PevAU 2025 - Modelo de examen

Ejercicio 4 (2.5 puntos)

Considera la matriz \( A = \begin{pmatrix} 0 & a & -b \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \).

a) Calcula \( A^{10} \).

b) Calcula, si es posible, la matriz inversa de \( I + A + A^2 \), donde \( I \) es la matriz identidad.

PevAU 2025 - Modelo de examen

Ejercicio 5 (2.5 puntos)

Sean las matrices \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \) y \( B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \).

Se define la matriz \( M = A + (\lambda - 1)B \).

a) Halla los valores de \( \lambda \) para los que \( M \) tiene rango menor que 3.

b) Para \( \lambda = -1 \), resuelve el sistema lineal homogéneo cuya matriz de coeficientes es \( M \).

PevAU 2024 Extraordinaria

Ejercicio 5 (2.5 puntos)

Considera la matriz \( A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \).

a) Halla todas las matrices \( X \) que cumplen \( XA = -AX^T \) y \( X^2 = I \), donde \( I \) es la matriz identidad de orden 2.

b) Halla todas las matrices \( Y \) que cumplen \( YA = AY \), la suma de los elementos de su diagonal principal es cero y tienen determinante -1.

PevAU 2024 Extraordinaria

Ejercicio 6 (2.5 puntos)

Un proveedor vende perfumes A, B y C. Primer pedido: 20A + 30B + 15C = 2200€. Segundo pedido: 15A + 10B + 10C = 1250€.

a) ¿Cuánto cuesta 25A + 10B + 16C?

b) Si \( \text{Precio}_C = \frac{2}{3}\text{Precio}_A \), halla precios individuales.

PevAU 2024 Ordinaria

Ejercicio 5 (2.5 puntos)

Considera la matriz \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1/8 & 1/8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \).

a) [1 punto] Calcula \( A^{2024} \).

b) [1,5 puntos] Halla la matriz \( X \), si es posible, que verifica \( A^2 X A + I = O \), donde \( I \) y \( O \) son la matriz identidad y la matriz nula de orden 3, respectivamente.

PevAU 2024 Ordinaria

Ejercicio 6 (2.5 puntos)

Considera el sistema \( \left\{\begin{array}{cc} (k-1)x + & y + z = k \\ x + (k-1)y + z = 0 \\ x + y + (k-1)z = 1 \end{array}\right. \)

a) [1,75 puntos] Discute el sistema según los valores de \( k \).

b) [0,75 puntos] Para \( k = 1 \) resuelve el sistema, si es posible. ¿Hay alguna solución en la que \( y = 0 \)? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.

PevAU 2024 Ordinaria (suplente)

Ejercicio 5 (2.5 puntos)

Considera las matrices \( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ m & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \) y \( B = \begin{pmatrix} -4 & 8 & 0 \\ 0 & 4 & 4 \\ 4 & 12 & 20 \end{pmatrix} \).

a) [0,75 puntos] Determina los valores de \( m \) para los que la matriz \( A^2 \) tiene inversa.

b) [1,75 puntos] Para \( m = 0 \) calcula, si es posible, la matriz \( X \) que verifica \( A^2 X = \frac{1}{2}(A + B) \).

PevAU 2024 Ordinaria (suplente)

Ejercicio 6 (2.5 puntos)

Determina un número natural de tres cifras sabiendo que la suma de sus dígitos es 9, que la diferencia de dicho número con el que se obtiene al intercambiar la cifra de las centenas por la de las unidades es 198, y que si consideramos la suma entre ambos números, es decir, entre el número a determinar y el que se obtiene al intercambiar sus cifras, el resultado es 828.

PevAU 2023 Extraordinaria

Ejercicio 5 (2.5 puntos)

Sea la matriz \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \) e \( I \) la matriz identidad de orden 3.

a) [1 punto] Halla los valores de \( m \) para que la matriz \( A - mI \) no tenga inversa.

b) [1.5 puntos] Halla \( x \), distinto de cero, para que \( A - xI \) sea la inversa de la matriz \( \frac{1}{x}(A - I) \).

