PROBLEMA 1

Sean las matrices \[ A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \] Hallar la matriz \(X\) que sea solución de la ecuación matricial \(A \cdot X + X = B\). Justificar la respuesta.

PROBLEMA 2

Una tienda de telefonía vende baterías externas, auriculares y tarjetas de memoria a 20, 10 y 15 euros, respectivamente. Los precios de coste de estos productos son de 15 euros cada batería externa, 8 euros cada auricular y 12 euros cada tarjeta de memoria. Cierta semana, en la que el total de los productos le costó 1210 euros, obtuvo unos beneficios de 340 euros. Calcular, justificando la respuesta, el número de unidades que vendió de cada producto, sabiendo que en total vendió 100 (las mismas que compró).

PROBLEMA 3

Sean \(A\) y \(B\) las matrices siguientes: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -2 & x & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & x & -1 \\ 1 & 2 & x \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \] a) Determinar, justificando la respuesta, para qué valores de \(x\) no existe la inversa de \(A \cdot B\). (1.5 puntos)

b) Calcular la inversa de \(A \cdot B\) para \(x = 0\). (0.5 puntos)

PROBLEMA 4

Un taller de confección textil produce dos categorías de trajes: de señora y de caballero. Dispone de material para fabricar diariamente 850 trajes de señora y 650 de caballero. Si tiene que fabricar diariamente como máximo 1000 unidades totales y el beneficio obtenido por cada traje de señora es de 150 euros y de 200 euros por traje de caballero, ¿cuántos trajes de cada tipo han de fabricarse diariamente para maximizar los beneficios? ¿Cuáles serán dichos beneficios máximos? Justifica las respuestas.

PROBLEMA 5

El precio de cada acción de una determinada empresa, \(x\), oscila entre 1 y 5 euros. La facturación de dicha empresa en bolsa (en miles de euros) depende del precio de la acción y viene dada por la función: \[ F(x) = \begin{cases} A x + B, & 1 \leq x \leq 2 \\ A x^2 + B x + 2, & 2 < x \leq 5 \end{cases} \] Se sabe que, para un precio de la acción de 1 euro, la facturación es 4 (miles de euros) y que la función es continua. Determinar, justificando la respuesta, las constantes \(A\) y \(B\).

PROBLEMA 6

Durante la crecida de un río, la Confederación Hidrográfica del Tajo ha estimado que el caudal (en m³/s) ha variado durante las primeras 6 horas de acuerdo con la función: \[ C(t) = 2t^3 - 21t^2 + 60t + 20, \quad 0 \leq t \leq 6 \] Se pide, justificando las respuestas:

a) Estudiar el crecimiento y decrecimiento del caudal a lo largo de esas 6 horas.

b) Determinar las horas de máximo y mínimo caudal. Calcular los caudales máximo y mínimo.

PROBLEMA 7

Se considera la función: \[ f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} \] Se pide, justificando las respuestas:

a) Determinar sus asíntotas (horizontales, verticales y oblicuas). (1.5 puntos)

b) Calcular \(f'(x)\) y hallar el valor de \(f'(2)\). (0.5 puntos)

PROBLEMA 8

En un bosque hay 50 abetos, 30 cipreses y 120 pinos. Una enfermedad provocada por una oruga afecta a 25 abetos, 9 cipreses y 48 pinos. Se pide, justificando las respuestas:

a) Calcular la probabilidad de que un árbol elegido al azar esté infectado por la oruga, si se sabe que es un pino. (1 punto)

b) Calcular la probabilidad de que un árbol elegido al azar esté infectado por la oruga. (1 punto)

PROBLEMA 9

Dos fabricantes de pan, A y B, hacen un estudio de su cuota de mercado en una ciudad. El proveedor A suministra al 23% de los establecimientos alimentarios. Además, se sabe que el 35% de los establecimientos son abastecidos por A o por B y que el 5% son suministrados por A y B simultáneamente. Se pide, justificando la respuesta:

a) ¿Qué porcentaje de establecimientos reciben el pan fabricado por B? (1 punto)

b) Si sabemos que un establecimiento es abastecido por A, ¿qué probabilidad hay de que también reciba el pan fabricado por B? (1 punto)

PROBLEMA 10

Con el fin de estimar la proporción de empresas de una determinada ciudad que reciclan el papel usado, se selecciona una muestra de 400 de ellas, resultando que 336 reciclan el papel que utilizan. Se pide, justificando las respuestas:

a) Calcular un intervalo de confianza al 95% para la proporción de empresas que recicla. (1.5 puntos)

b) A la vista del intervalo, ¿podemos asegurar que el porcentaje de empresas que reciclan supera el 75%? (0.5 puntos)

PROBLEMA 1 (2 puntos)

Sean las matrices \[ A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & -4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \text{(matriz identidad de orden 2)}. \] Hallar la matriz \(X\) que verifique la ecuación matricial \(3X - 2I = B^t - A \cdot X\), siendo \(B^t\) la matriz traspuesta de \(B\). Justificar la respuesta.

