Ejercicio 1

Una ONG organiza un convoy de ayuda humanitaria con un máximo de 27 camiones para llevar agua potable y medicinas a una zona devastada por unas inundaciones. Para agua potable dedica un mínimo de 12 camiones y para medicinas debe dedicar un número de camiones mayor o igual que la mitad del número de camiones dedicados a llevar agua. Enviar un camión con agua potable tiene un coste de 9000 euros, mientras que el coste para un camión de medicinas es de 6000 euros. Calcular, utilizando técnicas de programación lineal, cómo debe organizarse el convoy para que su coste sea mínimo. ¿Cuál es el coste de la solución óptima? [3 puntos]

Ejercicio 2

Consideremos la función

\[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 3 x - 1 & \text{si } x \leq 2 \\ \frac{2 x + 71}{4 x + 7} & \text{si } x > 2 \end{array} \right. \]

Responda a la siguiente cuestión:

2.1 Calcular el área limitada por la función \( f(x) \) y el eje de abscisas en el intervalo \( [0, 2] \), dibujando el recinto correspondiente. [1.5 puntos]

Responda a una de las siguientes cuestiones:

2.2 Aplicar el concepto de límite para estudiar si la función es continua. [1.5 puntos]

2.3 Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función en el intervalo \( (2, \infty) \). [1.5 puntos]

Ejercicio 3

Un instituto está preparando un estudio propado por el impacto que el uso de redes sociales está teniendo en el rendimiento académico de sus estudiantes de bachillerato. Para investigar este tema, se revisan algunos informes publicados sobre el uso de redes sociales durante las horas de estudio.

A partir de los informes revisados, se ha determinado que el 70% de los estudiantes usa redes sociales mientras estudia y que el 30% no lo hace. Del grupo de estudiantes que usa redes sociales, el 60% estudia menos de 2 horas diarias, mientras que el 40% estudia 2 o más horas al día. Del grupo que no usa redes sociales, el 20% estudia menos de 2 horas y el 80% estudia 2 o más horas.

Responda a las siguientes cuestiones:

3.1. Escribir la información anterior en términos de probabilidades de sucesos. [1 punto]

3.2. Se selecciona al azar a un estudiante y resulta que estudia menos de 2 horas al día. Determinar si es más probable que este estudiante use redes sociales o no durante sus horas de estudio. [1 punto]

Responda a uno de los siguientes problemas (3.3 o 3.4):

3.3. Se sabe que el tiempo diario de estudio de los estudiantes sigue una distribución normal con una media de 2.5 horas y una desviación estándar de 0.5 horas.

    a) ¿Cuál es el tiempo mínimo de estudio diario que alcanza el 90% de los estudiantes? [1 punto]

    b) Calcular la probabilidad de que un estudiante estudie entre 2 y 4.5 horas al día. [1 punto]

3.4. El director del instituto selecciona 5 estudiantes al azar para entrevistarles sobre sus hábitos de estudio.

    a) Calcular la probabilidad de que al menos 4 estudiantes usen redes sociales durante el estudio. [1 punto]

    b) Calcular la probabilidad de que exactamente 3 de los 5 estudiantes seleccionados usen redes sociales mientras estudian. [1 punto]