PevAU 2023 Extraordinaria

Ejercicio 6 (2.5 puntos)

El dueño de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino por un importe de 500 euros sin incluir impuestos. El gasto en vino es 60 euros menos que los gastos en refrescos y cerveza conjuntamente, sin incluir impuestos. Teniendo en cuenta que los impuestos de los refrescos, la cerveza y el vino son el 6%, el 12% y el 30%, respectivamente, entonces el importe total de la factura incluyendo impuestos ha ascendido a 592,4 euros. Calcula el importe, incluyendo impuestos, invertido en cada una de las bebidas.

PevAU 2023 Extraordinaria (suplente)

Ejercicio 5 (2.5 puntos)

Dadas las matrices \( A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -2 \\ -2 & 3 & 1 \\ 6 & 1 & 3 \end{pmatrix} \) y \( B = \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ -3 & -1 & 5 \end{pmatrix} \), calcula, si es posible, la matriz \( X \) que verifica la ecuación \( 3X - B^t = AX \), siendo \( B^t \) la matriz traspuesta de \( B \).

PevAU 2023 Extraordinaria (suplente)

Ejercicio 6 (2.5 puntos)

Una plataforma de streaming se especializa en series de tres géneros: animación, ciencia ficción y comedia. Se sabe que el 30% de las series de animación más el 50% de las de ciencia ficción coincide con el 20% de total de series. El 25% de las series de animación más el 50% de las de ciencia ficción más el 60% de las de comedia representan la mitad del total de series. Hay 100 series menos de animación que de ciencia ficción. Halla el número de series de cada género.

PevAU 2023 Extraordinaria (reserva)

Ejercicio 5 (2.5 puntos)

Considera la matriz \( A = \begin{pmatrix} 0 & a & -b \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \).

a) [0,75 puntos] Calcula \( A^{10} \).

b) [1,75 puntos] Calcula, si es posible, la matriz inversa de \( I + A + A^2 \), donde \( I \) denota la matriz identidad de orden 3.

PevAU 2023 Extraordinaria (reserva)

Ejercicio 6 (2.5 puntos)

Dadas las matrices \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \) y \( B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \), se define la matriz \( M = A + (\lambda - 1)B \).

a) [1,5 puntos] Halla los valores de \( \lambda \) para los que la matriz \( M \) tiene rango menor que 3.

b) [1 punto] Para \( \lambda = -1 \), resuelve el sistema lineal homogéneo cuya matriz de coeficientes es \( M \).

PevAU 2023 Ordinaria

Ejercicio 5 (2.5 puntos)

Una marca de vehículos ha vendido este mes coches de tres colores: blancos, negros y rojos. El 60% de los coches blancos más el 50% de los coches negros representan el 30% de los coches vendidos. El 20% de los coches blancos junto con el 60% de los coches negros y el 60% de los coches rojos representan la mitad de los coches vendidos. Se han vendido 100 coches negros más que blancos. Determina el número de coches vendidos de cada color.

PevAU 2023 Ordinaria

Ejercicio 6 (2.5 puntos)

Considera las matrices \( A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & m \\ m & 0 & 0 \\ 0 & m & 0 \end{pmatrix} \) y \( B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \).

a) [0,5 puntos] Determina para qué valores de \( m \) tiene inversa la matriz \( A \)?

b) [2 puntos] Para todo \( m \neq -1 \) resuelve, si es posible, la ecuación matricial \( AX + X = B \).

PevAU 2023 Ordinaria (suplente)

Ejercicio 5 (2.5 puntos)

Sean las matrices
\( A = \begin{pmatrix} m+1 & 1 & m-1 \\ 1 & 1 & 1 \\ m-1 & 1 & m+1 \end{pmatrix} \), \( B = \begin{pmatrix} 0 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 4 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \) y \( C = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \).
a) [1 punto] Calcula \( m \) para que la matriz \( A \) tenga inversa.
b) [1,5 puntos] Para \( m = 0 \), resuelve, si es posible, la ecuación matricial \( \frac{1}{2} A X + C^4 = B \).

