EBAU Julio 2024

1A (2.5 puntos)

Se considera la función:

\[ f(x)=\left\{\begin{array}{l} \frac{x^2 - b x + 9}{x^2 + 3}, x \leq 0 \\ \frac{a x}{e^x - 1} + 2, \quad x > 0 \end{array}\right. \]

a) Estudiar los valores de los parámetros \( a \) y \( b \) para que \( f(x) \) sea continua y derivable en \( x = 0 \). 1.75 ptos

b) Para los valores \( a = 1 \) y \( b = -2 \), hallar la ecuación de la recta tangente a la función \( f(x) \) en \( x = -1 \). 0.75 ptos

EBAU Julio 2024 Matemáticas II en Canarias

1B (2.5 puntos)

El ayuntamiento ha encargado crear una base metálica para una estatua del reconocido físico canario Blas Cabrera. Dicha base metálica estará delimitada por las parábolas \( y = x(3 - x) \) e \( y = x^2 - 7x + 8 \), donde la unidad de medida es el metro. Representar un esbozo de la base metálica y calcular el presupuesto de su construcción si el precio del \( \mathrm{m}^2 \) del material para construir la base metálica es de 65 €.

EBAU Junio 2024

1A (2.5 puntos)

La empresa 'Plátanos Islas Canarias' se dedica a la producción de plátanos, un cultivo muy importante en las islas. Los costes de producción están dados por la función:

\[ C(x) = \frac{3 x}{5 \sqrt{x^2 + 1}}, x \geq 0 \]

donde \( C(x) \) son miles de €, \( x \) miles de kilos de plátanos producidos. Responder a las siguientes preguntas.

a) Averiguar el coste de la producción de un kilo de plátanos. 0.5 ptos

b) Si la empresa pudiera producir cantidades muy grandes de plátanos, ¿a qué valor tenderían los costes de producción de los plátanos? 0.5 ptos

c) Un economista afirma que superada cierta cantidad de kilos producidos, el coste de producción disminuirá. Justificar la veracidad de la afirmación del economista. 0.75 ptos

d) Calcular: \(\int_0^4 C(x) \, dx\). Interpretar el resultado en el contexto del problema. 0.75 ptos

EBAU Junio 2024

1B (1.25 puntos)

Dada la función definida por: \( f(x) = \frac{\ln (x + 2) + a}{3 x + 4} \)

a) Determinar el valor de \( a \) sabiendo que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = -1 \) es 10. Dar la expresión de la función. 1.25 ptos

b) Para el valor \( a = 0 \), estudiar el dominio y las asíntotas de la función \( f(x) \). 1.25 ptos

EBAU Julio 2023

1A (2.5 puntos)

Hallar la función polinómica \( f(x) \) que verifica que tiene un punto mínimo en \( M(1, 2) \) y su segunda derivada es: \( f''(x) = 2x + 3 \). Dar la expresión de \( f(x) \).

EBAU Julio 2023

1B (2.5 puntos)

Se quiere construir una Casa de la Juventud de 240 \( \mathrm{m}^2 \) de superficie, que estará rodeada por una zona ajardinada con las dimensiones de la imagen.

Si se quiere minimizar la superficie total de la zona ajardinada, ¿qué dimensiones debe tener la Casa de la Juventud? ¿Cuál es el área de la zona ajardinada?

EBAU Julio 2023

1A (2.5 puntos)

Las ventas de un determinado producto vienen dadas por el siguiente modelo:

\[ V(t) = \frac{5 t^2}{8 + t^2}, t \geq 0 \]

Donde \( V(t) \) son las ventas en miles; \( t \) mide el tiempo desde que se inicia la venta del producto, en meses.

a) Calcular las tasas de variación media del primero y segundo semestre. Comparar e interpretar los resultados. 0.75 ptos

b) Se afirma que este modelo es creciente en su dominio. Justificar si esta afirmación es correcta. 0.75 ptos

c) ¿En qué momento las ventas alcanzan 4000 unidades? 0.5 ptos

d) Si el producto se vende a 2€ la unidad y los ingresos de esta empresa se modelizan teniendo en cuenta las ventas mensuales, ¿hacia dónde tienden los ingresos con el paso del tiempo? Justificar la respuesta. 0.5 ptos

EBAU Julio 2023

1B (2.5 puntos)

Resolver los siguientes apartados:

a) Averiguar el valor de \( k \) para que se cumpla la siguiente igualdad:

\[ \lim_{x \to -2} \frac{k x^2 - 4k}{x^2 + 6x + 8} = \frac{3}{2} \]

1 ptos

b) Resolver la siguiente integral indefinida: \(\int x \sqrt{2x - 1} \, dx\)

1.5 ptos

EBAU Julio 2023

1A (2.5 puntos)

Hallar la función polinómica \( f(x) \) que verifica que tiene un punto mínimo en \( M(1, 2) \) y su segunda derivada es: \( f''(x) = 2x + 3 \). Dar la expresión de \( f(x) \).

