EJERCICIO 1 (10 puntos)

Responda a las siguientes cuestiones:

a) (5 puntos) Determine el orden de la matriz \( X \) para que la ecuación matricial \( A X + 3 B = C \) esté bien planteada, siendo \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \), \( B = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \) y \( C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \). Resuelva la ecuación matricial despejando previamente \( X \).

b) (5 puntos) Un pueblo necesita recaudar fondos para combatir una plaga de termitas y han decidido financiar parte del tratamiento mediante la venta de participaciones para el sorteo de Lotería del 22 de diciembre. Ofrecen tres tipos de participaciones: de 10 euros, de 25 euros y de 5 euros. Se sabe que han vendido la mitad de participaciones de 10 euros que de 25 euros; en total, han recaudado \( 7,100 \) € y han vendido 430 participaciones. Utilizando técnicas matriciales, determine la cantidad de participaciones vendidas de cada tipo. Con una ganancia de \( 2,50 \) € por cada participación de \( 10 \) €, de \( 5 \) € por cada participación de \( 25 \) € y de \( 1 \) € por cada participación de \( 5 \) €, ¿a cuánto asciende la ganancia total?

EJERCICIO 2 (10 puntos)

Una empresa produce dos productos, \( A \) y \( B \), con ganancias de \( 30 \) € y \( 40 \) € por unidad producida, respectivamente. La producción de \( A \) requiere 3 horas de mano de obra y 2 unidades de material, mientras que la producción de \( B \) requiere 2 horas de mano de obra y 3 unidades de material. Los recursos disponibles son 150 horas de mano de obra y 150 unidades de material. Además, debido a requisitos de distribución, se establece que la producción total debe ser mayor o igual a 20 unidades entre ambos productos.

a) (8 puntos) Plantee y resuelva un problema que permita determinar el número de unidades de cada tipo que deben producirse para maximizar la ganancia total y a cuánto ascendería dicha ganancia.

b) (2 puntos) Considerando la región factible del apartado a) y una nueva función objetivo dada por: \( \max f(x, y) = 30 x + b y \), donde \( b \) es un valor desconocido. Razone que \( (40, 40) \) no puede ser solución óptima del nuevo problema. Análogo con \( (20, 20) \).

EJERCICIO 3 (10 puntos)

Dada la función \( f(x) = x^3 - 9 x^2 + 40 x + 50 \), \( 0 \leq x \leq 8 \):

a) (4 puntos) Calcule el valor máximo y mínimo de \( f(x) \) cuando \( x \in [0, 8] \) y la abscisa donde se obtienen dichos valores, especificando si se corresponde con extremos relativos y/o absolutos.

b) (3 puntos) ¿\( f(x) \) tiene algún punto de inflexión? Analice la concavidad y convexidad de \( f(x) \).

c) (3 puntos) Calcule \( \int_1^3 f(x) \, dx \).

EJERCICIO 4 (10 puntos)

La obsolescencia tecnológica implica una disminución del valor de un producto con el tiempo. En cierto dispositivo, el valor \( V(t) > 0 \), viene dado por \( V(t) = 200 - \frac{100 t}{10 + 2 t} \) €, siendo \( t \) los años transcurridos desde la compra del dispositivo.

a) (3 puntos) Calcule el valor inicial del producto y su valor en un horizonte infinito de tiempo.

b) (4 puntos) Calcule \( V'(t) \) y justifique que \( V(t) \) es decreciente. Utilice esta conclusión y los resultados obtenidos en a) para argumentar que no será posible que el valor de \( V(t) \) sea igual a \( 125 \) €.

c) (3 puntos) ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para que el dispositivo tenga un valor de \( 175 \) €?

EJERCICIO 5 (10 puntos)

Juan va a hacer un examen de Geografía que tiene 4 preguntas. Juan piensa que, en cada pregunta, la probabilidad que tiene de responderla correctamente es \( 0,7 \) y que cada pregunta es independiente de las demás.

a) (3 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que Juan conteste correctamente todas las preguntas?

b) (4 puntos) Juan aprobará el examen si contesta, al menos, 2 preguntas correctamente. ¿Cuál es la probabilidad que tiene Juan de aprobar el examen?

c) (3 puntos) Si Juan ha aprobado el examen, ¿cuál es la probabilidad de que lo haya hecho contestando correctamente todas las preguntas?

EJERCICIO 6 (10 puntos)

En una ciudad se presentan dos personas a la alcaldía: Rupérez y García.

a) (5 puntos) Se ha realizado una encuesta sobre la intención de voto, para lo cual se ha tomado una muestra aleatoria simple de 200 votantes y 120 de ellos van a votar a Rupérez, mientras que el resto votarán a García. Calcule un intervalo de confianza a nivel \( 98\% \) para la proporción de votantes de la ciudad que votarán a Rupérez.

b) (2 puntos) El periódico de la ciudad afirma que Rupérez obtendrá un \( 75\% \) de los votos. A la vista de los resultados del apartado a), ¿es razonable tal afirmación?

c) (3 puntos) Una vez realizada la votación, Rupérez ha ganado con el \( 62\% \) de los votos. Si elegimos a 3 votantes con reemplazamiento, calcule la probabilidad de que al menos 1 de ellos haya votado por Rupérez.