La primera interpretación en EE.UU. de la octava sinfonía de Mahler tuvo lugar en Filadelfia en 1916 con la participación de una orquesta, dos coros con el mismo número de miembros, un tercer coro infantil y, además, ocho cantantes solistas invitados especialmente y que no pertenecían a ninguno de los coros. La décima parte del número total de intérpretes de los tres coros era menor en 15 unidades al de miembros de la orquesta. Los miembros de cada uno de los dos coros no infantiles superaban en 140 unidades a la suma de componentes del coro infantil y los de la orquesta. El número de miembros de la orquesta excedía en 21 unidades a la doceava parte del total de intérpretes. ¿Cuántos intérpretes tenía la orquesta y cada uno de los coros? ¿Cuántos intérpretes había en total?

Sea la función \( f(x) = x \sqrt[3]{(x^2 - 1)^2} \). Se pide:

a) [0.75 puntos] Halle \( \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{(x - 1)^{2/3}} \).

b) [1.75 puntos] Halle el área, en el primer cuadrante, comprendida entre la recta \( y = x \) y la gráfica de la función \( f(x) \).

Sea la recta \( r \equiv \begin{cases} x = \lambda \\ y = 0 \\ z = 0 \end{cases} \) y el plano \( \pi: z = 0 \). Se pide:

a) [1 punto] Halle una ecuación de la recta paralela al plano \( \pi \) cuya dirección sea perpendicular a \( r \) y que pase por el punto \( (1, 1, 1) \).

b) [1.5 puntos] Halle una ecuación de una recta que forme un ángulo de \( \frac{\pi}{4} \) radianes con la recta \( r \), que esté contenida en el plano \( \pi \) y pase por el punto \( (0, 0, 0) \).

La selección española competirá en la Copa Mundial Femenina de Fútbol 2023. En los dos primeros partidos de la fase de grupos, que consta de tres partidos, la probabilidad de ganar cada uno de ellos es del 80%. Sin embargo, debido al aumento en la moral de las jugadoras, si ganan los dos primeros partidos la probabilidad de ganar el tercero asciende al 90%. En caso contrario, la probabilidad de ganar el tercer partido se mantendrá en el 80%. Se pide:

a) [0.5 puntos] Determinar la probabilidad de que la selección española no gane ningún partido durante la fase de grupos.

b) [1 punto] Calcular la probabilidad de que la selección gane el tercer partido de la fase de grupos.

c) [1 punto] Si sabemos que la selección ha ganado el tercer partido, determinar la probabilidad de que no haya ganado alguno de los dos encuentros anteriores.

Consideremos las matrices reales \( A = \begin{pmatrix} m & 1 & 1 \\ 0 & m & 3 \end{pmatrix} \) y \( B = \begin{pmatrix} 1 & m \\ 0 & m \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \). Se pide:

a) [0.75 puntos] Estudiar si existe algún valor de \( m \) para el cual la matriz \( B A \) tiene inversa.

b) [0.75 puntos] Estudiar el rango de la matriz \( A B \) en función del parámetro \( m \).

c) [1 punto] Para \( m = 1 \), discutir el sistema \( (A^t A) \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ a \\ a^2 \end{pmatrix} \) según los valores de \( a \).

Dada la función real de variable real \( f(x) = x - \frac{1}{(x - 1)^2} \), se pide:

a) [0.75 puntos] Hallar el dominio de definición de \( f(x) \) y determinar, en el caso de que existan, las ecuaciones de las asíntotas de su gráfica.

b) [1 punto] Determinar los extremos relativos de la función, así como sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

c) [0.75 puntos] Calcular la ecuación de una recta tangente a la gráfica de \( f(x) \) que sea paralela a la recta de ecuación \( 9x - 8y = 6 \).