PevAU 2023 Ordinaria (suplente)

Ejercicio 6 (2.5 puntos)

Considera las matrices \( A = \begin{pmatrix} x & y & z \\ y & x & x \\ z & z & y \end{pmatrix} \), \( B = \begin{pmatrix} \alpha & 1 & 1 \end{pmatrix} \) y \( C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \).
a) [1,5 puntos] Discute el sistema \( BA = C \), según los valores de \( \alpha \).
b) [1 punto] Resuelve el sistema, si es posible, para \( \alpha = 0 \) y para \( \alpha = 1 \).

PevAU 2023 Ordinaria (reserva)

Ejercicio 5 (2.5 puntos)

Una fábrica dispone de tres líquidos \( L_1, L_2 \) y \( L_3 \), en los que se encuentran disueltas dos sustancias: sodio y magnesio. Cada litro del líquido \( L_1 \) contiene 120 mg de sodio y 90 mg de magnesio, cada litro del líquido \( L_2 \) contiene 100 mg de sodio y 90 mg de magnesio y cada litro del líquido \( L_3 \) contiene 60 mg de sodio y 180 mg de magnesio. ¿Es posible obtener un litro de un líquido mezclando distintas cantidades de \( L_1, L_2 \) y \( L_3 \) en el que la cantidad de sodio y de magnesio sea de 100 mg cada una? En caso afirmativo, calcula dichas cantidades.

PevAU 2023 Ordinaria (reserva)

Ejercicio 6 (2.5 puntos)

Considera las matrices \( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \) y \( B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix} \).
a) [1 punto] Calcula \( A^{2023} \).
b) [1,5 puntos] Determina la matriz \( X \) que verifica \( A^t X A = B \), siendo \( A^t \) la traspuesta de \( A \).

PevAU 2022 Extraordinaria

Ejercicio 5 (2.5 puntos)

Considera las matrices \( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \), \( B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 2 & a & 1 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix} \) y \( C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix} \).
a) [0,5 puntos] Determina los valores de \( a \) para los que la matriz \( B \) no tiene inversa.
b) [2 puntos] Para \( a = 1 \) calcula \( X \) tal que \( A X B = C \), si es posible.

PevAU 2022 Extraordinaria

Ejercicio 6 (2.5 puntos)

Se sabe que \( \left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{array}\right| = -2 \).
a) [1 punto] Calcula: \( \left|\begin{array}{ccc} a & c & b \\ 2x & 2z & 2y \\ -3p & -3r & -3q \end{array}\right| \)
b) [1,5 puntos] Calcula: \( \left|\begin{array}{ccc} x & a - 3p & -2a \\ y & b - 3q & -2b \\ z & c - 3r & -2c \end{array}\right| \)

PevAU 2022 Extraordinaria (suplente)

Ejercicio 5 (2.5 puntos)

Considera el sistema de ecuaciones lineales:
\( \begin{pmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ \alpha & -1 & 1 \\ \alpha & 0 & \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \)
a) [1,25 puntos] Discute el sistema según los valores de \( \alpha \).
b) [1,25 puntos] Para \( \alpha = 1 \) resuelve el sistema y da una solución del mismo diferente de la solución trivial, si es posible.

PevAU 2022 Extraordinaria (suplente)

Ejercicio 6 (2.5 puntos)

Considera el sistema:
\( \left\{\begin{array}{l} x - m y - 2z = m \\ x + y + z = 2m \\ x + 2y + m z = 3m \end{array}\right. \)
a) [1,75 puntos] Discute el sistema según los valores de \( m \).
b) [0,75 puntos] Para \( m = 1 \) resuelve el sistema, si es posible.

