1.

Dos compañías de taxi, A y B, ofrecen distintas tarifas. La compañía A ofrece un coste fijo de 20 € más 0,4 € por kilómetro recorrido, mientras que el precio de la compañía B sigue la función \( g(x) = 0,01 x^2 + 0,1 x + 10 \), en la que \( x \) representa el número de kilómetros recorridos.

a) ¿Cuál de las dos compañías ofrece la tarifa más económica si hacemos un recorrido de 10 km? ¿Y si hacemos uno de 80 km? Calcule la diferencia de precio en cada caso. ¿Hay algún coste fijo en la tarifa de la compañía B solo por el hecho de subir al taxi? [1 punto]

b) Determine para qué número de kilómetros recorridos las dos tarifas coinciden. Si se consideran solo los trayectos inferiores a esta cantidad, ¿para qué número de kilómetros la diferencia de precio entre una tarifa y la otra es máxima? ¿Cuál es esta diferencia máxima de precio? [1,5 puntos]

2.

Una empresa de muebles dispone de tres fábricas que producen un determinado modelo de sofá. El mes pasado se fabricaron un total de 1.260 unidades de este modelo y se sabe que la segunda fábrica produjo tantos sofás como las otras dos juntas.

a) Con esta información, ¿se puede determinar cuántos sofás produjo cada una de las fábricas? Justifique la respuesta. A continuación, calcule, solo con esta información, cuántos sofás produjo la segunda fábrica. [1,25 puntos]

b) Se sabe también que un 10% de los sofás producidos por la primera fábrica, un 30% de los producidos por la segunda y un 20% de los producidos por la tercera eran de color gris, y que en total se fabricaron 284 sofás de este color. Encuentre cuántos sofás produjo cada fábrica el mes pasado. [1,25 puntos]

3.

Una campesina contrata a un conductor para que lleve un tractor hasta un pueblo que se encuentra a 300 km de distancia. Sabemos que el gasóleo que usa el tractor cuesta 1,96 € por litro y que el conductor cobra 14,70 € la hora. Se supone que el conductor hará todo el trayecto a una velocidad constante y que el consumo de gasóleo (en litros por hora), en función de la velocidad \( x \) (en kilómetros por hora), viene dado por la función \( G(x) = 5 + \frac{x^2}{98} \).

a) Calcule el tiempo que el conductor tardará en realizar el viaje y el coste total del viaje si el tractor hace todo el recorrido a 40 km/h (la velocidad máxima permitida para este tipo de vehículo). Compruebe que la función que da el coste total del viaje en función de la velocidad del tractor se puede expresar como \( C(x) = \frac{7.350}{x} + 6 x \). [1,25 puntos]

b) Calcule cuál es la velocidad que hace que el coste total del viaje sea mínimo. ¿Cuál es este coste? [1,25 puntos]

4.

Se considera que una matriz es mágica si la suma de los elementos de cada fila y de cada columna tiene como resultado en todos los casos el mismo valor, que se denomina constante mágica. Martí ha encontrado una forma de crear matrices mágicas eligiendo tres números cualesquiera y multiplicándolos por las siguientes matrices:

\[ \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{array} \right), \boldsymbol{B} = \left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{array} \right) \text{ y } \boldsymbol{C} = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \end{array} \right). \]

Martí propone a sus amigos que cada uno construya su matriz mágica particular a partir del día de su cumpleaños, del mes de su cumpleaños y de su edad.

a) Sabiendo que Martí nació el 10 de marzo y que tiene 18 años, calcule \( 10 \cdot \boldsymbol{A} + 3 \cdot \boldsymbol{B} + 18 \cdot \boldsymbol{C} \). Compruebe que la matriz resultante es mágica e indique cuál es su constante mágica (el valor común de la suma de las filas y las columnas). [1,25 puntos]

b) Martí ha calculado la matriz mágica de su padre, que celebra su cumpleaños el 8 de septiembre, y ha obtenido que su constante mágica es 153. ¿Qué edad tiene el padre de Martí? [1,25 puntos]

5.

