matemáticas ii cantabria curso 2023-2024
Convocatoria ordinaria 2024 - Examen titular
Ejercicio 1 [2,5 puntos]
Dentro de un grupo de estudiantes que realiza un examen hay tres a los que les sale mejor de lo que esperaban. Estos son Antonio, María y Paula. Antonio obtiene la mitad de la nota de Paula más un tercio de la nota de María. El doble de la nota de María es igual a la de Antonio más la de Paula y Paula saca dos puntos más que Antonio. Razone si el enunciado expuesto es posible. En caso afirmativo, calcule la nota de cada estudiante.
Ejercicio 2 [2,5 puntos]
Considere la función \( f(x) = x \ln(x) \), con \( x > 0 \).
1) [0,75 puntos] Calcule la derivada de \( f(x) \).
2) [0,75 puntos] Calcule una primitiva de \( f(x) \).
3) [1 punto] Calcule el área del recinto limitado por \( f(x) \), el eje OX de abscisas y las rectas \( x = 1 \) y \( x = 2 \).
Ejercicio 3 [2,5 puntos]
Considere la recta \( r: \left\{ \begin{array}{l} x + y + z + 5 = 0 \\ x + 2y - z = 0 \end{array} \right. \) y el plano \( \pi: 2x + y - az = 3 \) en función del parámetro \( a \in \mathbb{R} \). Razone si es posible asignar algún valor al parámetro \( a \) para que:
1) [0,75 puntos] la recta esté contenida en el plano. En caso afirmativo, dé un valor para \( a \).
2) [0,75 puntos] la recta y el plano sean paralelos. En caso afirmativo, dé un valor para \( a \).
3) [1 punto] la recta y el plano se corten. En caso afirmativo, dé un valor para \( a \) y dónde se cortan.
Ejercicio 4 [2,5 puntos]
Ciertos síntomas pueden deberse a tres enfermedades diferentes que no se padecen de forma simultánea. Con una probabilidad 0,7 se deben a la enfermedad 1 (E1), con una probabilidad 0,2 a la enfermedad 2 (E2) y con una probabilidad 0,1 a la enfermedad 3 (E3). Existen tres tratamientos diferentes: el A es el adecuado para E2, el B para E3 y el C para E1. Así y todo, cada uno de los tratamientos tiene cierto poder de curación de cada una de las enfermedades. La probabilidad de ser curado con cierto tratamiento cuando se tiene cierta enfermedad viene dada para cada tratamiento y enfermedad por la siguiente tabla:
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & E1 & E2 & E3 \\ \hline \text{Trat. A} & 0,6 & 1 & 0,4 \\ \text{Trat. B} & 0,65 & 0,5 & 0,9 \\ \text{Trat. C} & 0,75 & 0,2 & 0,5 \\ \hline \end{array} \]
Note que, de acuerdo con la misma, la probabilidad de curarse con el tratamiento A cuando se tiene E3 es de 0,4. ¿Qué tratamiento debemos administrar a un paciente con dichos síntomas, teniendo en cuenta que no sabemos a priori cuál de las tres enfermedades padece?
Ejercicio 5 [2,5 puntos]
Considere la ecuación \( AX = B \), donde \( A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \) y \( B = \begin{pmatrix} -9 & 6 \\ -1 & 5 \\ 2 & -5 \end{pmatrix} \).
1) [0,25 puntos] Calcule el determinante de \( A \).
2) [1 punto] Razone si \( A \) tiene inversa y, en caso afirmativo, calcule la inversa de \( A \).
3) [0,25 puntos] Determine el número de filas y de columnas de \( X \) para que la ecuación tenga sentido.
4) [1 punto] Calcule el valor de \( X \).
Ejercicio 6 [2,5 puntos]
Considere la función \( f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{x + 1}{x^2 + x}, & \text{si } x \leq 10 \\ \sqrt{x + 1}, & \text{si } x > 10 \end{array} \right. \).
1) [0,5 puntos] Determine el dominio de definición de \( f(x) \).
2) [1 punto] Determine los intervalos, del dominio de definición, en que \( f(x) \) es continua.
3) [1 punto] Determine si \( f(x) \) tiene asintota(s). En caso afirmativo, calcúlela(s).
Ejercicio 7 [2,5 puntos]
Sean \( A = (6, 2, -1) \), \( B = (3, 0, 5) \) y \( C = (-2, 1, 2) \) los vértices de un triángulo.
1) [1,25 puntos] Calcule los ángulos internos del triángulo.
2) [1,25 puntos] Calcule el área del triángulo.
Ejercicio 8 [2,5 puntos]
La población de mujeres de 18 años sigue una distribución normal de media una altura de 175 cm y una desviación estándar de 7,41 cm. Supongamos que la probabilidad de que una persona se llame Lucía es 0,006.