PevAU 2022 Extraordinaria (reserva)

Ejercicio 5 (2.5 puntos)

La suma de los seguidores en una determinada red social de Alberto, Begoña y Carlos es de 13000 personas. Aunque Carlos perdiera una tercera parte de sus seguidores, todavía seguiría teniendo el doble de seguidores que tiene Alberto. Por otro lado, los seguidores de Alberto más la quinta parte de los seguidores de Begoña, son tantos como la mitad de los de Carlos. Calcula cuántos seguidores tiene cada uno.

PevAU 2022 Extraordinaria (reserva)

Ejercicio 6 (2.5 puntos)

Considera las matrices \( A = \begin{pmatrix} m & 1 & 3 \\ 1 & m & 2 \\ 1 & m & 3 \end{pmatrix} \) y \( B = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \).
a) [1 punto] Calcula el rango de la matriz \( A \) según los valores de \( m \).
b) [1,5 puntos] Para \( m = 0 \) resuelve la ecuación \( A X = B \), si es posible.

PevAU 2022 Ordinaria (reserva)

Ejercicio 5 (2.5 puntos)

Considera la matriz \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \).
a) [1 punto] Calcula \( A^{-1} \).
b) [1,5 puntos] Calcula la matriz \( X \) de orden tres que verifica \( A X + (A - X)^2 = X^2 + I \), siendo \( I \) la matriz identidad de orden tres.

PevAU 2022 Ordinaria (reserva)

Ejercicio 6 (2.5 puntos)

En un estudio del ciclo del sueño se monitoriza la fase NO-REM (es el momento del sueño que el cuerpo utiliza para descansar físicamente). Esta fase se divide a su vez en tres momentos: Fase I (adormecimiento), Fase II (sueño ligero) y Fase III (sueño profundo). Una persona dedica el 75% de su sueño a la fase NO-REM. Además, el tiempo que dedica a la Fase II es el doble que el de la Fase I y III juntas. Por otro lado, a la Fase III se dedica el cuádruple que a la Fase I. Si una persona ha dormido 8 horas, ¿cuántos minutos dedica a las Fases I, II y III del ciclo del sueño?

PevAU 2021 Extraordinaria

Ejercicio 5 (2.5 puntos)

Considera la matriz \( A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \).
a) [1,25 puntos] Comprueba que \( A^2 = -A^{-1} \).
b) [1,25 puntos] Dadas las matrices \( B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} \) y \( C = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -3 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \), calcula la matriz \( X \) que verifica \( A^4 X + B = A C \).

PevAU 2021 Extraordinaria

Ejercicio 6 (2.5 puntos)

Una empresa de mensajería opera en tres rutas distintas A, B y C. Semanalmente hace un total de 70 viajes, y el número de viajes por la ruta B es igual a la suma de los viajes por las rutas A y C.
a) [1,25 puntos] Si sabemos que el doble de la suma de los viajes por las rutas A y C es 70, ¿podemos deducir el número de viajes por cada ruta? Razona la respuesta.
b) [1,25 puntos] Si el doble de viajes por la ruta C es igual al número de viajes por la ruta B menos 5, ¿cuántos viajes hace por cada ruta?

PevAU 2021 Extraordinaria (suplente)

Ejercicio 5 (2.5 puntos)

Considera la matriz \( A = \begin{pmatrix} m & m & m \\ m & m+1 & m \\ m & m & m+2 \end{pmatrix} \).
a) [1,5 puntos] ¿Para qué valores de \( m \) existe la inversa de la matriz \( A \)? Razona la respuesta.
b) [1 punto] Para \( m = 1 \), halla \( \left(\frac{1}{2} A\right)^{-1} \).

PevAU 2021 Extraordinaria (suplente)

Ejercicio 6 (2.5 puntos)

En una cafetería, tres cafés, una tostada y dos zumos de naranja cuestan 7,50 €. Cuatro cafés, una tostada y un zumo de naranja cuestan 7,20 €.
a) [1,5 puntos] Calcula, de forma razonada, el precio total de dos cafés, una tostada y tres zumos de naranja.
b) [1 punto] ¿El precio de un zumo de naranja podría ser de 2 €? Razona la respuesta.

