Sea el sistema de ecuaciones lineales:

\[ \left\{ \begin{array}{l} x - y + a z = -2 \\ -x + 2 y - a z = 3 \\ a x + y + z = 2 \end{array} \right. \]

donde \( a \) es un parámetro real. Obtener:

a) [5 puntos] El estudio del sistema en función del parámetro \( a \).

b) [5 puntos] Las soluciones del sistema cuando éste sea compatible.

Se dan las matrices \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) y \( U = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \). Obtener (con los cálculos intermedios necesarios, así como con la mención explícita de los teoremas o propiedades utilizados):

a) [7 puntos] Las matrices \( A^{-1} \) y \( B = A^3 - 3 A^2 + 5 A \).

b) [3 puntos] Los valores \( \alpha \) y \( \beta \) tales que \( \alpha A^2 + \beta A + U = A^{-1} \).

Se dan las funciones polinómicas \( f(x) = -x^2 + x + 2 \) y \( g(x) = x^2 - b \), siendo \( b \) un parámetro real. Obtener:

a) [5 puntos] El valor de \( b \) para que uno de los puntos de intersección de las curvas \( y = -x^2 + x + 2 \) e \( y = x^2 - b \) sea el punto \( P = (-1, 0) \). Dibujad un esquema de las curvas \( y = -x^2 + x + 2 \) e \( y = x^2 - 1 \).

b) [5 puntos] El área de la superficie finita encerrada entre las curvas \( y = -x^2 + x + 2 \) e \( y = x^2 - 1 \).

Una ventana Norman está formada por un rectángulo y un semicírculo. El semicírculo está apoyado sobre el lado horizontal superior del rectángulo, que coincide con el diámetro horizontal del semicírculo. La base del rectángulo mide \( x \) y su altura mide \( y \), por lo que el diámetro del semicírculo mide \( x \). Obtener:

a) [4 puntos] La expresión \( S(x) \) que da el área de una ventana Norman de perímetro 5 metros en función de su anchura \( x \).

b) [6 puntos] El valor de \( x \) para el que la función \( S(x) \) tenga un máximo relativo y el valor de dicha área máxima.

Dadas las rectas \( r: \left\{ \begin{array}{l} y - z = 0 \\ 2 x + 2 = 0 \end{array} \right. \) y \( s: \frac{x - 2}{-1} = \frac{y}{3} = z + 2 \), obtener:

a) [5 puntos] La ecuación del plano \( \pi \) paralelo a ambas y que pase por el origen.

b) [5 puntos] La distancia de un punto de \( r \) y de un punto de \( s \) al plano \( \pi \).

Dadas la recta \( r \) y el plano \( \pi \), de ecuaciones \( r: \frac{x - 5}{1} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z}{4} \) y \( \pi: a x + y - z = b \), con \( a \) y \( b \) parámetros reales, obtener:

a) [4 puntos] Los valores del parámetro \( a \) para los que \( r \) y \( \pi \) se cortan en un único punto y calcular las coordenadas de dicho punto en función del parámetro \( a \).

b) [6 puntos] Los valores de \( a \) y \( b \) tales que la recta \( r \) esté contenida en el plano \( \pi \) y los valores de los parámetros para que la recta \( r \) no corte al plano \( \pi \).

Una máquina funciona en modo automático el \( 70\% \) de los días y de modo manual el resto de los días. La probabilidad de que tenga un fallo cuando funciona en modo automático es \( 0.15 \). La probabilidad de que tenga un fallo cuando funciona en modo manual es \( 0.05 \). Obtener:

a) [5 puntos] La probabilidad de que no tenga ningún fallo.

b) [5 puntos] Si un día tiene un fallo, ¿cuál es la probabilidad de que haya funcionado en modo manual?

Un usuario de internet sabe que en el \( 60\% \) de las compras que realiza no tiene ningún problema. Si en un día realiza 8 compras, calcular:

a) [4 puntos] La probabilidad de que, como máximo en 6, no tenga ningún problema.

b) [3 puntos] La probabilidad de que no tenga problemas al menos en 4 compras.

c) [3 puntos] La probabilidad de que no tenga problemas en más de 3 y como máximo en 7 compras.

