TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE
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El Teorema Central del Límite (TCL) es un pilar fundamental en la estadística y la probabilidad. Establece que, bajo ciertas condiciones, la distribución de las medias de muestras aleatorias de una población se aproximará a una distribución normal, independientemente de la forma de la distribución original de la población.
¿Qué significa esto en términos prácticos?
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Grandes muestras: Si tomamos muestras suficientemente grandes de una población (generalmente, se considera que 30 o más es suficiente), la distribución de las medias de esas muestras tenderá a ser normal.
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Independencia de la distribución original: No importa si la población original sigue una distribución uniforme, exponencial, binomial, o cualquier otra. El TCL nos dice que las medias de las muestras se comportarán de manera normal.
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Media y desviación estándar: La media de la distribución de las medias muestrales será igual a la media de la población original, y la desviación estándar será igual a la desviación estándar de la población original dividida por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra.
¿Por qué es importante?
El TCL es crucial en inferencia estadística. Nos permite:
- Estimar parámetros poblacionales: Utilizar la media y la desviación estándar de una muestra para estimar con confianza los valores correspondientes de la población.
- Realizar pruebas de hipótesis: Evaluar si una afirmación sobre una población es probable que sea cierta, basándonos en los datos de una muestra.
- Construir intervalos de confianza: Determinar un rango de valores dentro del cual es probable que se encuentre el verdadero valor de un parámetro poblacional.
Condiciones para aplicar el TCL:
- Muestras aleatorias: Las observaciones en cada muestra deben ser independientes y seleccionadas al azar.
- Tamaño de muestra suficiente: El tamaño de la muestra debe ser lo suficientemente grande (generalmente 30 o más).
- Varianza finita: La población original debe tener una varianza finita.