PevAU 2021 Extraordinaria (reserva)

Ejercicio 5 (2.5 puntos)

Considera la matriz \( A = \begin{pmatrix} a & 2 & 1 \\ b & -1 & 1 \\ c & 1 & 1 \end{pmatrix} \), con determinante igual a 5.
a) [0,5 puntos] Calcula razonadamente el determinante de \( 2 A^3 \).
b) [2 puntos] Calcula razonadamente los determinantes \( \left| \begin{pmatrix} 2a & -1 & 3 \\ 2b & 1/2 & 3 \\ 2c & -1/2 & 3 \end{pmatrix} \right| \) y \( \left| \begin{pmatrix} a & b & c \\ a + 4 & b - 2 & c + 2 \\ a + 1 & b + 1 & c + 1 \end{pmatrix} \right| \).

PevAU 2021 Extraordinaria (reserva)

Ejercicio 6 (2.5 puntos)

Considera el sistema de ecuaciones lineales
\( \left\{ \begin{array}{c} x + m y + m z = 1 \\ x + 2m y + (m + 1) z = 1 \\ 2x + m y + m z = 2 \end{array} \right. \)
a) [1,75 puntos] Discute el sistema según los valores de \( m \).
b) [0,75 puntos] Resuelve el sistema, si es posible, para \( m = 1 \).

PevAU 2021 Ordinaria

Ejercicio 5 (2.5 puntos)

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales
\( \left\{ \begin{array}{l} m x + 2 y - z = 1 \\ 5 x - 4 y + 2 z = 0 \\ x + 3 m y = m + \frac{2}{5} \end{array} \right. \)
a) [2 puntos] Discute el sistema según los valores de \( m \).
b) [0,5 puntos] Resuelve el sistema para \( m = 0 \). ¿Hay alguna solución en la que \( x = 0 \)? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.

PevAU 2021 Ordinaria

Ejercicio 6 (2.5 puntos)

En una empresa se fabrican tres tipos de productos plásticos: botellas, garrafas y bidones. Se utiliza como materia prima 10 kg de polietileno cada hora. Se sabe que para fabricar cada botella se necesitan 50 gramos, para cada garrafa 100 gramos y 1 kg para cada bidón. El gerente también nos dice que se debe producir el doble de botellas que de garrafas. Por último, se sabe que por motivos de capacidad de trabajo, en las máquinas se producen en total 52 productos cada hora. ¿Cuántas botellas, garrafas y bidones se producen cada hora?

PevAU 2021 Ordinaria (suplente)

Ejercicio 5 (2.5 puntos)

Considera la matriz \( A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix} \).
a) [1,75 puntos] Estudia, según los valores de \( \lambda \), el rango de la matriz \( A - \lambda I \), siendo \( I \) la matriz identidad de orden tres.
b) [0,75 puntos] Resuelve el sistema \( (A - I) \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \) y halla, si existe, una solución en la que \( x = 2 \).

PevAU 2021 Ordinaria (suplente)

Ejercicio 6 (2.5 puntos)

Considera las matrices \( A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & m & 1 \end{pmatrix} \) y \( B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \\ m & -1 \end{pmatrix} \).
a) [1 punto] Calcula \( m \) para que \( A B \) no tenga inversa.
b) [1,5 puntos] Estudia el rango de la matriz \( B A \) según los valores de \( m \).

PevAU 2021 Ordinaria (reserva)

Ejercicio 5 (2.5 puntos)

Considera el sistema de ecuaciones
\( \left\{ \begin{array}{l} x + y + 2 z = 0 \\ 3 x - y - 2 z = 0 \\ -x + 2 y + m z = 0 \end{array} \right. \)
a) [1,5 puntos] Calcula \( m \) para que el sistema tenga infinitas soluciones y hállalas.
b) [1 punto] Para \( m = 2 \), ¿existe alguna solución tal que \( z = 1 \)? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.