Guiu y Roc son unos grandes aficionados al cine y ven muchas películas de la plataforma a la que están suscritos. Les gusta tanto que, si se elige una película de la plataforma al azar, la probabilidad de que Guiu la haya visto es de 0,5, la probabilidad de que Roc la haya visto es de 0,6 y la probabilidad de que ambos la hayan visto es de 0,25.

a) Si se elige una película al azar, calcule la probabilidad de que al menos uno de los dos la haya visto. Calcule también la probabilidad de que la haya visto Roc pero no Guiu. [1,5 puntos]

b) Si se escoge una película al azar, calcule la probabilidad de que Guiu la haya visto si se sabe que al menos uno de los dos la ha visto. [1 punto]

6.

Se quiere saber el porcentaje de personas que estarían a favor de la construcción de un polideportivo municipal en una población determinada. Se toma una muestra aleatoria de 350 personas, 218 de las cuales se manifiestan a favor de la propuesta y el resto, en contra.

a) Dé la estimación puntual de la proporción y del porcentaje de personas que están a favor de la construcción del polideportivo. [1 punto]

b) Escriba un intervalo de confianza del 95% para el porcentaje de personas que están a favor de la construcción del polideportivo en esta población. Nota: Recuerde que, si \( Z \) sigue una distribución normal \( (0,1) \), \( P(-1,96 \leq Z \leq 1,96) = 0,95 \). Recuerde también que, para muestras grandes, el intervalo de confianza para una proporción con un nivel de confianza \( \gamma \in (0,1) \) viene dado por \( \left[\hat{p} - z_\gamma \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}, \hat{p} + z_\gamma \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right] \). [1,5 puntos]

1.

Una empresa de paquetería tiene unas tarifas de envío de paquetes que dependen del peso de cada paquete, aunque no de forma lineal. Se quiere enviar un paquete a una distancia aproximada de 650 km. La información que ofrece la empresa en su web sobre los precios para enviar un paquete a esta distancia es la siguiente:

• Si un paquete pesa hasta 2 kg, el envío tiene un coste fijo de 30 €.
• Si un paquete pesa más de 2 kg pero menos de 11 kg, los primeros 2 kg cuestan 15 €/kg y el resto de kilogramos se pagan a 12 €/kg.
• Si un paquete pesa entre 11 y 25 kg, ambos incluidos, los primeros 11 kg cuestan 13 €/kg y el resto cuestan 15 €/kg.
• A partir de 25 kg, hay que sorte en contacto con la empresa.

a) Escriba la función que da el precio del envío de un paquete de hasta 25 kg en función de su peso y estudie su continuidad. [1,75 puntos]

b) Si se han pagado 162 € por un envío, ¿cuál es el peso del paquete que se ha enviado? [0,75 puntos]

2.

El nuevo modelo de maletas Rodamons dispone de tres tamaños diferentes: pequeño, mediano y grande. El precio de la maleta grande es el mismo que el de la maleta pequeña y la mediana juntas. El lote de una maleta de cada tamaño cuesta 240 €, pero si se compra el lote de dos maletas pequeñas, una mediana y una grande, se obtiene un 10% de descuento del total y el precio final es de 256,5 €. ¿Cuál es el precio de cada tipo de maleta sin descuento? [2,5 puntos]

3.

Una empresa de alquiler de vehículos dispone de una flota de 250 vehículos. Si el precio del alquiler diario de un vehículo es de 50 €, consigue alquilarlos todos. Se ha observado que la relación entre el precio del alquiler de los vehículos y el número de vehículos que se alquilan es lineal, de forma que por cada euro que se incrementa el precio diario del alquiler se alquilan dos vehículos menos. Cada vehículo alquilado genera un coste diario de 1 € de mantenimiento.

a) Si se denomina \( x \) al número de euros que se incrementa el precio del alquiler, escriba la función que determina los beneficios obtenidos en función de \( x \). [1 punto]

b) ¿A qué precio hay que alquilar los vehículos para conseguir el máximo de beneficios? ¿Cuál es este beneficio máximo? [1,5 puntos]

4.

