matemáticas aplicadas a las ciencias sociales ii islas canarias
curso 2023-2024
Curso 2023-2024 - Convocatoria Ordinaria
Instrucciones: Resolver un máximo de 4 preguntas, eligiendo UNA entre A1 y B1, UNA entre A2 y B2, UNA entre A3 y B3 y UNA entre A4 y B4.
A1. Dos agricultores de medianías producen manzanas de tres variedades: reineta, fuji y golden. De las manzanas producidas por el agricultor A, el 70% son reinetas, el 20% fuji y el resto golden; de las producidas por el agricultor B, un 50% son reinetas, un 30% golden y el resto fuji. Un supermercado de la zona vende manzanas solamente de estos agricultores. El 60% de las manzanas las adquiere del agricultor A y el 40% restante del B.
a) Dibuja el árbol de probabilidades correspondiente a la situación descrita. (0,5 puntos)
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la manzana elegida al azar por un cliente sea de la variedad reineta? (1 punto)
c) Si la manzana elegida no es de la variedad reineta, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producida por el agricultor A? (1 punto)
B1. Según estudios recientes sobre el impacto de la IA (Inteligencia Artificial) en la educación, el 73% del profesorado ya ha utilizado herramientas de IA en algunas ocasiones. Si en un determinado departamento de la universidad hay 30 profesores.
a) Calcula la probabilidad de que no hayan utilizado herramientas de IA entre 10 y 15 profesores. (1 punto)
b) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 10 profesores hayan utilizado la IA? (1 punto)
c) Si el número aproximado de profesores que imparte clase en una determinada facultad es de 80, ¿cuántos se espera que hayan utilizado aplicaciones de IA en su trabajo? (0,5 puntos)
A2. Por motivos de ajustes presupuestarios, una empresa multinacional de trabajo a distancia debe despedir al 10% de sus trabajadores.
a) En una ciudad hay 10 trabajadores a distancia de esa empresa. ¿Cuál es la probabilidad de que, a lo sumo, 3 sean despedidos? (0,75 puntos)
b) En España hay 300 trabajadores a distancia de la citada empresa. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 280 conserven su empleo? (0,75 puntos)
c) Temiendo posibles conflictos laborales, la dirección de la empresa selecciona una muestra aleatoria de 400 de sus trabajadores a distancia, de los que 50 optarían por un despido voluntario incentivado. Hallar un intervalo de confianza al 97% para la proporción de trabajadores a distancia de la empresa que optarían por un despido voluntario incentivado. (1 punto)
B2. Se desea estimar la cantidad media de emisiones de dióxido de carbono (CO2) por vehículo en una ciudad. Para ello, se selecciona una muestra aleatoria de 100 vehículos y se encuentra que la cantidad media de CO2 emitida por vehículo es de 150 g/km, con una desviación típica de 25 g/km. Suponiendo que esta variable es normal:
a) Determinar un intervalo de confianza del 95% para la cantidad media de CO2 emitida por vehículo en la ciudad. (0,75 puntos)
b) Si se admite un error máximo de 3,5 g/km, para estimar la cantidad media de CO2 emitida por vehículo, con un nivel de confianza igual a 0,9 y manteniendo la desviación típica inicial, ¿a cuántos vehículos es necesario medir la cantidad de CO2? (1 punto)
c) Si la medición se realizara a 75 vehículos y se obtuviera la misma media de 150 g/km y el mismo intervalo del apartado a), con una confianza del 86%, ¿cuál debería ser la desviación típica? (0,75 puntos)
A3. La producción de energía en Kw de un panel solar, orientado hacia el sur, durante las horas del día, viene dada por la función:
\[ P(t) = \begin{cases} \frac{4}{25} - (t - 7)(t - 17), & \text{si } 7 \leq t \leq 14, \\ \frac{3}{7} (-7t + 126), & \text{si } 14 < t \leq 18. \end{cases} \]
a) Justificando las respuestas, explica si es continua y derivable. (0,75 puntos)
b) Estudia el crecimiento y decrecimiento de la producción de energía durante el día. ¿A qué hora se alcanzó la máxima producción de energía y a cuánto ascendió? (1 punto)
c) ¿A qué hora se superaron por primera vez los 3 Kw de producción? (0,75 puntos)
B3. En un muro del paseo marítimo se debe recubrir con lona la superficie determinada por \( y = \frac{x^2 + 9}{x} \), \( x \geq 0 \) e \( y \geq 0 \) (las unidades se miden en metros).
