ECUACIONES DEL PLANO

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Ecuaciones del plano conocidos un punto y dos vectores: Enlace al vídeo

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¿cuáles son las ecuaciones del plano? ¿cómo hallo las ecuaciones del plano?

Un plano se puede representar mediante diferentes ecuaciones matemáticas, cada una con sus propias características y aplicaciones. Entre las más comunes encontramos:

Ecuación general o implícita:

Esta ecuación expresa la relación entre las coordenadas (x, y, z) de cualquier punto del plano. Se escribe de la forma:

Ax + By + Cz + D = 0

donde A, B, C y D son constantes que determinan la posición y orientación del plano en el espacio.

El vector n = (A,B,C) es un vector normal (perpendicular) al plano.

Ecuación vectorial:

Esta ecuación describe el plano a partir de un punto P(x₀, y₀, z₀) que pertenece al plano y dos vectores directores u y v que son paralelos a dos rectas contenidas en el plano. Se escribe de la forma: (x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + ku + lv

donde k y l son parámetros escalares que determinan la posición de cualquier punto del plano con respecto al punto P y a los vectores directores.

Ecuación punto-normal:

Esta ecuación utiliza un punto P(x₀, y₀, z₀) del plano y un vector normal n perpendicular al plano. Se escribe de la forma:

(x - x₀) *n_x + (y - y₀) * n_y + (z - z₀) * n_z = 0

donde n_x, n_y y n_z son las componentes del vector normal.

Ecuaciones paramétricas:

Estas ecuaciones expresan las coordenadas (x, y, z) de cualquier punto del plano en función de dos parámetros escalares k y l. Se escribe de la forma:

x = x₀ + ku_x + lv_x

y = y₀ + ku_y + lv_y

z = z₀ + ku_z + lv_z

donde u=(u_x, u_y, u_z) y v=(v_x, v_y y v_z) son vectores directores del plano.

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exámenes de pau de matemáticas ii

Andalucía Junio 2024 (Convocatoria Ordinaria Examen suplente) Ejercicio 7 Apartado a: Enlace al vídeo

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Problema 5 - PEBAU Asturias Convocatoria extraordinaria 2024

PEBAU Asturias Convocatoria extraordinaria 2024

Pregunta 5.

Se consideran los puntos $A = (0, - 1, 1) y B = (2, 1, 3)$ de $R^{3}$ .

(a) [1.25 p.] Encuentra la ecuación del plano $π$ que cumple que los dos puntos son simétricos respecto a él.

(b) [1.25 p.] Encuentra la ecuación continua de la recta $r$ perpendicular al plano $π^{'} \equiv x + y + z = 3$ y que contiene al punto $Q = (1, 0, 1) .$

Solución

Apartado a: Cálculo de la ecuación del plano $π$

Para que dos puntos $A$ y $B$ sean simétricos respecto a un plano, dicho plano debe ser la mediatriz del segmento $A B$ . Esto significa que el plano es perpendicular al vector que une $A$ y $B$ y pasa por el punto medio de $A B$ .

1. Calcular el punto medio $M$ de $A B$ :

$M = (\frac{0 + 2}{2}, \frac{- 1 + 1}{2}, \frac{1 + 3}{2}) = (1, 0, 2) .$

2. Calcular el vector $\vec{A B}$ :

$\vec{A B} = B - A = (2 - 0, 1 - (- 1), 3 - 1) = (2, 2, 2) .$

Como los puntos son simétricos respecto al plano, éste debe ser perpendicular a $\vec{A B}$ . Por lo tanto, un vector normal al plano es:

$n = (2, 2, 2) o, equivalentemente, (1, 1, 1) .$

3. Escribir la ecuación del plano: Usando la fórmula general de un plano con normal $n = (a, b, c)$ que pasa por $M = (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ :

$a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0.$

Sustituyendo $a = 1$ , $b = 1$ , $c = 1$ y $M = (1, 0, 2)$ , obtenemos:

$1 (x - 1) + 1 (y - 0) + 1 (z - 2) = 0 ⟹ x - 1 + y + z - 2 = 0,$

lo que se simplifica a:

$x + y + z - 3 = .$

Por lo tanto, la ecuación del plano $π$ es:

$x + y + z - 3 = 0.$

Solución Problema 6 - Geometría

ABAU Galicia Convocatoria Ordinaria 2024

PREGUNTA 6

a) Considérense los puntos $Q (- 1, 3, - 5)$ , $R (3, 1, 0)$ y $S (0, 1, 2)$ . Obtenga la ecuación implícita o general del plano $π$ que contiene a $Q$ , $R$ y $S$ .

b) Obtenga las ecuaciones paramétricas y la ecuación continua de la recta que pasa por el punto $P (3, - 1, - 1)$ y es perpendicular al plano $π : 4 x + 23 y + 6 z - 35 = 0$ .

Solución apartado a:

Paso 1: Encontrar dos vectores en el plano

Dados los puntos $Q (- 1, 3, - 5)$ , $R (3, 1, 0)$ y $S (0, 1, 2)$ , calculamos los vectores $\vec{Q R}$ y $\vec{Q S}$ :

\vec{Q R} = R - Q = (3 - (- 1), 1 - 3, 0 - (- 5)) = (4, - 2, 5)

\vec{Q S} = S - Q = (0 - (- 1), 1 - 3, 2 - (- 5)) = (1, - 2, 7)

Paso 2: Calcular el vector normal al plano

El vector normal $\vec{n}$ se obtiene mediante el producto vectorial de $\vec{Q R}$ y $\vec{Q S}$ :

\vec{n} = \vec{Q R} \times \vec{Q S} = | \begin{matrix} i & j & k \\ 4 & - 2 & 5 \\ 1 & - 2 & 7 \end{matrix} |

\vec{n} = i ((- 2) (7) - (5) (- 2)) - j ((4) (7) - (5) (1)) + k ((4) (- 2) - (- 2) (1))

\vec{n} = i (- 14 + 10) - j (28 - 5) + k (- 8 + 2)

\vec{n} = - 4 i - 23 j - 6 k = (- 4, - 23, - 6)

Paso 3: Escribir la ecuación del plano

Usamos el vector normal $\vec{n} = (- 4, - 23, - 6)$ y el punto $Q (- 1, 3, - 5)$ :

- 4 (x + 1) - 23 (y - 3) - 6 (z + 5) = 0

Simplificando:

- 4 x - 4 - 23 y + 69 - 6 z - 30 = 0

- 4 x - 23 y - 6 z + 35 = 0

Multiplicando por $- 1$ para eliminar el signo negativo:

4 x + 23 y + 6 z - 35 = 0

Resultado: La ecuación del plano es $4 x + 23 y + 6 z - 35 = 0$ .