Ejercicio 1 (Sección 1, Bloque 1)

Una pastelería hace todos los días tartas y bizcochos. Para una tarta se necesitan \( 1 \mathrm{~kg} \) de harina y \( 3 \mathrm{~kg} \) de azúcar y para un bizcocho se necesitan \( 2 \mathrm{~kg} \) de harina y \( 2 \mathrm{~kg} \) de azúcar. Diariamente han de hacer al menos 2 tartas y 3 bizcochos. Si se dispone de \( 16 \mathrm{~kg} \) de harina y \( 21 \mathrm{~kg} \) de azúcar y la tarta se vende por 20 euros, mientras que el bizcocho por 15 euros. Determinar la cantidad de tartas y bizcochos que hay que preparar para obtener los máximos ingresos.

a) Expresa la función objetivo, escribe mediante inecuaciones las restricciones del problema y representa gráficamente el recinto definido.

b) Halla el número de tartas y bizcochos que deben hacerse para que el beneficio sea máximo.

Ejercicio 2 (Sección 1, Bloque 1)

En un museo hay 3 exposiciones, una de arte, una de inventos y otra sobre Egipto, a las que han acudido en total 225 personas. El número de asistentes a la de Egipto es el doble de la suma de asistentes de las otras dos y es 30 veces la diferencia entre los que acudieron a la de inventos y los que fueron a la de arte.

a) Plantea el sistema de ecuaciones para calcular cuántas personas acudieron a cada una de las exposiciones.

b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior.

Ejercicio 1 (Sección 1, Bloque 2)

El precio de cada acción de una determinada empresa oscila entre 1 € y los 10 €. La facturación de la empresa en millones de euros depende del precio de la acción y viene dada por la función:

\[ f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 3 x^2 + A & \text{si } 1 \leq x \leq 3 \\ -x^3 + 18 x^2 - 96 x + 200 & \text{si } 3 < x \leq 10 \end{array} \right. \]

a) ¿Qué valor de \( A \) hace que la facturación de la empresa varíe de forma continua cuando el precio de la acción es 3 €? (0.5 puntos)

b) Calcula los valores de máxima y mínima facturación en el intervalo \( (3, 10) \).

Ejercicio 2 (Sección 1, Bloque 2)

La función \( f(x) = a x^3 + b x^2 + c \) tiene un punto de inflexión en \( (2, -5) \) y la pendiente de la recta tangente en ese mismo punto es -12. Calcula razonadamente los valores de los parámetros \( a, b \) y \( c \).

Ejercicio 3 (Sección 2, Bloque 1)

En un determinado instituto el \( 60\% \) de los estudiantes prefiere como plataforma de streaming Netflix, pero un \( 30\% \) no está suscrito. El \( 25\% \) prefiere Amazon Prime, pero de estos están suscritos el \( 60\% \). Finalmente, el resto de los estudiantes prefiere Disney+ y un \( 35\% \) de estos no está suscrito.

a) Elegido un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no esté suscrito a su plataforma de streaming preferida?

b) Si se sabe que un estudiante está suscrito a su plataforma favorita, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea Disney+?

Ejercicio 4 (Sección 2, Bloque 1)

Se ha tomado una muestra de 9 adolescentes y ha registrado su peso, obteniendo \( 60, 45, 58, 39, 28, 42, 61, 32 \) y 30 kilogramos. Si el peso sigue una distribución normal de media desconocida y varianza \( \sigma^2 = 81 \) kilogramos\(^2\),

a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional del peso con un nivel de confianza del \( 95.76\% \).

b) Calcula el tamaño mínimo de la muestra elegida para que, con el mismo nivel de confianza, el error máximo admisible sea menor que 1.5 kilogramos.