PROBLEMA 2 (2 puntos)

Sean las matrices \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & x & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ x & -1 \end{pmatrix}. \] Se pide, justificando las respuestas:

a) Determinar para qué valores de \(x\) existe la inversa de \(A \cdot B^t + 3C\), siendo \(B^t\) la matriz traspuesta de \(B\). (1.5 puntos)

b) Calcular la inversa de \(A \cdot B^t\) para \(x = 1\). (0.5 puntos)

PROBLEMA 3 (2 puntos)

Cierto modelo de lavadora tiene un programa de 90 minutos de duración que consta de tres etapas: lavado, aclarado y centrifugado. Se sabe que el tiempo que dura el aclarado es el doble que el del centrifugado. Además, el tiempo dedicado al aclarado y al centrifugado es, entre los dos, la mitad del tiempo dedicado al lavado. Calcular, justificando la respuesta, la duración de cada etapa de dicho programa.

PROBLEMA 4 (2 puntos)

Una almazara comercializa dos tipos de aceite de oliva de excelente calidad: virgen extra, que se vende a 10 euros el litro, y orujo, a 7 euros el litro. No puede producir más de 3.000 litros diarios entre ambos tipos, ni más de 2.000 litros de orujo, y la cantidad de aceite virgen extra debe ser, como mucho, el doble que la de orujo. Suponiendo que vende todo lo que produce, calcular, justificando las respuestas, la cantidad de litros de cada tipo que debe producir diariamente para maximizar los ingresos, así como el valor de dichos ingresos.

PROBLEMA 5 (2 puntos)

El consumo de combustible (en miles de litros) de una gran empresa de transporte, \(C(t)\), depende del tiempo transcurrido desde principios de año, \(t\) en meses, según la función: \[ C(t) = \begin{cases} t^2 - 3Bt + 2A, & 1 \leq t < 4 \\ Bt, & 4 \leq t \leq 12 \end{cases} \] Determinar, razonando la respuesta, las constantes \(A\) y \(B\), sabiendo que la función \(C(t)\) es continua y que el consumo en el mes 3 es de 7 mil litros.

PROBLEMA 6 (2 puntos)

La producción de un árbol frutal, \(P(x)\) en kilogramos, depende de la cantidad diaria de agua, \(x\) en litros, de acuerdo con la función: \[ P(x) = 2x^3 - 21x^2 + 60x + 10, \quad 0 \leq x \leq 6. \] Se pide, razonando las respuestas:

a) Determinar para qué cantidades de agua se alcanzan las producciones máxima y mínima, y a cuánto ascienden estas producciones. (1.5 puntos)

b) Representar gráficamente la producción en función de la cantidad de agua destinada al riego. (0.5 puntos)

PROBLEMA 7 (2 puntos)

Determinar, razonando la respuesta, las asíntotas de la función: \[ g(x) = \frac{x^3 - 3x^2 + 2x}{x^2 - 5x + 6}. \]

PROBLEMA 8 (2 puntos)

Se sabe que el 50% de los libros de una biblioteca son novelas, el 30% son libros de poemas, y el resto son ensayos. El 60% de las novelas, el 80% de los libros de poemas y el 50% de los ensayos son de autores hispanohablantes. Se pide, razonando las respuestas:

a) Calcular la probabilidad de que un libro elegido al azar en dicha biblioteca sea una novela escrita por un autor no hispanohablante. (1 punto)

b) Calcular la probabilidad de que un libro de la biblioteca haya sido escrito por un autor hispanohablante. (1 punto)

PROBLEMA 9 (2 puntos)

En una carretera se han instalado dos radares, A y B. Durante la calibración, se ha establecido que el radar A detecta al 80% de los infractores, mientras que el radar B detecta al 85%. El 95% de los infractores es detectado por al menos uno de los radares (A o B). Se pide, razonando las respuestas:

a) La probabilidad de que un infractor sea detectado por ambos radares. (1 punto)

b) Sabiendo que un infractor ha sido detectado por el radar A, ¿cuál es la probabilidad de que también lo detecte el radar B? (1 punto)

PROBLEMA 10 (2 puntos)

En una asociación cultural hay 4.000 personas entre 18 y 30 años, 5.000 entre 30 y 60 años, y 1.000 mayores de 60 años. Se desea obtener una muestra de 500 personas para una encuesta sobre la participación en un festival de cine. Se pide, razonando las respuestas:

a) ¿Cuántas entrevistas se deberían realizar en cada grupo de edad si atendemos a razones de proporcionalidad? (1 punto)

b) Si 150 encuestados entre 30 y 60 años se han mostrado favorables a participar en el festival, dar un intervalo de confianza al 99% para la proporción de socios de este grupo favorables a participar. (1 punto)