a) Representar dicha superficie. (0,75 puntos)
b) ¿Cuántos metros cuadrados tiene la superficie? (1,25 puntos)
c) El precio del metro cuadrado de lona es de 20 euros y, al hacer la instalación, se debe usar un 15% más de la superficie a cubrir. Además, el coste de instalación es de 5 euros por metro cuadrado de lona adquirida. ¿Cuánto cuesta recubrir la superficie? (0,5 puntos)
A4. En una fábrica, en la que se producen mesas y estanterías, se dispone de un total de 150 metros cuadrados de madera y 90 horas de mano de obra. Para fabricar una mesa se necesitan 3 metros cuadrados de madera y 1 hora de mano de obra y para fabricar una estantería se necesitan 4 metros cuadrados de madera y 3 horas de mano de obra. La fábrica obtiene un beneficio de 160 € por la producción de cada mesa, y de 225 € por cada estantería.
a) Formular el correspondiente problema de programación lineal. (0,75 puntos)
b) Representar la región factible e indicar cuáles son sus vértices. (1 punto)
c) ¿Cuántos muebles de cada tipo se deben fabricar para maximizar el beneficio? ¿Cuál es el valor de dicho beneficio? (0,75 puntos)
B4. Una jugadora de ajedrez ha conseguido premios en 51 de los torneos en los que ha participado a lo largo de su vida. Los torneos han sido locales, nacionales e internacionales. El número de torneos locales en los que ha jugado ha sido el doble de los nacionales; además, por cada cinco torneos nacionales ha participado en dos internacionales. Los torneos en los que ha conseguido premio representan un 30% de todos los torneos en los que ha participado.
a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones. (1,5 puntos)
b) ¿En cuántos torneos de cada clase ha participado esta jugadora? (1 punto)
Curso 2023-2024 - Convocatoria Extraordinaria
Instrucciones: Resolver un máximo de 4 preguntas, eligiendo UNA entre A1 y B1, UNA entre A2 y B2, UNA entre A3 y B3 y UNA entre A4 y B4.
A1. En un molino de gofío se elaboran gofíos de trigo, de millo y de cinco cereales. El gofío de trigo supone un 40% de la producción, el gofío de millo un 32%, y el resto es de gofío de cinco cereales. A veces, algún paquete presenta un defecto que hace imposible su comercialización. Con el gofío de trigo ocurre en un 1,2% de los paquetes, con el de millo en un 0,9% y con el de cinco cereales en un 2,3%.
a) Elabora el árbol de probabilidades. (0,5 puntos)
b) Si se elige al azar un paquete de gofío, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga defectos? (1 punto)
c) Si presenta algún defecto, ¿cuál es la probabilidad de que el paquete sea de gofío de millo? (1 punto)
B1. En una determinada ciudad, el precio del alquiler mensual de pisos de dos habitaciones sigue una distribución normal de media 725 euros con una desviación típica de 50 euros.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que alquilar uno de estos pisos cueste cada mes, a lo sumo, 700 euros? (0,75 puntos)
b) En un determinado mes, una agencia inmobiliaria alquila 25 de los pisos anteriormente mencionados. ¿Cuál es la probabilidad de que el precio medio de alquiler mensual supere los 730 euros? (0,75 puntos)
c) De los 25 pisos alquilados por la agencia en ese mes, ¿cuántos se puede esperar que cuesten menos de 710 euros cada mes? (1 punto)
A2. Los datos recogidos en un estudio sobre la movilidad en Canarias indican que la distancia recorrida cada mes, por un coche destinado a uso particular, sigue una distribución normal de media 1200 km y desviación típica 230 km.