\[ \begin{array}{|c|cccccccccc|} \hline \mathbf{z} & \mathbf{0.00} & \mathbf{0.01} & \mathbf{0.02} & \mathbf{0.03} & \mathbf{0.04} & \mathbf{0.05} & \mathbf{0.06} & \mathbf{0.07} & \mathbf{0.08} & \mathbf{0.09} \\ \hline \mathbf{2.0} & 0.9772 & 0.9778 & 0.9783 & 0.9783 & 0.9793 & 0.9798 & 0.9803 & 0.9808 & 0.9812 & 0.9817 \\ \mathbf{2.1} & 0.9821 & 0.9826 & 0.9830 & 0.9834 & 0.9838 & 0.9842 & 0.9846 & 0.9850 & 0.9854 & 0.9857 \\ \hline \end{array} \]

Ejercicio 3 (Sección 2, Bloque 2)

Ejercicio tipo Sección 1. Bloque 1. Ejercicio 2

Ejercicio 4 (Sección 2, Bloque 2)

En una academia de idiomas se imparte inglés y alemán en cuatro niveles y dos modalidades distintas: grupos normales y grupos reducidos. La matriz \( A \) representa el número de personas por grupo, donde la primera columna corresponde a los cursos de inglés y la segunda a los cursos de alemán; y las filas, a los niveles primero, segundo, tercero y cuarto respectivamente. Las columnas de la matriz \( B \) reflejan el porcentaje de estudiantes (común a ambos idiomas) que siguen curso reducido, primera fila, y curso normal, segunda fila, para cada uno de los niveles.

\[ A = \left( \begin{array}{cc} 130 & 160 \\ 120 & 180 \\ 210 & 130 \\ 100 & 60 \end{array} \right), \quad B = \left( \begin{array}{cccc} 0.2 & 0.25 & 0.4 & 0.75 \\ 0.8 & 0.75 & 0.6 & 0.25 \end{array} \right) \]

a) Obtén la matriz que proporciona el número de estudiantes por modalidad e idioma.

b) Sabiendo que la academia cobra 20 € por persona en grupos reducidos y 15 € por persona en grupo normal, encuentra la cantidad que la academia ingresa por cada idioma.

Ejercicio 5 (Sección 3, Bloque 1)

Ejercicio tipo Sección 2. Bloque 1. Ejercicio 3

Ejercicio 6 (Sección 3, Bloque 1)

Ejercicio tipo Sección 2. Bloque 1. Ejercicio 4

Ejercicio 5 (Sección 3, Bloque 2)

Ejercicio tipo Sección 1. Bloque 2. Ejercicio 1

Ejercicio 6 (Sección 3, Bloque 2)

La altura, medida en metros, que alcanza una pelota lanzada verticalmente hacia arriba viene expresada en función del tiempo por \( H(x) = 20 x - 2 x^2 \) con \( x = \) tiempo en segundos y \( 0 \leq x \leq 10 \).

a) ¿Qué altura habrá alcanzado la pelota a los 3 segundos?

b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota? ¿En qué momento?

c) Representa gráficamente la evolución de la altura a la que se encuentra la pelota a lo largo del tiempo.

Ejercicio 1

Una empresa de productos de papelería dispone de \( 270 \mathrm{~m}^2 \) de cartón y de \( 432 \mathrm{~m} \) de cinta de goma para la fabricación de dos tipos de carpetas: tamaño folio y tamaño cuartilla. Para una del primer tipo se necesitan \( 0.20 \mathrm{~m}^2 \) de cartón y \( 0.30 \mathrm{~m} \) de cinta de goma y se vende a 2.10 € la unidad. Para una carpeta del segundo tipo se necesitan \( 0.15 \mathrm{~m}^2 \) de cartón y \( 0.27 \mathrm{~m} \) de cinta de goma y se vende a 1.50 € la unidad.

a) Expresa la función objetivo, escribe mediante inecuaciones las restricciones del problema y representa gráficamente el recinto definido. (1.25 puntos)

b) Determina cuántas carpetas de cada tipo tiene que fabricar la empresa para que el beneficio sea máximo. (0.25 puntos)

Ejercicio 2

En la fase nacional de la Olimpiada de Matemáticas Española se reparten un total de 36 medallas, divididas en oro, plata y bronce. El número de medallas de bronce triplica a las medallas de oro y sabemos que, si dos de las medallas de plata se pasaran a la categoría de bronce, entonces la cantidad de medallas de bronce duplicaría la cantidad de medallas de plata.

