matemáticas ii andalucía curso 2023-2024
Convocatoria Ordinaria 2024 - Examen Titular
BLOQUE A. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:
EJERCICIO 1. (2,5 puntos)
Sea la función \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = \ln(x) \), donde \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano, y los puntos de su gráfica \( A(1,0) \) y \( B(e, 1) \).
a) [1,5 puntos] Determina, si existen, los puntos de la gráfica de \( f \) en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta que pasa por los puntos \( A \) y \( B \).
b) [1 punto] Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto \( A \).
EJERCICIO 2. (2,5 puntos)
Considera la función continua \( f \) definida por
\[ f(x) = \begin{cases} \frac{x \cos(x) - a \operatorname{sen}(x)}{x^3} & \text{si } x < 0 \\ b \cos(x) - 1 & \text{si } x \geq 0 \end{cases} \]
Calcula \( a \) y \( b \).
BLOQUE B. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:
EJERCICIO 3. (2,5 puntos)
Considera la función \( f \) definida por \( f(x) = \frac{x^3 + 2}{x^2 - 1} \), para \( x \neq -1, x \neq 1 \). Calcula una primitiva de \( f \) cuya gráfica pase por el punto \( (0,1) \).
EJERCICIO 4. (2,5 puntos)
Halla la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) tal que \( f''(x) = x \cos(x) \) y cuya gráfica pasa por los puntos \( \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \) y \( (\pi, 2\pi) \).
BLOQUE C. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:
EJERCICIO 5. (2,5 puntos)
Considera la matriz \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1/8 & 1/8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \).
a) [1 punto] Calcula \( A^{2024} \).
b) [1,5 puntos] Halla la matriz \( X \), si es posible, que verifica \( A^2 X A + I = O \), donde \( I \) y \( O \) son la matriz identidad y la matriz nula de orden 3, respectivamente.
EJERCICIO 6. (2,5 puntos)
Considera el sistema
\[ \begin{cases} y + z = 1 \\ y + z = k \\ x + (k-1)y + z = 0 \end{cases} \]
a) [1,75 puntos] Discute el sistema según los valores de \( k \).
b) [0,75 puntos] Para \( k = 1 \) resuelve el sistema, si es posible. ¿Hay alguna solución en la que \( y = 0 \)? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.
BLOQUE D. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:
EJERCICIO 7. (2,5 puntos)
a) [1,25 puntos] Halla el punto simétrico de \( P(2,2,1) \) respecto de la recta \( r = \begin{cases} x - 2y + z = 2 \\ y - z = 1 \end{cases} \).
b) [1,25 puntos] Halla el punto simétrico de \( Q(1,-1,-3) \) respecto del plano \( \pi \equiv x - 2y + z + 6 = 0 \).
EJERCICIO 8. (2,5 puntos)
Considera las rectas \( r = \begin{cases} y = 0 \\ 2x - z = 0 \end{cases} \) y \( s = \begin{cases} x + y + 7 = 0 \\ z = 0 \end{cases} \).
a) [1 punto] Estudia la posición relativa de \( r \) y \( s \).
b) [1,5 puntos] Calcula la ecuación del plano paralelo a \( r \) y \( s \) que equidista de ambas rectas.
Convocatoria Ordinaria 2024 - Examen Suplente
BLOQUE A. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:
EJERCICIO 1. (2,5 puntos)
Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{a x^3 + b x^2 + x - 1}{x^2 - 1} \), para \( x \neq \pm 1 \). Sabiendo que su gráfica tiene una asíntota oblicua que pasa por el punto \( (0,1) \) y es paralela a la recta \( y = 2x \), calcula la asíntota oblicua y los valores de \( a \) y \( b \).