Dados los puntos \( A(0, 0, 1) \), \( B(1, 1, 0) \), \( C(1, 0, -1) \), \( D(1, 1, 2) \), se pide:

a) [0.75 puntos] Comprobar que los puntos \( A, B, C \) y \( D \) no son coplanarios y hallar el volumen del tetraedro que forman.

b) [0.75 puntos] Hallar el área del triángulo que forman los puntos \( B, C \) y \( D \) y el ángulo \( \hat{B} \) del mismo.

c) [1 punto] Hallar uno de los puntos \( E \) del plano determinado por \( A, B \) y \( C \) tales que el cuadrilátero \( A B C E \) sea un paralelogramo. Hallar el área de dicho paralelogramo.

En un espacio muestral se tienen dos sucesos incompatibles, \( A_1 \) de probabilidad 0.5 y \( A_2 \) de probabilidad 0.3, y se considera \( A_3 = \overline{A_1 \cup A_2} \). De cierto suceso \( B \) de probabilidad 0.4 se sabe que es independiente de \( A_1 \) y que la probabilidad del suceso \( A_3 \cap B \) es 0.1. Con estos datos se pide:

a) [1 punto] Calcular la probabilidad de \( A_3 \).

b) [1.5 puntos] Decidir si \( B \) y \( A_2 \) son independientes.

Se tienen listones de madera de tres longitudes diferentes: largos, intermedios y cortos. Puestos uno tras otro, tanto con dos listones largos y cuatro intermedios como con tres intermedios y quince cortos se consigue la misma longitud total. Un listón largo supera en \( 17 \, \text{cm} \) la medida de uno intermedio más uno corto. Y con nueve listones cortos hemos de añadir \( 7 \, \text{cm} \) para igualar la longitud de uno intermedio seguido por uno largo. Se pide calcular la longitud de cada tipo de listón.

Para la función \( f(x) = x^4 + \pi x^3 + \pi^2 x^2 + \pi^3 x + \pi^4 \), se pide:

a) [0.5 puntos] Calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f(x) \) en \( x = \pi \).

b) [1 punto] Probar que \( f(x) \) tiene, al menos, un punto con derivada nula en el intervalo \( (-\pi, 0) \) utilizando justificadamente el teorema de Rolle. Probar de nuevo la misma afirmación utilizando adecuadamente, esta vez, el teorema de Bolzano.

c) [1 punto] Si \( g(x) = f(-x) \), calcular el área entre las gráficas de \( f(x) \) y \( g(x) \) en el intervalo \( [0, \pi] \).

Dados los puntos \( A(0, 0, 1) \) y \( B(1, 1, 0) \), se pide:

a) [1 punto] Hallar una ecuación del plano que pasa por los puntos \( A \) y \( B \) y es perpendicular al plano \( z = 0 \).

b) [1.5 puntos] Hallar ecuaciones de dos rectas paralelas, \( r_1 \) y \( r_2 \), que pasen por los puntos \( A \) y \( B \) respectivamente, estén en el plano \( x + z = 1 \) y tales que la distancia entre ellas sea 1.

Sabiendo que \( P(\bar{A}) = \frac{11}{20} \), \( P(A \mid B) - P(B \mid A) = \frac{1}{24} \) y \( P(A \cap \bar{B}) = \frac{3}{10} \), se pide:

a) [1.5 puntos] Calcular \( P(A \cap B) \) y \( P(B) \).

b) [1 punto] Calcular \( P(C) \), siendo \( C \) otro suceso del espacio muestral, independiente de \( A \) y que verifica que \( P(A \cup C) = \frac{14}{25} \).

Consideremos las matrices reales \( A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix} \), \( B = \begin{pmatrix} b & 2b & b \\ 2b & 3b & b \\ b & b & b \end{pmatrix} \) y \( C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \), con \( b \neq 0 \). Se pide:

a) [1.25 puntos] Encontrar todos los valores de \( b \) para los que se verifica \( B C B^{-1} = A \).

b) [0.75 puntos] Calcular el determinante de la matriz \( A A^t \).

c) [0.5 puntos] Resolver el sistema \( B \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \) para \( b = 1 \).

