PROBLEMA 1 [2,5 puntos] La industria de la relojería ha visto un resurgimiento en la demanda de productos tradicionales y una determinada fábrica de relojes que se encuentra en un momento crucial de su desarrollo, quiere aprovechar esta tendencia. Sin embargo, se enfrenta a ciertas restricciones de producción, como la capacidad de maquinaria, la disponibilidad de materiales y la mano de obra especializada, lo que le hace limitar la fabricación diaria a 1000 unidades. El análisis que realiza la fábrica se centra en determinar si es más viable producir relojes de pulsera o de bolsillo y en qué medida puede optimizar este proceso productivo. Para ello, considera varios factores. En cuanto a la facturación, hay una diferencia importante, la unidad de reloj de pulsera la vende a 90 euros, mientras que por cada uno de bolsillo ingresa 120 euros. Por otra parte, las limitaciones de empleo de maquinaria, así como la duración de las jornadas del personal especializado, impiden la fabricación de más de 800 relojes de pulsera al día y de más de 600 de bolsillo. Atendiendo a la situación de esta fábrica, responda a los apartados a) y b):

a) [2,2 puntos] ¿Cuántos relojes de cada tipo debe producir a diario para obtener el máximo ingreso?

b) [0,3 puntos] ¿Cuál sería dicho ingreso?

PROBLEMA 2 En caso de elegir este problema hay que responder a uno de estos dos apartados: APARTADO 2.1 o APARTADO 2.2

APARTADO 2.1 [2,5 puntos] En un examen de matemáticas que constaba de tres problemas, Aitor obtuvo una calificación total de 7,2 puntos. La puntuación obtenida en el primer problema fue un 40% más que la obtenida en el segundo, y la del tercero fue el doble de la suma de las puntuaciones obtenidas en el primero y en el segundo. ¿Cuál fue la puntuación obtenida por Aitor en cada problema?

APARTADO 2.2 [2,5 puntos]

a) [1,25 puntos] Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

\[ \begin{pmatrix} 3 & 1 - 2 x & 0 \\ 2 & x + 1 & 2 \\ 0 & 1 & z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} y \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \]

b) [1,25 puntos] Dada la matriz \( A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \), calcula la matriz \( M = A^t \cdot A^{-1} \).

PROBLEMA 3 En caso de elegir este problema hay que responder a uno de estos dos apartados: APARTADO 3.1 o APARTADO 3.2

APARTADO 3.1 [2,5 puntos] La función de costes de una empresa (en miles de euros) se puede determinar mediante la expresión:

\[ f(x) = 40 - 6 x + x^2, \text{ para } x \geq 0 \]

donde "x" representa la cantidad producida de un determinado artículo.

a) [0,75 puntos] ¿Disminuye el coste alguna vez?

b) [0,5 puntos] Determina la cantidad producida de este artículo cuando el coste es mínimo y calcula cuál es dicho coste.

c) [0,25 puntos] ¿Cuál sería el coste si no se produjese nada de ese artículo?

d) [0,75 puntos] Si el coste fuera 80.000 €, ¿cuál sería la cantidad producida?

e) [0,25 puntos] Representa gráficamente la función.

APARTADO 3.2 [2,5 puntos]

a) [0,75 puntos] Sea la función \( f(x) = a x^3 + 3 x^2 - 5 x + b \). Halla los valores de los coeficientes \( a \) y \( b \) sabiendo que la función pasa por el punto \( (1, -3) \) y tiene un punto de inflexión en \( x = -1 \).

b) [1 punto] Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos relativos de la función \( g(x) = x^3 - 3 x^2 + 7 \).

c) [0,75 puntos] Calcula el área de la región delimitada por la función \( g(x) \), el eje de abscisas OX y las rectas \( x = 1 \), \( x = 2 \); y haz su representación gráfica.

PROBLEMA 4 En caso de elegir este problema hay que responder a uno de estos dos apartados: APARTADO 4.1 o APARTADO 4.2

APARTADO 4.1 [2,5 puntos] En una caja hay una bola roja y una bola azul. Se extraen dos bolas de la caja como se explica a continuación: se extrae una bola, y antes de sacar la segunda se devuelve a la caja la primera bola extraída, añadiendo otras dos bolas del mismo color.

a) [0,5 puntos] Calcula la probabilidad de que la segunda bola extraída sea roja si la primera que se ha extraído ha sido azul.

b) [1,25 puntos] Calcula la probabilidad de que la segunda bola extraída sea azul.

c) [0,75 puntos] Si la segunda bola ha sido azul, ¿cuál es la probabilidad de que la primera bola extraída haya sido roja?

APARTADO 4.2 [2,5 puntos] Sean \( A \), \( B \), \( C \), \( D \) y \( E \) sucesos de un determinado experimento aleatorio.

a) [0,75 puntos] Sabemos que \( P(A) = 0,4 \); \( P(B) = 0,3 \) y \( P(A \cup B) = 0,5 \). Calcula la probabilidad de que ocurran \( A \) y \( B \).

b) [1 punto] Sabemos que \( P(C) = 0,5 \); \( P(D) = 0,6 \) y \( P(C \cup D) = 0,7 \). Calcula la probabilidad de que ocurra \( C \) sabiendo que ha ocurrido \( D \).

c) [0,75 puntos] Sabemos que \( P(A) = 0,4 \); \( P(E) = 0,6 \) y que los sucesos \( A \) y \( E \) son independientes. Calcula la probabilidad de que ocurra alguno de los dos sucesos.

PROBLEMA 5 En caso de elegir este problema hay que responder a uno de estos dos apartados: APARTADO 5.1 o APARTADO 5.2

APARTADO 5.1 [2,5 puntos] En un determinado mes el tiempo diario de conexión a Internet del alumnado de una cierta universidad sigue una distribución normal de media 210 minutos y de varianza 144 minutos\(^2\).

a) [1 punto] Obtén el intervalo característico para el 80%.

b) [0,3 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de conexión en un día sea superior a 228 minutos?

c) [0,8 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de conexión en un día esté entre 200 y 210 minutos?

d) [0,4 puntos] Seleccionada una muestra aleatoria simple de tamaño 30, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de conexión a Internet sea inferior a 207 minutos?

APARTADO 5.2 [2,5 puntos] Para estimar el coeficiente intelectual medio de las y los estudiantes de cierta universidad, se ha tomado una muestra aleatoria de tamaño 100, a partir de la que se han obtenido los siguientes valores:

\[ \bar{x} = 98 \text{ puntos y } s = 15 \text{ puntos.} \]

Hemos hecho la siguiente afirmación: "El coeficiente intelectual medio de las y los estudiantes de esta universidad está entre 94,5 puntos y 101,5 puntos". ¿Con qué nivel de confianza se puede hacer esta afirmación?