EJERCICIO 2. (2,5 puntos)
Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = \operatorname{arctg}(x + \pi) \), donde \( \operatorname{arctg} \) denota la función arcotangente.
a) [1,5 puntos] Calcula los intervalos de concavidad y convexidad de \( f \). Estudia y halla, si existen, los puntos de inflexión de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
b) [1 punto] Calcula \( \lim_{x \to -\pi} \frac{\operatorname{arctg}(x + \pi)}{\operatorname{sen}(x)} \).
BLOQUE B. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:
EJERCICIO 3. (2,5 puntos)
Halla la función \( f: (2, +\infty) \to \mathbb{R} \) que pasa por el punto \( (3, -4 \ln 5) \) y verifica \( f'(x) = \frac{3x^2 + 4x + 12}{x^2 - 4} \), donde \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano.
EJERCICIO 4. (2,5 puntos)
Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = (x^2 - 3x + 5) e^x \). Halla una primitiva de \( f \) cuya gráfica pase por el punto \( (0, 5) \).
BLOQUE C. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:
EJERCICIO 5. (2,5 puntos)
Considera las matrices \( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ m & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \) y \( B = \begin{pmatrix} -4 & 8 & 0 \\ 0 & 4 & 4 \\ 4 & 12 & 20 \end{pmatrix} \).
a) [0,75 puntos] Determina los valores de \( m \) para los que la matriz \( A^2 \) tiene inversa.
b) [1,75 puntos] Para \( m = 0 \) calcula, si es posible, la matriz \( X \) que verifica \( A^2 X = \frac{1}{2}(A + B) \).
EJERCICIO 6. (2,5 puntos)
Determina un número natural de tres cifras sabiendo que la suma de sus dígitos es 9, que la diferencia de dicho número con el que se obtiene al intercambiar la cifra de las centenas por la de las unidades es 198, y que si consideramos la suma entre ambos números, es decir, entre el número a determinar y el que se obtiene al intercambiar sus cifras, el resultado es 828.
BLOQUE D. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:
EJERCICIO 7. (2,5 puntos)
Considera los puntos \( P(1, 0, 1) \) y \( Q(3, -2, 1) \).
a) [1 punto] Calcula el plano perpendicular al segmento \( PQ \) que pasa por su punto medio.
b) [1,5 puntos] Calcula el plano paralelo a la recta \( r = 1 - x = \frac{y - 2}{3} = z + 1 \) que pasa por \( P \) y \( Q \).
EJERCICIO 8. (2,5 puntos)
Considera los puntos \( A(1, 1, 2) \), \( B(1, 0, 1) \) y \( C(1, -1, 2) \).
a) [1,25 puntos] Determina el área del triángulo de vértices \( A, B \) y \( C \).
b) [1,25 puntos] Calcula \( D \) para que los puntos \( A, B, C \) y \( D \) sean los vértices consecutivos de un paralelogramo.
Convocatoria Ordinaria 2024 - Examen de Reserva
BLOQUE A. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:
EJERCICIO 1. (2,5 puntos)
Sea la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = (x^2 + 1) e^x \).
a) [1 punto] Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \).
b) [1,5 puntos] Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de \( f \) y los puntos de inflexión de su gráfica (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan).
EJERCICIO 2. (2,5 puntos)
Sea la función derivable \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por
\[ f(x) = \begin{cases} a e^{-x} + b \ln (1 - x) & \text{si } x < 0 \\ x + \ln (1 + x) & \text{si } x \geq 0 \end{cases} \]
donde \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano.
a) [1,5 puntos] Determina \( a \) y \( b \).
b) [1 punto] Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 0 \).
BLOQUE B. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:
EJERCICIO 3. (2,5 puntos)
Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 8x \).
a) [1 punto] Calcula los puntos de corte de la gráfica de \( f \) con los ejes de coordenadas y esboza dicha gráfica.
b) [1,5 puntos] Calcula la suma de las áreas de los recintos acotados y limitados por la gráfica de \( f \) y el eje de abscisas.
