Juan encuentra entre los papeles de su abuelo un sobre como el de la figura adjunta, en el que se describe un terreno de regadío que ha dejado en herencia a su padre. La curva de la gráfica es \( y = f(x) \), con \( f(x) = -x^3 + 7x^2 - 6x + 5 \).

a) [1,25 puntos] A partir de la expresión de \( f(x) \), calculad las coordenadas de los puntos \( P \), \( Q \) y \( R \) que se indican en la figura (ver figura al final de los enunciados). Calculad también la ecuación de la recta \( PR \).

b) [1,25 puntos] Calculad la superficie del terreno.

Considerad el siguiente sistema de ecuaciones:

\[ \left\{ \begin{array}{r} 4x + 2y - z = 4 \\ x - y + k z = 3 \\ 3x + 3y = 1 \end{array} \right\}, \]

donde \( k \) es un parámetro real.

a) [1 punto] Discutid el sistema para los diferentes valores del parámetro \( k \), y resolvedlo para \( k = 0 \).

b) [0,75 puntos] Resolved el sistema para \( k = -1 \).

c) [0,75 puntos] Para \( k = -1 \), modificad la tercera ecuación de manera que el sistema se vuelva incompatible. Justificad la respuesta.

a) [0,75 puntos] Andreu pone las nueve bolas que se muestran a continuación (figura al final de los enunciados) dentro de una bolsa. A continuación, saca de la bolsa dos bolas al azar, una detrás de la otra y sin reemplazo (es decir, no devuelve a la bolsa la primera bola antes de sacar la segunda). Calculad la probabilidad de que las dos bolas tengan letras diferentes.

b) [0,75 puntos] Andreu vuelve a poner todas las bolas en la bolsa y saca cinco al azar, una detrás de la otra, pero ahora con reemplazo (es decir, ahora sí devuelve a la bolsa cada bola extraída antes de tomar la siguiente). Calculad la probabilidad de que haya sacado al menos dos \( A \).

c) [1 punto] Estudiad los máximos y los mínimos, y las zonas de crecimiento y decrecimiento, de la función \( f(x) = 2 \frac{\ln x}{x} \), definida para \( x > 0 \).

OPCIÓN A

Considerad los puntos \( A = (1, 2, 3) \) y \( B = (-3, -2, 3) \).

a) [1 punto] Calculad la ecuación del plano \( \pi \) que es perpendicular a la recta \( AB \) y que pasa por el punto medio entre \( A \) y \( B \). Justificad que este plano está formado, precisamente, por los puntos \( P = (x, y, z) \) que están situados a la misma distancia de \( A \) que de \( B \), es decir, \( d(P, A) = d(P, B) \).

b) [0,75 puntos] Calculad las distancias de \( A \) y de \( B \) al plano \( \pi \) y comprobad que son iguales. ¿Es casualidad? Razonad la respuesta.

c) [0,75 puntos] Sea \( C = (-7, 6, 3) \). ¿El triángulo \( ABC \) es isósceles? Calculad su área.

OPCIÓN B

Queremos construir un pequeño cobertizo de madera de \( 6 \, \text{m}^3 \) de volumen, en forma de prisma rectangular, adosado a la pared lateral de una casa, para guardar leña. Solo hay que construir, por tanto, el tejado y tres paredes (la pared del fondo del cobertizo es la de la casa a la que está adosado). Además, queremos que el cobertizo mida el triple de anchura que de profundidad. Cada metro cuadrado de pared tiene un coste de construcción de \( 30 \, \text{€} \) y el tejado cuesta \( 50 \, \text{€}/\text{m}^2 \). Una vez construido el cobertizo, añadirle una puerta tiene un coste fijo de \( 35 \, \text{€} \).

a) [1,25 puntos] Comprobad que el coste de construcción del cobertizo está determinado por la función \( C(x) = \frac{300}{x} + 150 x^2 + 35 \), donde \( x \) es la profundidad del cobertizo en metros.

b) [1,25 puntos] Calculad cuáles deben ser las dimensiones del cobertizo para que el coste de construcción sea mínimo y justificad la respuesta. ¿Cuál es este coste?