PevAU 2021 Ordinaria (reserva)

Ejercicio 6 (2.5 puntos)

Considera las matrices \( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -3 & -1 & 1 \end{pmatrix} \) y \( B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \).
a) [1 punto] Calcula \( A^{-1} \).
b) [1,5 puntos] Halla la matriz \( X \) tal que \( X A = B \), si es posible.

PevAU 2020 Extraordinaria

Ejercicio 3 (2.5 puntos)

Considera el sistema de ecuaciones dado por \( A X = B \) siendo
\( A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ m & 4 & -2 \\ 0 & m + 2 & -3 \end{pmatrix} \), \( X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \) y \( B = \begin{pmatrix} 2 \\ 2m \\ 1 \end{pmatrix} \).
a) [1,5 puntos] Discute el sistema según los valores de \( m \).
b) [1 punto] Para \( m = -2 \), ¿existe alguna solución con \( z = 0 \)? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.

PevAU 2020 Extraordinaria

Ejercicio 7 (2.5 puntos)

Considera \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \) y \( X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \),
a) [1,25 puntos] Halla los valores de \( \lambda \) tales que \( |A - \lambda I| = 0 \), donde \( I \) es la matriz identidad de orden 3.
b) [1,25 puntos] Para \( \lambda = 1 \), resuelve el sistema dado por \( (A - \lambda I) X = 0 \). ¿Existe alguna solución tal que \( z = 1 \)? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.

PevAU 2020 Ordinaria

Ejercicio 3 (2.5 puntos)

Considera la matriz \( A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & m + 2 \\ 0 & 1 & m + 1 \\ m & 0 & 5 \end{pmatrix} \).
a) [1.5 puntos] Estudia el rango de \( A \) según los valores de \( m \).
b) [1 punto] Para \( m = 2 \), calcula la inversa de \( 2020A \).

PevAU 2020 Ordinaria

Ejercicio 7 (2.5 puntos)

Considera \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 4 & 1 & 4 \end{pmatrix} \), \( B = \begin{pmatrix} a \\ 2a \\ 3a \end{pmatrix} \) y \( X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \),
a) [1.25 puntos] Discute el sistema dado por \( A X = B \), según los valores de \( a \).
b) [1.25 puntos] Para \( a = 0 \), resuelve el sistema dado por \( A X = B \). Calcula, si es posible, una solución en la que \( y + z = 4 \).

PevAU 2020 Modelo 1

Ejercicio 3 (2.5 puntos)

Considera \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & b \\ c & 1 & 4 \end{pmatrix} \), \( B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) y \( C = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \). Determina \( a \), \( b \) y \( c \), sabiendo que \( A B = C \) y la matriz \( A \) tiene rango 2.

PevAU 2020 Modelo 1

Ejercicio 7 (2.5 puntos)

Siendo \( \lambda \) un número real, considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas
\( \left\{ \begin{array}{l} x + \lambda y = 2 \\ 2x + 4y = 1 \\ \lambda x + y = 2\lambda \end{array} \right. \)
Discútelo según los valores de \( \lambda \) y resuélvelo cuando sea posible.

PevAU 2020 Modelo 2

Ejercicio 3 (2.5 puntos)

Considera el sistema de ecuaciones \( \left\{ \begin{array}{l} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{array} \right. \)
a) [1.75 puntos] Discútelo según los valores de \( a \).
b) [0.75 puntos] Resuelve, si es posible, el sistema para \( a = 1 \) y \( a = -2 \).

PevAU 2020 Modelo 2

Ejercicio 7 (2.5 puntos)

Considera la matriz \( A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \)
a) [1.5 puntos] Calcula \( A^{37} \) y \( A^{41} \).
b) [1 punto] Halla el determinante de la matriz \( 3 A^{52} (A^t)^4 \), donde \( A^t \) es la matriz traspuesta de \( A \).

