ECUACIONES DEL PLANO

Conocimientos previos

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Ecuaciones del plano conocidos un punto y dos vectores: Enlace al vídeo

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Ecuaciones del plano conocidos tres puntos: Enlace al vídeo

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Ecuaciones del plano conocidos dos puntos y un vector: Enlace al vídeo

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Ecuaciones del plano conocidos un punto y un vector perpendicular al plano: Enlace al vídeo

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¿cuáles son las ecuaciones del plano? ¿cómo hallo las ecuaciones del plano?

Un plano se puede representar mediante diferentes ecuaciones matemáticas, cada una con sus propias características y aplicaciones. Entre las más comunes encontramos:

 

  • Ecuación general o implícita:

Esta ecuación expresa la relación entre las coordenadas (x, y, z) de cualquier punto del plano. Se escribe de la forma:

Ax + By + Cz + D = 0

donde A, B, C y D son constantes que determinan la posición y orientación del plano en el espacio.

El vector n = (A,B,C) es un vector normal (perpendicular) al plano.

 

  • Ecuación vectorial:

Esta ecuación describe el plano a partir de un punto P(x₀, y₀, z₀) que pertenece al plano y dos vectores directores u y v que son paralelos a dos rectas contenidas en el plano. Se escribe de la forma: (x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + ku + lv

donde k y l son parámetros escalares que determinan la posición de cualquier punto del plano con respecto al punto P y a los vectores directores.

 

  • Ecuación punto-normal:

Esta ecuación utiliza un punto P(x₀, y₀, z₀) del plano y un vector normal n perpendicular al plano. Se escribe de la forma:

(x - x₀) *n_x + (y - y₀) * n_y + (z - z₀) * n_z = 0

donde n_x, n_y y n_z son las componentes del vector normal.

 

  • Ecuaciones paramétricas:

Estas ecuaciones expresan las coordenadas (x, y, z) de cualquier punto del plano en función de dos parámetros escalares k y l. Se escribe de la forma:

x = x₀ + ku_x + lv_x

y = y₀ + ku_y + lv_y

z = z₀ + ku_z + lv_z

donde u=(u_x, u_y, u_z) y v=(v_x, v_y y v_z) son vectores directores del plano.

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exámenes de pau de matemáticas ii

  • Andalucía Junio 2024 (Convocatoria Ordinaria Examen suplente) Ejercicio 7 Apartado a: Enlace al vídeo

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Problema 5 - PEBAU Asturias Convocatoria extraordinaria 2024

PEBAU Asturias Convocatoria extraordinaria 2024

Pregunta 5.

Se consideran los puntos \[ A=(0,-1,1) \quad \text{y} \quad B=(2,1,3) \] de \(\mathbb{R}^3\).

(a) [1.25 p.] Encuentra la ecuación del plano \(\pi\) que cumple que los dos puntos son simétricos respecto a él.

(b) [1.25 p.] Encuentra la ecuación continua de la recta \(r\) perpendicular al plano \(\pi' \equiv x+y+z=3\) y que contiene al punto \[ Q=(1,0,1). \]

Solución

Apartado a: Cálculo de la ecuación del plano \(\pi\)

Para que dos puntos \(A\) y \(B\) sean simétricos respecto a un plano, dicho plano debe ser la mediatriz del segmento \(AB\). Esto significa que el plano es perpendicular al vector que une \(A\) y \(B\) y pasa por el punto medio de \(AB\).

1. Calcular el punto medio \(M\) de \(AB\):

\[ M=\left(\frac{0+2}{2},\frac{-1+1}{2},\frac{1+3}{2}\right) =\left(1,0,2\right). \]

2. Calcular el vector \( \overrightarrow{AB} \):

\[ \overrightarrow{AB}=B-A=(2-0,\,1-(-1),\,3-1)=(2,2,2). \]

Como los puntos son simétricos respecto al plano, éste debe ser perpendicular a \(\overrightarrow{AB}\). Por lo tanto, un vector normal al plano es:

\[ \mathbf{n}=(2,2,2) \quad \text{o, equivalentemente,} \quad (1,1,1). \]

3. Escribir la ecuación del plano: Usando la fórmula general de un plano con normal \(\mathbf{n}=(a,b,c)\) que pasa por \(M=(x_0,y_0,z_0)\):

\[ a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0. \]

Sustituyendo \(a=1\), \(b=1\), \(c=1\) y \(M=(1,0,2)\), obtenemos:

\[ 1\,(x-1)+1\,(y-0)+1\,(z-2)=0 \quad \Longrightarrow \quad x-1+y+z-2=0, \]

lo que se simplifica a:

\[ x+y+z-3=. \]

Por lo tanto, la ecuación del plano \(\pi\) es:

\[ \boxed{x+y+z-3=0.} \]

Solución Problema 6 - Geometría

ABAU Galicia Convocatoria Ordinaria 2024

PREGUNTA 6

a) Considérense los puntos \( Q(-1,3,-5) \), \( R(3,1,0) \) y \( S(0,1,2) \). Obtenga la ecuación implícita o general del plano \( \pi \) que contiene a \( Q \), \( R \) y \( S \).

b) Obtenga las ecuaciones paramétricas y la ecuación continua de la recta que pasa por el punto \( P(3,-1,-1) \) y es perpendicular al plano \( \pi: 4x + 23y + 6z - 35 = 0 \).

Solución apartado a:

Paso 1: Encontrar dos vectores en el plano

Dados los puntos \( Q(-1,3,-5) \), \( R(3,1,0) \) y \( S(0,1,2) \), calculamos los vectores \( \vec{QR} \) y \( \vec{QS} \):

\[ \vec{QR} = R - Q = (3 - (-1), 1 - 3, 0 - (-5)) = (4, -2, 5) \] \[ \vec{QS} = S - Q = (0 - (-1), 1 - 3, 2 - (-5)) = (1, -2, 7) \]

Paso 2: Calcular el vector normal al plano

El vector normal \( \vec{n} \) se obtiene mediante el producto vectorial de \( \vec{QR} \) y \( \vec{QS} \):

\[ \vec{n} = \vec{QR} \times \vec{QS} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & -2 & 5 \\ 1 & -2 & 7 \end{vmatrix} \] \[ \vec{n} = \mathbf{i}((-2)(7) - (5)(-2)) - \mathbf{j}((4)(7) - (5)(1)) + \mathbf{k}((4)(-2) - (-2)(1)) \] \[ \vec{n} = \mathbf{i}(-14 + 10) - \mathbf{j}(28 - 5) + \mathbf{k}(-8 + 2) \] \[ \vec{n} = -4\mathbf{i} - 23\mathbf{j} - 6\mathbf{k} = (-4, -23, -6) \]

Paso 3: Escribir la ecuación del plano

Usamos el vector normal \( \vec{n} = (-4, -23, -6) \) y el punto \( Q(-1,3,-5) \):

\[ -4(x + 1) - 23(y - 3) - 6(z + 5) = 0 \]

Simplificando:

\[ -4x - 4 - 23y + 69 - 6z - 30 = 0 \] \[ -4x - 23y - 6z + 35 = 0 \]

Multiplicando por \(-1\) para eliminar el signo negativo:

\[ 4x + 23y + 6z - 35 = 0 \]

Resultado: La ecuación del plano es \( \boxed{4x + 23y + 6z - 35 = 0} \).