EJERCICIO 4. (2,5 puntos)
Calcula \( \int \frac{e^{3x} - 1}{e^x - 3} \, dx \). (Sugerencia: efectúa el cambio de variable \( t = e^x \)).
BLOQUE C. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:
EJERCICIO 5. (2,5 puntos)
Considera las matrices \( A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 7 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) y \( B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1/9 & 0 & 0 \end{pmatrix} \).
a) [1,25 puntos] Calcula los determinantes de las matrices \( \left((AB)^5\right)^{-1} \) y \( 27 AB^6 \).
b) [1,25 puntos] Halla la matriz \( X \), si es posible, que verifica que \( AXB = 9I \), donde \( I \) es la matriz identidad de orden 3.
EJERCICIO 6. (2,5 puntos)
Considera la matriz \( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & a \\ 5 & 3a - 1 & 0 \end{pmatrix} \).
a) [1,25 puntos] Calcula el rango de \( A \) según los valores de \( a \).
b) [1,25 puntos] Si \( B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \), \( X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \) y \( a = 2 \), resuelve, si es posible, el sistema \( AX = B \).
BLOQUE D. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:
EJERCICIO 7. (2,5 puntos)
Considera la recta \( r = \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{2} = 3 - z \) y el punto \( P(0, 2, -4) \).
a) [1,25 puntos] Calcula el punto de \( r \) a menor distancia de \( P \).
b) [1,25 puntos] Halla los puntos de \( r \) cuya distancia a \( P \) sea igual a \( \sqrt{50} \).
EJERCICIO 8. (2,5 puntos)
Sea \( \pi_1 \) el plano determinado por los puntos \( A(1, 0, 0) \), \( B(1, 1, -3) \) y \( C(0, 1, 1) \), y sea \( \pi_2 \equiv x - y + z - 1 = 0 \). Determina la ecuación de la recta paralela a ambos planos que pasa por el origen.
Convocatoria Extraordinaria 2024 - Examen Titular
BLOQUE A. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:
EJERCICIO 1. (2,5 puntos)
Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la función definida por
\[ f(x) = a + b \cos(x) + c \operatorname{sen}(x) \]
Halla \( a \), \( b \) y \( c \) dado que en el punto de abscisa \( x = \frac{\pi}{2} \) la recta \( y = 1 \) es tangente, y que la recta \( y = x - 1 \) corta a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 0 \).
EJERCICIO 2. (2,5 puntos)
Sea la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) dada por \( f(x) = \left(x - \frac{1}{2}\right) e^{-x^2} \).
a) [1,5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \).
b) [1 punto] Halla los extremos absolutos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
BLOQUE B. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:
EJERCICIO 3. (2,5 puntos)
Sean \( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) las funciones definidas por \( f(x) = -x^2 + 7 \) y \( g(x) = \left|x^2 - 1\right| \).
a) [1 punto] Halla los puntos de intersección de las gráficas de \( f \) y \( g \). Realiza un esbozo del recinto acotado y limitado por dichas gráficas.
b) [1,5 puntos] Calcula el área de dicho recinto.
EJERCICIO 4. (2,5 puntos)
Halla \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^x \cos(x) \, dx \).
BLOQUE C. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:
EJERCICIO 5. (2,5 puntos)
Considera la matriz \( A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \).
a) [1,25 puntos] Halla todas las matrices \( X \) que cumplen \( XA = -AX \) y \( X^2 = I \), donde \( I \) es la matriz identidad de orden 2.
b) [1,25 puntos] Halla todas las matrices \( Y \) que cumplen \( YA = AY \), la suma de los elementos de su diagonal principal es cero y tienen determinante -1.