1) [1,25 puntos] Calcule la probabilidad de que una mujer de 18 años se llame Lucía y mida más de 180 cm.
2) [1,25 puntos] Calcule la probabilidad de que una mujer de 18 años se llame Lucía o mida más de 180 cm.
Convocatoria Extraordinaria 2024 - Examen titular
Ejercicio 1 [2,5 puntos]
Considere la matriz
\[ A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & a & 3 \end{pmatrix} \]
en función del parámetro \( a \in \mathbb{R} \). Razone cuál es el rango de \( A \).
Ejercicio 2 [2,5 puntos]
Considere la función \( f(x) = \left\{ \begin{array}{l} x^3 - 10x^2 + 25x, & \text{si } x \leq 5 \\ \ln(x^2 - 25), & \text{si } x > 5 \end{array} \right. \)
1) [1,25 puntos] Determine si \( f(x) \) tiene asintota(s). En caso afirmativo, calcúlela(s).
2) [1,25 puntos] Determine si \( f(x) \) tiene punto(s) de inflexión. En caso afirmativo, calcúlelo(s).
Ejercicio 3 [2,5 puntos]
Sean \( A = (0, 0, 0) \), \( B = (0, 0, 1) \), \( C = (a, 4, 1) \) y \( D = (a, 4, 0) \) los vértices consecutivos de un rectángulo en función de una constante \( a \geq 0 \).
1) [1,25 puntos] Calcule la constante de forma que el área del rectángulo sea \( 5 \, \text{u}^2 \).
2) [1,25 puntos] Calcule las ecuaciones paramétricas de las rectas de los lados del rectángulo para \( a = 3 \).
Ejercicio 4 [2,5 puntos]
Se ha desarrollado un test para detectar un tipo particular de artritis en personas de alrededor de 50 años. Calcule la probabilidad de que una persona esté enferma si al hacerle el test este sale positivo. Conocemos por un estudio previo que:
- La probabilidad de que las personas sobre 50 años tengan este tipo de artritis es de 0,10.
- La probabilidad de que el test salga positivo a personas sobre 50 años con la artritis estudiada es de 0,85.
- La probabilidad de que el test salga positivo a personas sobre 50 años sin la artritis estudiada es de 0,04.
Ejercicio 5 [2,5 puntos]
Considere el sistema de ecuaciones
\[ \left\{ \begin{array}{l} x - 3y + 2z = -1 \\ -2x + 4z = -6 \\ x - 2y + \lambda z = 0 \end{array} \right. \]
en función del parámetro \( \lambda \in \mathbb{R} \).
1) [0,75 puntos] Razone si el sistema puede ser incompatible. En caso afirmativo, determine cuándo lo es.
2) [0,75 puntos] Razone si el sistema puede ser compatible determinado. En caso afirmativo, determine cuándo lo es.
3) [0,75 puntos] Razone si el sistema puede ser compatible indeterminado. En caso afirmativo, determine cuándo lo es.
4) [0,25 puntos] Razone si el sistema tiene solución única para \( \lambda = 1 \). En caso afirmativo, calcule dicha solución.
Ejercicio 6 [2,5 puntos]
Considere la función \( f(x) = ax + \sin(x) \), en función de la constante real \( a \), con \( x \in [0, 2\pi] \).
1) [0,5 puntos] Determine la constante para que la función valga 0 cuando \( x = \pi/2 \).
2) [1 punto] Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento de \( f(x) \) para el valor de \( a \) calculado.
3) [1 punto] Calcule una primitiva de \( f(x) \).
Ejercicio 7 [2,5 puntos]
Sean \( A = (0, 3, 2) \), \( B = (4, 1, 3) \), \( C = (2, 3, 4) \) y \( D = (0, 1, 2) \) los vértices de un tetraedro.
1) [1,25 puntos] Obtenga la ecuación vectorial del plano determinada por los puntos \( A \), \( B \) y \( C \).
2) [1,25 puntos] Calcule el volumen del tetraedro.
Ejercicio 8 [2,5 puntos]
Las alturas de hombres de 17 años siguen una distribución normal de media 175 centímetros y desviación estándar 7,41 centímetros. Sea \( A \) el suceso formado por los hombres de 17 años que miden más de 170 centímetros y \( B \) el suceso de las personas de 17 años que realizan la EBAU en una región determinada. Suponemos que \( P(B^c) = 0,35 \), donde \( B^c \) denota el suceso contrario de \( B \).
1) [1 punto] Calcule \( P(A) \).
2) [0,5 puntos] Calcule \( P(B) \).
3) [0,5 puntos] Calcule \( P(A \cap B^c) \).
4) [0,5 puntos] Calcule \( P(A \cup B) \).