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales que depende de un parámetro real \( m \):

\[ \begin{aligned} -x + y + z &= m \\ 2x + m y - z &= 3m \\ (m - 1) x + 3 y - z &= 6 + m \end{aligned} \]

Se pide:

a) [6 puntos] Discutir el sistema en función de los valores del parámetro \( m \).

b) [4 puntos] Para los valores de \( m \) para los que el sistema es compatible indeterminado, encontrar la solución.

Se consideran las matrices \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2m & m \\ 0 & m & 0 \\ m & 1 & m \end{pmatrix} \) y \( B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \). Se pide:

a) [3 puntos] Estudiar el rango de \( A \) en función del parámetro real \( m \).

b) [4 puntos] Para \( m = -1 \), resolver la ecuación matricial \( A X = B \).

c) [3 puntos] Para \( m = 0 \), calcular \( A^5 \).

Se considera la recta \( r: \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z + 2}{-1} \) y el plano \( \pi: 3x - m y + z = 1 \). Se pide:

a) [4 puntos] Determinar el valor del parámetro real \( m \) para que \( r \) y \( \pi \) sean paralelos. Obtener además los valores de \( m \) para los que el plano \( \pi \) contiene a la recta \( r \).

b) [3 puntos] Para los valores \( m \) del apartado anterior, hallar un plano paralelo a \( \pi \), que contenga a la recta \( r \).

c) [3 puntos] Calcular, en función de \( m \), la distancia entre \( \pi \) y el punto \( P = (1, -1, -2) \).

Un cuadrado tiene dos vértices consecutivos en los puntos \( P = (2, 1, 3) \) y \( Q = (1, 3, 1) \), y los otros dos sobre una recta \( r \) que pasa por el punto \( R = (4, 7, 6) \). Se pide:

a) [2 puntos] Calcular la ecuación de la recta \( r \).

b) [3 puntos] Calcular la ecuación del plano que contiene al cuadrado.

c) [5 puntos] Hallar las coordenadas de los otros dos vértices.

Sea la función \( f(x) = \frac{k x}{e^{2x}} \) donde \( k \) es un parámetro real. Se pide:

a) [3 puntos] Obtener el dominio y las asíntotas de \( f(x) \).

b) [5 puntos] Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de \( f(x) \) y sus máximos y mínimos.

c) [2 puntos] Justificar que la función siempre se anula en algún punto del intervalo \( [-1, 1] \).

Sea el rectángulo \( R \) definido por los puntos del plano \( (-1, 0) \), \( (1, 0) \), \( (1, 1) \) y \( (-1, 1) \). Se consideran las gráficas de las funciones \( f(x) = x^2 \) y \( g(x) = a \), \( 0 < a < 1 \), contenidas dentro de \( R \). Obtener el valor de \( a \) que cumple que el área comprendida entre dichas gráficas es igual a un tercio del área de \( R \).

Una bolsa contiene dos monedas que llamamos \( M_1 \) y \( M_2 \). La moneda \( M_1 \) es una moneda trucada que tiene impresa una cara en uno de sus lados y una cruz en el otro. La probabilidad de obtener cara con la moneda \( M_1 \) es de \( 0.6 \). La moneda \( M_2 \) tiene una cara impresa en ambos lados. Se pide:

a) Escogemos una moneda al azar de la bolsa, la lanzamos, anotamos el resultado y la devolvemos a la bolsa. Repetimos esta acción tres veces.

1. [3 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de haber obtenido tres caras?

2. [3 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de haber obtenido exactamente una cruz?

b) [4 puntos] Se elige al azar una moneda de la bolsa y se lanza dos veces observándose dos caras. Calcular la probabilidad de que la moneda seleccionada sea la moneda \( M_1 \). Responder a la misma pregunta para la moneda \( M_2 \).

Un comercial de venta por teléfono sabe que en el \( 30\% \) de sus llamadas no consigue una venta. Este comercial realiza 10 llamadas. Se pide:

a) [3 puntos] Calcular la probabilidad de que consiga más de 7 ventas.

b) [3 puntos] Calcular la probabilidad de que consiga al menos 5 ventas.

c) [4 puntos] Calcular la probabilidad de que consiga un mínimo de 3 ventas y un máximo de 8 ventas.

Los resultados han de expresarse en forma de fracción o en forma decimal con cuatro decimales de aproximación.