Laia, una aficionada a la artesanía elaborada con madera, montó un pequeño negocio hace un par de meses. En su taller, elabora tres tipos de productos con madera reciclada, que luego pone a la venta: nombres personalizados, palabras decorativas y peonzas. Durante el primer mes, Laia tuvo tres clientes: el primero adquirió 2 nombres personalizados y 3 peonzas; el segundo adquirió 1 nombre personalizado, 2 palabras decorativas y 5 peonzas, y el tercero solo compró 4 peonzas.

a) Construya la matriz \( 3 \times 3 \) correspondiente a las ventas, en la que las filas representen a los clientes (\( C1, C2 \) y \( C3 \)) y las columnas representen los productos que adquirieron. Si durante el primer mes Laia vendió los nombres personalizados (\( N \)) a 20 € cada uno, las palabras decorativas (\( P \)) a 18 € cada una y las peonzas (\( B \)) a 6 € cada una, calcule cuánto cobró a cada cliente por su pedido mediante un producto de matrices. [1,5 puntos]

b) Para incentivar las ventas, en el segundo mes Laia aplicó un descuento al precio de venta de todos los productos. Durante este mes, también tuvo tres clientes y obtuvo la siguiente matriz de ventas:

\[ \left( \begin{array}{ccc} N & P & B \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} \right) \begin{aligned} & C1 \\ & C2 \\ & C3 \end{aligned} \]

Si durante el segundo mes Laia facturó 78 € al primer cliente, 52 € al segundo cliente y 62 € al tercer cliente, ¿a qué precio vendió cada producto? [1 punto]

5.

En una cafetería, al mediodía, ofrecen la posibilidad de escoger entre el menú del día (opción A1) o un plato combinado (opción A2). Algunos clientes también toman café (opción B1) y otros no (opción B2). Si se selecciona a un cliente de la cafetería al azar, la probabilidad de que escoja el menú del día es de 0,6 y la probabilidad de que escoja un plato combinado es de 0,4. Por otro lado, la probabilidad de que tome café si escoge el menú del día es de 0,75, mientras que la probabilidad de que tome café si escoge un plato combinado es de 0,5.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente tome café? [1,25 puntos]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya escogido el menú del día si se sabe que ha tomado café? [1,25 puntos]

6.

Se quiere saber el tiempo medio, en minutos, que el alumnado de un instituto pasa diariamente conectado a una determinada red social. Se ha seleccionado una muestra de 175 estudiantes y se les ha pedido que proporcionen este dato. En esta muestra se ha obtenido una media de 90 minutos, con una desviación típica de 7 minutos.

Nota: Para resolver este problema, recuerde que, si \( Z \) sigue una distribución normal \( (0,1) \), \( P(-1,96 \leq Z \leq 1,96) = 0,95 \) y \( P(-2,58 \leq Z \leq 2,58) = 0,99 \). Recuerde también que el intervalo de confianza para la media con un nivel de confianza \( \gamma \in (0,1) \) cuando la varianza \( \sigma^2 \) es desconocida y la muestra es grande viene dado por \( \left[ \bar{x} - z_\gamma \frac{s}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_\gamma \frac{s}{\sqrt{n}} \right] \).

a) Construya un intervalo de confianza del 95% para el tiempo medio que el alumnado pasa diariamente conectado a esta red social. [1 punto]

b) Construya un intervalo de confianza del 99% para el tiempo medio que el alumnado pasa diariamente conectado a esta red social. Explique por qué este intervalo y el del apartado anterior son diferentes y qué información nos da exactamente cada uno de ellos. [1,5 puntos]