PevAU 2020 Modelo 3

Ejercicio 3 (2.5 puntos)

Considera \( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \), \( B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & m \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \), \( X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \) y \( C = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \).
a) [0.75 puntos] Determina los valores de \( m \) para los que \( A B \) no tiene inversa.
b) [0.75 puntos] Determina los valores de \( m \) para los que \( B A \) no tiene inversa.
c) [1 punto] Para \( m = 0 \), resuelve, si es posible, el sistema dado por \( B A X = C \) y halla una solución en la que \( x + y + z = 0 \).

PevAU 2020 Modelo 3

Ejercicio 7 (2.5 puntos)

Considera las matrices \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \) y \( B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \)
a) [1 punto] Sabiendo que la matriz \( X \) verifica que \( X^3 A X = B^2 \), halla los posibles valores de su determinante.
b) [1.5 puntos] Determina, si existe, una matriz \( Y \) que verifique \( A^2 Y B^{-1} = A \).

PevAU 2020 Modelo 5

Ejercicio 3 (2.5 puntos)

Considera el sistema de ecuaciones \( \left\{ \begin{array}{c} -m y + z = 1 \\ 5 x + 2 y + m z = 0 \\ m y + (m - 3) z = -3 \end{array} \right. \)
a) [1.25 puntos] Discute el sistema en función de \( m \).
b) [1.25 puntos] Para \( m = 0 \), resuelve el sistema. Calcula, si es posible, una solución en la que \( y = 5 \).

PevAU 2020 Modelo 5

Ejercicio 7 (2.5 puntos)

Considera \( A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & m \\ m & 2 & -3 \\ m - 1 & 0 & 4 \end{pmatrix} \), \( B = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \) y \( C = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \)
a) [1 punto] Determina los valores de \( m \) para los que la ecuación \( A X + B = C \) tiene solución única.
b) [1.5 puntos] Para \( m = 0 \), halla \( X \) tal que \( A X + B = C \).

PevAU 2019 Extraordinaria

Ejercicio 3 (2.5 puntos)

Considera el siguiente sistema de ecuaciones \( \begin{aligned} & x + y + 2 z = 0 \\ & (m + 2) x + y - z = m \\ & 3 x + (m + 2) y + z = m \end{aligned} \)
a) [1.5 puntos] Discute el sistema según los valores de \( m \).
b) [1 punto] Resuelve el

PevAU 2019 Extraordinaria

Ejercicio 3 (2.5 puntos)

Calcula en grados los tres ángulos de un triángulo sabiendo que el menor de ellos es la mitad del ángulo mayor y que la suma del ángulo menor y el ángulo mayor es el doble del otro ángulo.

PevAU 2019 Ordinaria

Ejercicio 3 (2.5 puntos)

Calcula todas las matrices \( X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) tales que \( a + d = 1 \), tienen determinante 1 y cumplen \( A X = X A \), siendo \( A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)

PevAU 2019 Ordinaria

Ejercicio 3 (2.5 puntos)

Dadas las matrices \( A = \begin{pmatrix} 2 - m & 1 & 2 m - 1 \\ 1 & m & 1 \\ m & 1 & 1 \end{pmatrix} \), \( X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \), \( B = \begin{pmatrix} 2 m^2 - 1 \\ m \\ 1 \end{pmatrix} \) considera el sistema de ecuaciones dado por \( X^t A = B^t \), donde \( X^t \), \( B^t \) denotan las traspuestas. Discútelo según los distintos valores de \( m \).

PevAU 2018 Extraordinaria

Ejercicio 3 (2.5 puntos)

Considera las siguientes matrices
\( A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \) y \( B = \begin{pmatrix} a & b & c \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \).
a) [0.75 puntos] Determina, si existen, los valores de \( a \), \( b \) y \( c \) para los que las matrices \( A \) y \( B \) conmutan.
b) [1 punto] Calcula \( A^2 \), \( A^3 \), \( A^{2017} \) y \( A^{2018} \).
c) [0.75 puntos] Calcula, si existe, la matriz inversa de \( A \).