EJERCICIO 6. (2,5 puntos)
Un proveedor de perfumerías vende a sus comerciantes tres tipos de perfumes A, B y C. En un primer pedido una tienda ha solicitado 20 perfumes de tipo A, 30 de tipo B y 15 de tipo C, por un importe de 2200 euros. En un segundo pedido ha solicitado 15 perfumes de tipo A, 10 de tipo B y 10 de tipo C, por un importe de 1250 euros.
a) [1,25 puntos] ¿Cuánto tendremos que pagar por un pedido de 25 perfumes de tipo A, 10 perfumes de tipo B y 16 de tipo C?
b) [1,25 puntos] Si añadimos que el precio de un perfume de tipo \( C \) es \( \frac{2}{5} \) del precio de una unidad de tipo \( A \), ¿cuál es el precio de cada tipo de perfume?
BLOQUE D. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:
EJERCICIO 7. (2,5 puntos)
Considera el plano \( \pi \equiv x - 2y + z - 2 = 0 \) y la recta \( r \equiv \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = 1 \end{cases} \quad \lambda \in \mathbb{R} \).
a) [1 punto] Estudia la posición relativa de \( \pi \) y \( r \).
b) [1,5 puntos] Calcula la ecuación de la recta contenida en \( \pi \) que pasa por el punto \( P(2, -1, -2) \) y es perpendicular a \( r \).
EJERCICIO 8. (2,5 puntos)
Considera los puntos \( A(4, 0, 0) \) y \( B(0, 2, 0) \). Calcula los puntos del plano \( OXZ \) que forman un triángulo equilátero con \( A \) y \( B \).
Convocatoria Extraordinaria 2024 - Examen Suplente
BLOQUE A. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:
EJERCICIO 1. (2,5 puntos)
Sea la función \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R} \), definida por \( f(x) = \ln \left( \frac{x^2 + 1}{x} \right) \), donde \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano.
a) [1 punto] Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
b) [1,5 puntos] Estudia y halla los extremos relativos y absolutos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan).
EJERCICIO 2. (2,5 puntos)
Calcula \( a \) y \( b \) sabiendo que
\[ \lim_{x \to 0} \frac{a (\ln (1 + x) - x) + b (e^x - 1) + 1 - \cos(x)}{\operatorname{sen}^2(x)} = 5 \]
donde \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano.
BLOQUE B. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:
EJERCICIO 3. (2,5 puntos)
Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por
\[ f(x) = \int_0^x \cos(t) \operatorname{sen}^2(t) \, dt \]
Determina las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = \frac{\pi}{4} \).
EJERCICIO 4. (2,5 puntos)
Calcula \( \int \frac{dx}{\sqrt{4 + 4 e^x}} \). (Sugerencia: efectúa el cambio de variable \( t = \sqrt{1 + e^x} \)).
BLOQUE C. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:
EJERCICIO 5. (2,5 puntos)
Considera el sistema de ecuaciones lineales
\[ \begin{cases} ax + y + z = 1 + a \\ x + 2y - z = 1 - a \\ x + (1 + a)y - az = 0 \end{cases} \]
a) [1,5 puntos] Calcula \( a \) para que el sistema sea compatible indeterminado.
b) [1 punto] Resuelve el sistema, si es posible, para \( a = 0 \).
EJERCICIO 6. (2,5 puntos)
Considera las matrices \( A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} \), \( M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \) e \( I \) la matriz identidad de orden 2.
a) [1,5 puntos] Sabiendo que \( A \) verifica la identidad \( (A + aI)^2 = bI \), halla \( a \) y \( b \).
b) [1 punto] Resuelve la ecuación \( MX + M^2 = I \).
BLOQUE D. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:
EJERCICIO 7. (2,5 puntos)
Considera el plano \( \pi \equiv x - y = 0 \) y la recta \( r \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = z - 2 \).
a) [1,25 puntos] Calcula, si es posible, el plano perpendicular a \( \pi \) que contiene a \( r \).
b) [1,25 puntos] Calcula, si es posible, la recta perpendicular a \( r \), contenida en \( \pi \) y que pasa por el origen.