a) Plantea el sistema de ecuaciones para calcular qué cantidad de medallas de cada tipo se reparten. (0.75 puntos)

b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0.75 puntos)

Ejercicio 1

La evolución de la rentabilidad de un fondo de inversión a lo largo del tiempo, \( x \) en años, viene definida por la función

\[ R(x) = \left\{ \begin{array}{ll} -(x + (t - 3))^2 + (t + 27) & \text{si } 0 \leq x \leq 3 \\ -\frac{1}{3} x^3 - t x^2 + 5 x - 3 & \text{si } x > 3 \end{array} \right. \]

a) ¿Para qué valores de \( t \) la rentabilidad del fondo, \( R(x) \), es una función continua en \( x = 3 \)? (0.5 puntos)

b) Para \( t = -2 \), ¿cuándo se tiene la mayor rentabilidad en el fondo a partir del tercer año? (0.5 puntos)

c) Para \( t = -2 \), determina en qué intervalos de tiempo la rentabilidad del fondo crece y en cuáles decrece a partir del tercer año. (0.5 puntos)

Ejercicio 2

Dada la función \( f(x) = x^4 + a x^3 + b x^2 + c x \), encuentra el valor de los parámetros \( a, b \) y \( c \) sabiendo que la función tiene un extremo relativo en el punto \( (-1, 0) \) y la ecuación de la recta tangente a la función en \( x = 0 \) es \( y = x \). (1.5 puntos)

Ejercicio 3

Una empresa de consultoría tiene dos sedes, una en Toledo y otra en Cuenca. La sede de Toledo está formada por 6 analistas y 6 desarrolladores, mientras que la de Cuenca la forman 4 analistas y 6 desarrolladores. Además, se sabe que el \( 30\% \) de los analistas y el \( 50\% \) de los desarrolladores de la empresa usan MacBooks en su trabajo diario.

a) Elegido un trabajador al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no use MacBook? (0.75 puntos)

b) Si se sabe que un trabajador usa MacBook, ¿cuál es la probabilidad de que sea desarrollador? (0.75 puntos)

Ejercicio 4

Un fabricante de microprocesadores ha tomado una muestra aleatoria de 144 chips y ha medido el tiempo de ejecución de una operación, proporcionando una media de 142 milisegundos. Si se sabe que el tiempo de ejecución de los chips sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica \( \sigma = 42 \) milisegundos,

a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional del tiempo de ejecución de los chips con un nivel de confianza del \( 94.64\% \). (1 punto)

b) Calcula el tamaño mínimo de la muestra elegida para que, con un nivel de confianza del \( 94.12\% \), el error máximo admisible sea menor que 8 milisegundos. (1 punto)

\[ \begin{array}{|c|cccccccccc|} \hline \mathbf{z} & \mathbf{0.00} & \mathbf{0.01} & \mathbf{0.02} & \mathbf{0.03} & \mathbf{0.04} & \mathbf{0.05} & \mathbf{0.06} & \mathbf{0.07} & \mathbf{0.08} & \mathbf{0.09} \\ \hline \mathbf{1.8} & 0.9641 & 0.9649 & 0.9656 & 0.9664 & 0.9671 & 0.9678 & 0.9686 & 0.9693 & 0.9699 & 0.9706 \\ \mathbf{1.9} & 0.9713 & 0.9719 & 0.9726 & 0.9732 & 0.9738 & 0.9744 & 0.9750 & 0.9756 & 0.9761 & 0.9767 \\ \hline \end{array} \]

Ejercicio 3

En una clase se celebran elecciones para delegada y se presentan dos candidatas, Inés y Nerea. Se sabe que cuatro veces el número de votos obtenido por Nerea menos tres veces el número de votos obtenidos por Inés excede al número de votos nulos en un voto. Si dividimos el número de votos obtenidos por Inés entre el número de los obtenidos por Nerea se obtiene de cociente 1 y de resto 7 (Algoritmo de la división: \( D = d \cdot c + r \)). El \( 5\% \) del total de votos emitidos es nulo.