Calcule:

a) [1.25 puntos] \( \int_1^\infty (x + 2) \ln x \, dx \).

b) [1.25 puntos] \( \lim_{x \to \frac{1}{2}} \left( \tan \frac{x}{2} \right)^{\left( \frac{1}{2(x) + 2} \right)} \).

Al ordenador de una impresora 3D se le suministraron ayer las coordenadas de los cuatro vértices \( P_1, P_2, P_3 \) y \( P_4 \) de un tetraedro sólido, el cual construyó al momento. Se sabe que \( P_1(1, 1, 1) \), \( P_2(2, 1, 0) \) y \( P_3(1, 3, 2) \), pero del cuarto punto \( P_4(3, a, 3) \) hoy no estamos seguros del valor de su segunda coordenada. Se pide:

a) [1.5 puntos] A partir de la cantidad de material utilizado por la impresora sabemos que el volumen del tetraedro es \( V = 1 \). También sabemos que la longitud de ninguna de sus aristas supera la altura de la impresora, que es de 10. Determine los posibles valores de \( a \).

b) [1 punto] Dado el punto \( Q(3, 3, 3) \), se quiere imprimir ahora el paralelepípedo que tiene a los segmentos \( P_1 P_2 \), \( P_2 P_3 \) y \( P_4 Q \) como aristas. ¿Cuáles serían los valores de las coordenadas de los ocho vértices del paralelepípedo que habría que suministrar al ordenador?

Tenemos dos dados no trucados de seis caras, uno azul y uno rojo. Las caras están numeradas del 1 al 6. En un determinado juego, lanzamos los dos dados. Para calcular la puntuación obtenida, se sigue el siguiente procedimiento: si el número obtenido en el dado azul es par, se le suma el doble del número obtenido en el dado rojo; si el número obtenido en el dado azul es impar, se le suma el número obtenido en el dado rojo. Se pide:

a) [1 punto] Calcular la probabilidad de obtener una puntuación de 10. Calcular la probabilidad de obtener una puntuación impar.

b) [1.5 puntos] Calcular la probabilidad de haber obtenido un número par en el dado azul sabiendo que la puntuación final ha sido 8. Calcular la probabilidad de haber obtenido un número impar en el dado rojo sabiendo que la puntuación final ha sido un número par.

Tras una gran cosecha de sandías en una comarca, la producción se mete en cajas cúbicas de \( 1 \, \text{m} \) de lado que se amontonan en una gran pila compacta en forma de ortoedro. Al doble del largo de este ortoedro le faltan \( 2 \, \text{m} \) para llegar a ser la suma del ancho y el alto. Pero el largo supera en \( 8 \, \text{m} \) al ancho menos el alto. El perímetro de la base es \( 54 \, \text{m} \). ¿Cuántas cajas de sandías ha producido esta cosecha?

Dada la función \( f(x) = \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1} \), se pide:

a) [1.25 puntos] Hallar su dominio y estudiar las asíntotas de su gráfica.

b) [0.75 puntos] Calcular la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto \( (2, \frac{7}{3}) \).

c) [0.5 puntos] Encontrar, si es posible, algún punto \( x_0 \) tal que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto \( (x_0, f(x_0)) \) sea 1.

Dados el punto \( P(-1, 2, 6) \), el plano \( \pi: 3x - 2y + z - 5 = 0 \) y la recta \( s \equiv \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 0}{-1} \), se pide:

a) [1.5 puntos] Halle una ecuación de la recta que pasa por \( P \), es secante a \( s \) y paralela al plano \( \pi \).

b) [1 punto] Halle el simétrico del punto \( P \) respecto al plano \( \pi \).