PevAU 2018 Extraordinaria

Ejercicio 3 (2.5 puntos)

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales
\( \left\{ \begin{array}{c} x + y + m z = m^2 \\ y - z = m \\ x + m y + z = m \end{array} \right. \)
a) [1.5 puntos] Discute el sistema según los valores del parámetro \( m \).
b) [1 punto] Resuélvelo para \( m = 1 \). Para dicho valor de \( m \), calcula, si es posible, una solución en la que \( z = 2 \).

PevAU 2018 Ordinaria

Ejercicio 3 (2.5 puntos)

Considera el siguiente sistema de ecuaciones \( \left\{ \begin{array}{l} x + 2 y + (m + 3) z = 3 \\ x + y + z = 3 m \\ 2 x + 4 y + 3 (m + 1) z = 8 \end{array} \right. \)
a) [1.75 puntos] Discútelo según los valores del parámetro \( m \).
b) [0.75 puntos] Resuelve el sistema para \( m = -2 \).

PevAU 2018 Ordinaria

Ejercicio 3 (2.5 puntos)

a) [1.5 puntos] Justifica que es posible hacer un pago de 34,50 euros cumpliendo las siguientes restricciones:
- utilizando únicamente monedas de 50 céntimos de euro, de 1 euro y de 2 euros;
- se tienen que utilizar exactamente un total de 30 monedas;
- tiene que haber igual número de monedas de 1 euro como de 50 céntimos y 2 euros juntas.
¿De cuántas maneras y con cuántas monedas de cada tipo se puede hacer el pago?
b) [1 punto] Si se redondea la cantidad a pagar a 35 euros, justifica si es posible o no seguir haciendo el pago bajo las mismas condiciones que en el apartado anterior.

PevAU 2017 Extraordinaria

Ejercicio 3 (2.5 puntos)

Considera el sistema de ecuaciones lineales dado por \( A X = B \) siendo
\( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \\ 1 & 3 & m - 2 \end{pmatrix} \), \( X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \) y \( B = \begin{pmatrix} m \\ 2 m + 1 \\ m - 1 \end{pmatrix} \)
a) [1.25 puntos] Discute el sistema según los valores de \( m \).
b) [1.25 puntos] Para \( m = 2 \), calcula, si es posible, una solución del sistema anterior para la que \( z = 17 \).

PevAU 2017 Extraordinaria

Ejercicio 3 (2.5 puntos)

Considera \( A = \begin{pmatrix} k & 0 & k \\ k + 1 & k & 0 \\ 0 & k + 1 & k + 1 \end{pmatrix} \)
a) [1.5 puntos] Discute el rango de \( A \) según los valores de \( k \).
b) [1 punto] Para \( k = 1 \), calcula el determinante de \( 2 (A^t A^{-1})^{2017} \), siendo \( A^t \) la traspuesta de \( A \).

PevAU 2017 Ordinaria

Ejercicio 3 (2.5 puntos)

Considera \( A = \begin{pmatrix} -2 & -2 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \) y \( X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \)
a) [1 punto] Determina los valores de \( \lambda \) para los que la matriz \( A + \lambda I \) no tiene inversa (\( I \) es la matriz identidad).
b) [1.5 puntos] Resuelve \( A X = -3 X \). Determina, si existe, alguna solución con \( x = 1 \).

PevAU 2017 Ordinaria

Ejercicio 3 (2.5 puntos)

Sabemos que el coste de 3 lápices, 1 rotulador y 2 carpetas es de 15 euros, mientras que el de 2 lápices, 4 rotuladores y 1 carpeta es de 20 euros.
a) [1.5 puntos] Sabiendo que 1 lápiz y 7 rotuladores cuestan 25 euros ¿podemos deducir el precio de cada uno de los artículos? Razona la respuesta.
b) [1 punto] Si por el precio de una carpeta se pueden comprar 10 lápices ¿cuánto cuesta cada uno de los artículos?