Se considera la matriz \( A = \begin{pmatrix} 0 & k & 3 \\ k & \frac{1}{2} & 1 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix} \) donde \( k \) es un número real. Se pide:

a) [2 puntos] ¿Para qué valores del parámetro \( k \) la matriz \( A \) es invertible?

b) [4 puntos] Para \( k = 0 \), si existe, calcular la matriz inversa de \( A \).

c) [4 puntos] Para \( k = 0 \), hallar las matrices diagonales \( D \) que verifican \( A D = D A \).

Sean las matrices \( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ a & 0 & 3 \end{pmatrix} \) y \( B = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{pmatrix} \). Se pide:

a) [5 puntos] Estudiar los valores del parámetro real \( a \) para los que la ecuación matricial \( A^2 X = B \) tiene una única solución.

b) [5 puntos] Sabiendo que el vector \( \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} \) es una solución de la ecuación \( A^2 X = B \), encontrar el valor de \( \alpha \), \( \beta \) y \( \gamma \) dependiendo del parámetro real \( a \).

Se dan las rectas \( r: x - 1 = y - 2 = \frac{z - 1}{2} \) y \( s: \frac{x - 3}{-2} = \frac{y - 3}{-1} = \frac{z + 1}{2} \). Se pide:

a) [5 puntos] Comprobar que se cortan y calcular las coordenadas del punto \( P \) de intersección.

b) [5 puntos] Determinar la ecuación de la recta que pasa por \( P \) y es perpendicular a \( r \) y a \( s \).

Sea el plano \( \pi: 6x + 4y - 3z - d = 0 \). Se pide:

a) [2 puntos] Calcular los valores de \( d \) para que la distancia del plano al origen sea una unidad.

b) [3 puntos] Calcular, en función del parámetro \( d \), las coordenadas de los puntos \( A \), \( B \) y \( C \) que resultan de intersectar el plano \( \pi \) con los eixos de coordenadas \( X \), \( Y \) y \( Z \), respectivamente.

c) [5 puntos] Para \( d \neq 0 \), calcular el ángulo formado por los vectores \( \overrightarrow{AB} \) y \( \overrightarrow{AC} \) determinados por los puntos del apartado anterior.

Se considera la función \( h(x) = ax + x^2 \), donde \( a \) es un parámetro real. Se pide:

a) [3 puntos] El valor de \( a \) que hace que la gráfica de la función \( y = h(x) \) tenga un mínimo relativo en la abscisa \( x = -\frac{3}{4} \).

b) [2 puntos] Para el valor \( a \) del apartado anterior, dibuja las curvas \( y = h(x) \) e \( y = h'(x) \).

c) [5 puntos] Calcula el área del plano comprendida entre ambas curvas.

Se construye una caja de cartón sin tapa a partir de una hoja rectangular de \( 16 \, \text{cm} \) por \( 10 \, \text{cm} \). Esto se hace recortando un cuadrado de longitud \( x \) en cada esquina, doblando la hoja y levantando los cuatro laterales de la caja. Calcular:

a) [8 puntos] Las dimensiones de la caja para que tenga el mayor volumen posible.

b) [2 puntos] Dicho volumen.

Una empresa tiene 3 máquinas de fabricación de latas de refresco. El \( 10.25\% \) de las latas que fabrica la empresa son defectuosas. El \( 30\% \) de las latas las fabrica en la primera máquina, siendo el \( 10\% \) defectuosas. El \( 25\% \) de las latas las fabrica en la segunda máquina, siendo el \( 5\% \) defectuosas. El resto de las latas las fabrica en la tercera máquina. Se pide:

a) [4 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que una lata fabricada por la tercera máquina sea defectuosa?

b) [3 puntos] Si se escoge una lata al azar y no es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la primera máquina?

c) [3 puntos] Si se escoge una lata al azar y es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que no haya sido fabricada en la segunda máquina?

Se ha determinado que en el \( 60\% \) de los mensajes enviados por WhatsApp se añade un emoticono. Una persona envía diez mensajes de WhatsApp. Se pide la probabilidad de que:

a) [3 puntos] Ningún mensaje de los diez tenga emoticonos.

b) [3 puntos] Exactamente dos quintas partes de los mensajes tengan emoticonos.

c) [4 puntos] Ocho o más mensajes tengan emoticonos.

Los resultados han de expresarse en forma de fracción o en forma decimal con cuatro decimales de aproximación.