EBAU Julio 2023

1B (2.5 puntos)

Se quiere construir una Casa de la Juventud de 240 \( \mathrm{m}^2 \) de superficie, que estará rodeada por una zona ajardinada con las dimensiones de la imagen.

Si se quiere minimizar la superficie total de la zona ajardinada, ¿qué dimensiones debe tener la Casa de la Juventud? ¿Cuál es el área de la zona ajardinada?

EBAU Julio 2022

1A (2.5 puntos)

Resuelve los siguientes apartados:

a) Considera la función \( f(x) = a x^3 + b x^2 + c x + d \)

Calcular los coeficientes \( a, b, c, d \), sabiendo que \( f \) tiene un extremo relativo en el punto \( P(0, 1) \) y su gráfica tiene un punto de inflexión \( Q(1, -1) \). Dar la expresión de la función \( f(x) \). 1.75 ptos

b) Resuelve el siguiente límite: \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{1 - \cos x}\). 0.75 ptos

EBAU Julio 2022

1B (2.5 puntos)

Considera las siguientes funciones: \( y = 3x - x^2 \); \( y = x - 3 \)

a) Representa el recinto que encierra las dos funciones anteriores. 1.5 ptos

b) Calcula el área del recinto limitado por las funciones anteriores. 1 ptos

EBAU Junio 2022

1A (2.5 puntos)

Dada la función:

\[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} (x - 1)^2 + b x & \text{si } x < 1 \\ a + \ln(x) & \text{si } x \geq 1 \end{array} \right. \]

a) Estudia los valores de los parámetros \( a \) y \( b \) para que la función \( f(x) \) sea continua y derivable en \( \mathbb{R} \). Escribe la función resultante \( f(x) \). 1.5 ptos

b) Tomando los valores \( a = -2 \) y \( b = 1 \), calcula la ecuación de la recta tangente a \( f(x) \) en \( x = e \). 1 pto

EBAU Junio 2022

1B (2.5 puntos)

Realiza el cálculo de las siguientes integrales:

a) \(\int \frac{x + 4}{x^2 + 4} \, dx\) 1.25 ptos

b) \(\int_1^e \frac{(\ln x)^3}{x} \, dx\) 1.25 ptos

EBAU Julio 2021

1A (2.5 puntos)

Dada la función:

\[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{x^2 + a}{2x - 4} & \text{si } x \leq 0 \\ 10 x^2 + x + b & \text{si } x > 0 \end{array} \right. \]

Calcular los valores de los parámetros \( a \) y \( b \) para que la función \( f(x) \) sea continua y derivable en \( \mathbb{R} \). Dar las expresiones de la función \( f(x) \) y de su derivada \( f'(x) \). 2.5 ptos

EBAU Julio 2021

1B (2.5 puntos)

Dadas las funciones: \( f(x) = x^2 - 4x \), \( g(x) = 4 - 4x \)

a) Esbozar el gráfico del recinto limitado por las funciones \( f(x) \) y \( g(x) \). 1.25 ptos

b) Determinar el área del recinto limitado por las funciones \( f(x) \) y \( g(x) \). 1.25 ptos

EBAU Junio 2021

1A (2.5 puntos)

Dada la función \( f(x) = \frac{a x^2 - 2}{b - x} \), donde \( a \) y \( b \) son dos parámetros con valores reales.

a) Calcular el valor de los parámetros \( a \) y \( b \) que verifican que \( f(-2) = 2 \) y que \( f(x) \) sea continua en \( \mathbb{R} \setminus \{5\} \). Escribir la función resultante \( f(x) \) y calcular su derivada \( f'(x) \). 1.25 ptos

b) Hallar las ecuaciones de las asíntotas de la función \( f(x) \) si los parámetros toman los valores \( a = -1 \) y \( b = -3 \). 1.25 ptos

EBAU Junio 2021

1B (2.5 puntos)

Se desea construir una caja sin tapa superior (ver Figura 1). Para ello, se usa una lámina de cartón de 15 cm de ancho por 24 cm de largo, doblándola convenientemente después de recortar un cuadrado de iguales dimensiones en cada una de sus esquinas (ver Figura 2). Se determina como requisito que la caja a construir contenga el mayor volumen posible. Indicar cuáles son las dimensiones de la caja y su volumen máximo.

EBAU Septiembre 2020

1 OPCIÓN A(2.5 puntos)

Responda razonadamente a las siguientes cuestiones:

a) Calcule: \(\int_0^{\pi/2} x \cos x \, dx\) 1.25 ptos

b) Halle las asíntotas de la función: \( f(x) = \frac{x^3 + 5x^2}{x^2 - 1} \) 1.25 ptos

EBAU Septiembre 2020

1 OPCIÓN B(2.5 puntos)

Halle los valores de \( a \) y \( b \) para que la recta de ecuación \( y = 6x + a \) sea tangente a la curva \( f(x) = \frac{bx - 1}{bx + 1} \) en el punto de abscisa \( x = 0 \). Escriba las funciones que se obtienen.