Para conocer la opinión de los usuarios sobre su servicio, la empresa de transporte público de una ciudad ha realizado una encuesta. De esa encuesta se desprende que la nota global otorgada al servicio por sus usuarios se puede considerar una normal de media 6.7 y de desviación típica 1.25. Si un usuario da una nota menor que 5 se considera que ve como insatisfactorio el servicio; si la nota está entre 5 y 7.5, que para el usuario el servicio es satisfactorio; y si la nota es mayor que 7.5, que el servicio es excelente. Se pide:

a) [0.75 puntos] Elegido un usuario al azar, ¿qué probabilidad hay de que crea que el servicio de la empresa de transportes es excelente?

b) [1 punto] Elegido un usuario al azar, ¿qué probabilidad hay de que crea que el servicio de la empresa de transportes es satisfactorio?

c) [0.75 puntos] Para conocer de forma más directa la opinión de sus usuarios, de entre todos ellos la empresa convoca a 25 elegidos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de entre los convocados consideren el servicio insatisfactorio?

Sean \( X \) e \( Y \) dos matrices reales y cuadradas de orden dos tales que \( 5X - 3Y = A \) y \( 3X + 6Y = B \), con \( A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \) y \( B = \begin{pmatrix} 39 & 2 \\ -15 & 13 \end{pmatrix} \). Se pide:

a) [1.5 puntos] Hallar \( X \), \( Y \) y \( X^{-1} \).

b) [1 punto] Calcular \( A^{127} \).

Sea \( f(x) = \frac{|x|}{x^2 + 1} \). Se pide:

a) [1.5 puntos] Analice la monotonía y los extremos relativos de \( f(x) \).

b) [1 punto] Halle el área de la región acotada delimitada por la recta \( y = \frac{1}{2} \) y la gráfica de \( f(x) \).

En el punto \( A(1, 0, -1) \) se encuentra un emisor láser que dispara un rayo de luz (unidimensional) apuntando hacia el punto \( B(3, 1, 0) \). Dicho rayo incide en un punto \( P \) del plano \( \pi: \begin{cases} x = 2 - \alpha \\ y = 2 + 2\beta \\ z = \alpha - 2\beta \end{cases}, \alpha, \beta \in \mathbb{R} \). Llamamos al punto \( P \) el punto de incidencia del rayo de luz sobre el plano \( \pi \). Se pide:

a) [1.25 puntos] Calcular una ecuación del plano de incidencia, es decir, el plano perpendicular a \( \pi \) que contiene al rayo de luz.

b) [0.75 puntos] Calcular la distancia que recorre el rayo de luz desde el emisor hasta el punto \( P \).

c) [0.5 puntos] Calcular el ángulo que debería girar el emisor para que la distancia entre él y el nuevo punto de incidencia sobre \( \pi \) sea mínima.

En la sección de idiomas de una biblioteca municipal se tienen libros, en francés o inglés, de tres categorías: el 50% son cuentos infantiles, el 30%, novelas históricas y el resto, manuales técnicos. Uno de cada cinco de los cuentos está en francés y una de cada tres de las novelas, en inglés. Por otra parte, uno de cada siete de los libros en francés es un manual técnico. Se toma un libro al azar y se pide:

a) [1.25 puntos] Calcular la probabilidad de que esté en francés si no es un manual técnico.

b) [1.25 puntos] Calcular la probabilidad de que esté escrito en francés, y la probabilidad de que si está en inglés sea una novela histórica.

Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro \( \lambda \),

\[ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ \lambda - 1 & 1 & 1 \\ 1 & \lambda - 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ \lambda \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \]

se pide:

a) [1.5 puntos] Discutir el sistema en función de los valores de \( \lambda \).

b) [1 punto] Resolver el sistema en el caso \( \lambda = 1 \) y encontrar, si es posible, una solución con \( x = 5 \).

Se pide:

a) [1 punto] Proponer un ejemplo de función polinómica de grado 2 cuya gráfica sea tangente a la recta \( y = x \) en el punto \( (0, 0) \).

b) [1 punto] Proponer un ejemplo de función polinómica de grado 2 que tenga un máximo relativo en el punto \( (1, 1) \).

c) [0.5 puntos] Justificar si una función polinómica de grado 2 puede tener dos extremos relativos en \( \mathbb{R} \).