a) Plantea el sistema de ecuaciones para calcular el número de votos nulos y los que recibieron Inés y Nerea. (0.75 puntos)

b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0.75 puntos)

Ejercicio 4

Dadas las matrices \( A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \end{array} \right) \), \( B = \left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 2 & 2 \\ -1 & 1 \end{array} \right) \) y \( C = \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \).

a) Calcula, si es posible, \( C + A \cdot B \) (0.75 puntos)

b) ¿Son iguales \( C^{-1} + (A \cdot B)^{-1} \) y \( (C + A \cdot B)^{-1} \)? (1.25 puntos)

Ejercicio 5

En un instituto el \( 64\% \) de los estudiantes aprueban Matemáticas, el \( 72\% \) aprueban Inglés y el \( 78\% \) aprueban Matemáticas o Inglés o ambas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de suspender alguna de las dos asignaturas? (0.75 puntos)

b) ¿Son independientes los sucesos aprobar Matemáticas y aprobar Inglés? Justifica la respuesta. (0.75 puntos)

Ejercicio 6

La edad de los usuarios de un juego online sigue una distribución normal de media desconocida y varianza \( \sigma^2 = 4 \) años\(^2\). Se ha tomado una muestra de 10 usuarios y sus edades eran \( 16, 19, 21, 15, 14, 18, 20, 15, 14 \) y 18 años.

a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional de la edad de los usuarios con un nivel de confianza del \( 97\% \). (1 punto)

b) Explica, justificando la respuesta, qué se podría hacer para conseguir un intervalo de confianza con menor amplitud para el mismo nivel de confianza. (0.5 puntos)

c) ¿Cuál sería el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de tamaño 81 y un nivel de confianza del \( 95.44\% \)? (0.5 puntos)

\[ \begin{array}{|c|cccccccccc|} \hline \mathbf{z} & \mathbf{0.00} & \mathbf{0.01} & \mathbf{0.02} & \mathbf{0.03} & \mathbf{0.04} & \mathbf{0.05} & \mathbf{0.06} & \mathbf{0.07} & \mathbf{0.08} & \mathbf{0.09} \\ \hline \mathbf{2.0} & 0.9772 & 0.9778 & 0.9783 & 0.9788 & 0.9793 & 0.9798 & 0.9803 & 0.9808 & 0.9812 & 0.9817 \\ \mathbf{2.1} & 0.9821 & 0.9826 & 0.9830 & 0.9834 & 0.9838 & 0.9842 & 0.9846 & 0.9850 & 0.9854 & 0.9857 \\ \hline \end{array} \]

Ejercicio 5

Durante una tormenta, la altura, \( A(x) \), que han alcanzado las olas del mar, en metros, se puede expresar con respecto al tiempo (\( x \) en horas) mediante la función

\[ A(x) = \left\{ \begin{array}{ll} -(2 x + t)^2 + (11 + t) & \text{si } 0 \leq x \leq 2 \\ x^2 - 8 x + 19 + t & \text{si } 2 \leq x \leq 7 \end{array} \right. \]

a) Halla los valores de \( t \) para que la función de la altura de las olas sea continua en \( x = 2 \). (0.75 puntos)

b) Representa gráficamente la función de la altura de las olas, \( A(x) \), para el valor \( t = -1 \). (0.75 puntos)

Ejercicio 6

La evolución del número de socios de un determinado club de fútbol desde el año de su fundación, 1965 (\( t = 0 \)), hasta su desaparición en 2018 (\( t = 53 \)) viene dada por la expresión \( S(t) = -0.5 \cdot (2 t^3 - 34 t^2 - 3968 t - 60) \) donde \( t \) se expresa en años.

a) ¿Cuántos socios tenía el club en el año del mundial en España, 1982? (0.5 puntos)

b) ¿En qué momento de la existencia del club se alcanzan el máximo y mínimo número de socios? ¿Cuáles son los valores del máximo y mínimo número de socios? (1.5 puntos)