a) Se elige un coche al azar, ¿cuál es la probabilidad de que en un mes recorra más de 1000 km? (0,75 puntos)
b) Si se toma una muestra de 36 coches, ¿cuál es la probabilidad de que en un mes la distancia media recorrida por estos coches esté entre 1150 y 1250 km? (1 punto)
c) En esa muestra, ¿cuál es el número esperado de coches que recorrerán más de 1300 km? (0,75 puntos)
B2. Una empresa de reparto de comida a domicilio quiere estudiar el tiempo que tardan sus repartidores en entregar los pedidos. Se estudió una muestra de 200 pedidos y se obtuvo el intervalo de confianza [16,84, 18,16] para el tiempo medio, en minutos, que tardan los repartidores en entregar la comida desde el momento en que la recogen en los locales. Sabiendo que la desviación típica es 4 minutos, calcula:
a) ¿Cuál fue el tiempo medio obtenido en la muestra? ¿Cuál fue el error de estimación cometido? ¿Cuál fue el nivel de confianza con el que se obtuvo el intervalo? (1,25 puntos)
b) Si un día se hicieron 425 repartos, utilizando la estimación puntual obtenida en el apartado anterior para la media, calcula la probabilidad de que el tiempo medio de entrega de los pedidos sea superior a 18 minutos. (1,25 puntos)
A3. La rentabilidad (en %) de un fondo de inversión inmobiliario se obtiene mediante la función:
\[ R(t) = \begin{cases} \frac{1}{2}t^2 + 3t + 1, & \text{para } t \leq 4, \\ \frac{t + 111}{5t + 3}, & \text{para } t > 4. \end{cases} \]
donde \( t \) es el tiempo (en años) que el dinero permanece invertido en el fondo.
a) ¿Es continua la función de rentabilidad? Justifica la respuesta. (0,75 puntos)
b) ¿Cuándo crece y cuándo decrece esta función? Justifica la respuesta. ¿Para qué valor de \( t \) se alcanza la rentabilidad máxima? ¿Cuánto vale dicha rentabilidad? Representa gráficamente la función. (1,25 puntos)
c) El fondo de inversión garantiza que, para tiempos superiores a 25 años, la inversión siempre tendrá un retorno superior al 0,2%. ¿Es cierta la afirmación del fondo? Justifica la respuesta. (0,5 puntos)
B3. A principios de 2024, tras más de dos años y medio después de la erupción del volcán Tajogaite, se han comenzado a sembrar las primeras fincas de plátanos sobre las coladas de dicho volcán. Una de las fincas replantadas sobre la colada tiene una superficie, en hectáreas, limitada por las funciones \( f(x) = (x - 2)^2 \) y \( g(x) = -x + 4 \).
a) Representa la superficie de la finca. (0,75 puntos)
b) Calcula el área. (1 punto)
c) Si la finca produce anualmente 45000 kg de plátanos por hectárea y la Unión Europea aporta una ayuda de 0,33 euros por kilo producido, ¿cuál sería el importe a recibir cada año en ayudas de la UE sabiendo que aproximadamente el 1,5% de la producción se desecha antes de recibir las ayudas? (0,75 puntos)
A4. En una tienda de electrónica, se venden teléfonos móviles, tablets y ordenadores portátiles. El precio de un teléfono móvil es de 300 €, el precio de una tablet es de 400 € y el precio de un ordenador portátil es de 800 €. En una semana, se ha ingresado un total de 28000 € en ventas de estos aparatos. El número de teléfonos móviles vendidos ha sido el doble del número de tablets vendidas, y por cada dos tablets se ha vendido un ordenador portátil.
a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones. (1,5 puntos)
b) ¿Cuántos dispositivos de cada tipo se vendieron en la tienda? (1 punto)
B4. Una finca dispone de 1500 kilogramos de frutas y 1755 kilogramos de verduras para vender. Como estrategia comercial, oferta dos lotes: el lote A, que consiste en dos kilogramos de frutas y tres kilogramos de verduras, a 18 euros; el lote B, que consiste en 3 kilogramos de frutas y 3 de verduras, a 20 euros. Si ha de vender al menos 150 lotes del tipo A y al menos 180 del tipo B:
a) Plantear el correspondiente problema de programación lineal. (0,75 puntos)
b) Dibujar la región factible e indicar cuáles son sus vértices. (1 punto)
c) Para maximizar la recaudación, ¿cuántos lotes se han de vender de cada tipo? ¿Cuál sería la recaudación máxima? (0,75 puntos)