EJERCICIO 8. (2,5 puntos)
Considera los puntos \( O(0, 0, 0) \), \( A(a, -1, 2) \) y \( B(a, 1, 0) \).
a) [1,5 puntos] Determina \( a \) para que el triángulo \( OAB \) tenga área 3 unidades cuadradas.
b) [1 punto] Calcula \( a \) para que \( O, A \) y \( B \) sean coplanarios con el punto \( C(1, 1, 0) \).
Convocatoria Extraordinaria 2024 - Examen de Reserva
BLOQUE A. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:
EJERCICIO 1. (2,5 puntos)
De entre todos los rectángulos de área \( 25 \, \text{cm}^2 \), determina las dimensiones de aquel en el que el producto de las longitudes de sus dos diagonales sea el menor posible.
EJERCICIO 2. (2,5 puntos)
Considera la función definida por \( f(x) = \frac{a x^3 + x - 1}{x^2 + b x - 3} \), para \( x^2 + b x - 3 \neq 0 \).
a) [1,5 puntos] Calcula \( a \) y \( b \) para que \( y = x - 2 \) sea una asíntota oblicua de la gráfica de \( f \).
b) [1 punto] Estudia y halla las asíntotas verticales de la gráfica de \( f \) cuando \( a = 0 \) y \( b = 2 \).
BLOQUE B. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:
EJERCICIO 3. (2,5 puntos)
Considera la función
\[ f(x) = \begin{cases} 1 - e^x & \text{si } x \leq 0 \\ x \cos(x) & \text{si } x > 0 \end{cases} \]
Calcula \( \int_{-\pi}^\pi f(x) \, dx \).
EJERCICIO 4. (2,5 puntos)
Calcula una primitiva de la función \( f: (1, +\infty) \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = (x - 1)^2 \ln \frac{\sqrt{x - 1}}{2} \) cuya gráfica pase por el punto \( (5, -\frac{7}{2}) \), donde \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano. (Sugerencia: efectúa el cambio de variable \( x - 1 = t^2 \)).
BLOQUE C. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:
EJERCICIO 5. (2,5 puntos)
Considera las matrices \( A = \begin{pmatrix} x & y & z \\ 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \), \( B = \begin{pmatrix} 1 & y & z \end{pmatrix} \) y \( C = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \end{pmatrix} \).
a) [1 punto] Sabiendo que el determinante de \( A \) es 5, calcula \( \left| \begin{array}{rrr} x-1 & y-1 & z-1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 3 \end{array} \right| \), indicando las propiedades que utilizas.
b) [1,5 puntos] Calcula los valores \( (x, y, z) \) tales que \( B \cdot A \equiv C \).
EJERCICIO 6. (2,5 puntos)
Considera el sistema
\[ \begin{pmatrix} 5 & -2 & -3 \\ 2 & 0 & -2 \\ 3 & -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = m \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \]
a) [1,75 puntos] Determina los valores de \( m \) para los que el sistema es compatible indeterminado.
b) [0,75 puntos] Para \( m = 1 \) resuelve el sistema, si es posible.
BLOQUE D. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:
EJERCICIO 7. (2,5 puntos)
Considera las rectas \( r \equiv x = y + a = \frac{z + 1}{2} \) y \( s \equiv \begin{cases} x - 2y = 30 \\ x + z = 2 \end{cases} \).
a) [1,25 puntos] Calcula \( a \) para que las rectas se corten.
b) [1,25 puntos] Para \( a = -1 \), halla la recta que corta perpendicularmente a \( r \) y \( s \).
EJERCICIO 8. (2,5 puntos)
Considera los vectores \( \vec{a} = (1, a, 2) \) y \( \vec{v} = (-2, 1, a) \).
a) [1 punto] Calcula \( a \) para que ambos vectores formen un ángulo de \( \frac{\pi}{3} \) radianes.
b) [1,5 puntos] Calcula \( a \) para que el vector \( (\vec{a} \times \vec{v}) - \vec{v} \) sea ortogonal a \( \vec{u} \).