2.5 ptos

EBAU Julio 2020

1 OPCIÓN A(2.5 puntos)

Consideremos la función \( f(x) = \frac{\ln x}{x^2} \), donde \( \ln \) denota el logaritmo neperiano. Resuelva justificadamente los siguientes apartados:

a) Presente el dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los posibles extremos relativos de la función \( f(x) \). 1.25 ptos

b) Calcule el valor de la integral: \(\int_1^e f(x) \, dx\) 1.25 ptos

EBAU Julio 2020

1 OPCIÓN B(2.5 puntos)

Sean las funciones \( f(x) = 2x^4 + ax^2 + b \) y \( g(x) = -2x^3 + c \).

a) Calcule los valores \( a, b \) y \( c \) de manera que las gráficas de \( f(x) \) y \( g(x) \) cumplan las dos condiciones siguientes:

- Se cortan en el punto \( P(1, 1) \)

- En dicho punto coincide la pendiente de las rectas tangentes.

Dar las expresiones de las funciones resultantes. 1.5 ptos

b) Suponiendo \( a = b = 1 \) en \( f(x) \), halle las asíntotas de la función:

\( h(x) = \frac{f(x)}{x^3 - 1} \) 1 pto

EBAU Julio 2019

1 OPCIÓN A(2.5 puntos)

Dada la función \( f(x) = x^4 + a x^3 + b x^2 + c x + 7 \)

Calcular los valores de \( a, b \) y \( c \) sabiendo que se cumplen las condiciones siguientes:

- Dos de sus extremos relativos se encuentran en los puntos de abscisa \( x = 0 \) y \( x = -2 \)

- La función corta el eje OX en el punto \( x = 1 \)

Dar la expresión de la función resultante.

2.5 ptos

EBAU Julio 2019

1 OPCIÓN B(2.5 puntos)

Dada la parábola de ecuación \( y = 4 - x^2 \) y la recta de ecuación \( y = x + 2 \)

a) Hallar los puntos intersección entre las curvas anteriores. 0.5 ptos

b) Esbozar el gráfico señalando el recinto limitado por ambas curvas. 0.5 ptos

c) Calcular el área del recinto limitado por ambas curvas. 1.5 ptos

EBAU Junio 2019

1 OPCIÓN A(2.5 puntos)

Se desea vallar un terreno rectangular usando 100 metros de una tela metálica. Se ha decidido dejar una abertura de 20 metros sin vallar en uno de los lados de la parcela para colocar una puerta. Calcular las dimensiones de todos los lados de la parcela rectangular de área máxima que puede vallarse de esa manera. Calcular el valor de dicha área máxima.

2.5 ptos

EBAU Junio 2019

1 OPCIÓN B(2.5 puntos)

Dada la siguiente expresión de la función \( f \), de la que se desconocen algunos valores:

\[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} a - x & \text{si } x \leq 1 \\ \frac{b}{x}-ln x & \text{si } x > 1 \end{array} \right. \]

Calcular los valores de \( a \) y \( b \) para que \( f \) sea derivable en todo su dominio. Escribir la función resultante.

2.5 ptos

EBAU Julio 2018

1 OPCIÓN A(2.5 puntos)

Tenemos que hacer dos cuadrados de tela donde cada cuadrado se hace con una tela diferente. Las dos telas tienen precios de 2 y 3 euros por centímetro cuadrado respectivamente. ¿Cómo hemos de elegir los lados de los cuadrados si queremos que el coste total sea mínimo y si además nos piden que la suma de los perímetros de los dos cuadrados ha de ser 100 cm?

2.5 ptos

EBAU Julio 2018

1 OPCIÓN B(2.5 puntos)

Determinar los valores de \( a \) y \( b \) para que la función \( f(x) = a \sqrt{3x + 3} + b \sqrt{x-1} \) tenga un punto de inflexión en el punto \( (2, 8) \)

2.5 ptos

EBAU Junio 2018

1 OPCIÓN A(2.5 puntos)

Se dispone de un hilo metálico de longitud 140 m. Se quiere dividir dicho hilo en tres trozos de forma que la longitud de uno de los trozos sea el doble de la longitud del otro y tal que, al construir con cada uno de los tres trozos de hilo un cuadrado, la suma de las áreas de los tres cuadrados sea mínima. Encontrar la longitud de cada trozo.

2.5 ptos

EBAU Junio 2018

1 OPCIÓN B(2.5 puntos)

Calcular las asíntotas y los extremos relativos de la función \( y = 3x + \frac{3x}{x - 1} \)

2.5 ptos

EBAU Julio 2017

1 OPCIÓN A(2.5 puntos)

Determinar los valores de \( a \) y \( b \) para que la función \( f \) definida de la forma

\[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} x^2 + 4x + a & \text{si } x \leq 2 \\ -x^2 + bx & \text{si } x > 2 \end{array} \right. \]

sea derivable en todo \( x \in \mathbb{R} \)

2.5 ptos

EBAU Julio 2017

2 OPCIÓN A(2.5 puntos)

Calcular el área de la región sombreada en la siguiente figura, siendo las ecuaciones de las funciones que aparecen en la gráfica \( f(x) = x^3 + 1 \) y \( g(x) = x + 1 \)

2.5 ptos