Sean los puntos \( P(1, -1, 3) \) y \( Q(2, 1, -1) \):

a) [1 punto] Determinar una ecuación del plano respecto del cual ambos puntos son simétricos.

b) [1.5 puntos] El segmento \( P Q \) es uno de los tres lados del triángulo cuya suma de los cuadrados de las longitudes de sus lados es 34 y el tercer vértice se encuentra en la recta \( r \equiv x - 2 = y = z \). Calcular las coordenadas del tercer vértice sabiendo que ninguna de sus coordenadas es nula.

En un espacio muestral se tienen dos sucesos incompatibles, \( A_1 \) y \( A_2 \), de igual probabilidad 0.4 y se considera \( A_3 = \overline{A_1 \cup A_2} \) (por tanto, la probabilidad de \( A_3 \) es 0.2). De cierto suceso \( B \) se sabe que \( P(B \mid A_1) = P(B \mid A_2) \) y \( P(B \mid A_3) = 2 P(B \mid A_1) \). Y de un suceso \( C \) independiente de \( A_1 \) se sabe que \( P(C \mid A_2) = 0.3 \) y \( P(C \mid A_3) = 0.6 \). Con estos datos se pide:

a) [1 punto] Calcular la probabilidad de \( B \) si \( P(B \mid A_1) = 0.25 \).

b) [1.5 puntos] Calcular la probabilidad de \( C \) y determinar si \( C \) es independiente de \( A_2 \).

Como es bien sabido, la siguiente igualdad de determinantes

\[ \det(A + B) = \det A + \det B \]

no es cierta en general. Se pide:

a) [0.75 puntos] Si \( A \) y \( B \) son dos matrices para las que \( \det(A + B) = \det A + \det B \), probar que entonces

\[ \det((A + B)^2) = \det(A^2) + \det(B^2) + 2 \det(AB). \]

b) [1 punto] Dadas las matrices

\[ C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ \alpha & 1 & 0 \\ 2 & -1 & \alpha \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \]

determinar el único valor de \( \alpha \) con el que se cumple la igualdad \( \det(C + D) = \det C + \det D \).

c) [0.75 puntos] Para el valor \( \alpha = -1 \), resolver el sistema homogéneo de ecuaciones lineales que tiene a \( C \) como matriz de coeficientes.

Dada la función \( f(x) = x^3 - 3x \), se pide:

a) [0.75 puntos] Estudiar si es par o impar y calcular sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

b) [1.75 puntos] Calcular el área de la región acotada delimitada por las gráficas de \( f(x) \) y de \( g(x) = x(x - 3) \).

Dado el punto \( P(5, -1, 2) \) y las rectas:

\[ r \equiv \frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z - 0}{1}, \quad s \equiv \begin{cases} x - y = 5 \\ x + z = 3 \end{cases}, \]

se pide:

a) [1 punto] Estudiar la posición relativa de ambas rectas y hallar la distancia entre ellas.

b) [1.5 puntos] Determinar una ecuación de la recta que pasa por \( P \) y corta perpendicularmente a la recta \( r \).

Antonio y Benito, compañeros de piso, lanzan alternadamente un dardo cinco veces a una diana para decidir quién friega. Friega quien menos veces acierte el centro de la diana. En caso de empate, friegan juntos. Si Antonio acierta el centro de la diana en el 25% de sus lanzamientos y Benito en el 30%, se pide:

a) [1 punto] Calcular la probabilidad de que no haga falta llegar al cuarto lanzamiento para decidir quién friega.

b) [1.5 puntos] Aproximando por una normal, calcular la probabilidad de que Antonio falle el centro de la diana en al menos dos terceras partes de 60 lanzamientos.