales.

Para entender este concepto, primero debemos definir algunos términos:

 

  • Proporción poblacional (p): Es la proporción de individuos en una población que presentan una característica particular de interés.
  • Proporción muestral (p̂): Es la proporción de individuos en una muestra que presentan la misma característica de interés.
  • Muestra grande: Generalmente se considera que una muestra es grande cuando el número de éxitos (individuos con la característica de interés) y el número de fracasos (individuos sin la característica de interés) son ambos mayores o iguales a 10.

 

Teorema Central del Límite (TCL) para proporciones:

 

El TCL también se aplica a las proporciones muestrales. Establece que, si se toman muestras aleatorias de tamaño suficientemente grande de una población con una proporción poblacional p, la distribución de las proporciones muestrales (p̂) se aproximará a una distribución normal con las siguientes características:

 

  • Media (μ_p̂): Igual a la proporción poblacional (p)
  • Desviación estándar (σ_p̂): Igual a la raíz cuadrada de [(p * (1 - p)) / n], donde n es el tamaño de la muestra.

 

Distribución de probabilidad de la proporción muestral en muestras grandes:

 

  • Forma: Normal
  • Media (μ_p̂): Igual a la proporción poblacional (p)
  • Desviación estándar (σ_p̂): Igual a √[(p * (1 - p)) / n]

 

¿Por qué es importante?

 

La distribución de probabilidad de la proporción muestral en muestras grandes nos permite:

 

  1. Estimar la proporción poblacional: Utilizar la proporción muestral como un estimador puntual de la proporción poblacional.
  2. Construir intervalos de confianza: Calcular un intervalo de confianza para la proporción poblacional, que nos indica un rango de valores dentro del cual es probable que se encuentre la proporción real con un cierto nivel de confianza.
  3. Realizar pruebas de hipótesis: Evaluar afirmaciones sobre la proporción poblacional, como si es igual a un valor específico o si es mayor o menor que otro valor.

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