1. (2,5 puntos)

Halla dos números mayores o iguales que 0, cuya suma sea 1, y el producto de uno de ellos por la raíz cuadrada del otro sea máximo.

2. (2,5 puntos)

Considera el plano \( \pi \), determinado por los puntos \( A(-1,0,0) \), \( B(0,1,1) \) y \( C(2,1,0) \), y la recta

\[ r = \left\{ \begin{array}{l} x - 2z - 3 = 0 \\ y - z - 2 = 0 \end{array} \right. \]

Halla los puntos de \( r \) cuya distancia a \( \pi \) es \( \sqrt{14} \) unidades.

3. (2,5 puntos)

Considera el paralelogramo cuyos vértices consecutivos son los puntos \( P(-1,2,3) \), \( Q(-2,1,0) \), \( R(0,5,1) \) y \( S \).

a) [1 punto] Halla las coordenadas del punto \( S \).

b) [1,5 puntos] Calcula la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular al plano que contiene a los puntos \( P \), \( Q \) y \( R \).

4. (2,5 puntos)

Considera la matriz \( A = \begin{pmatrix} 0 & a & -b \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \).

a) [0,75 puntos] Calcula \( A^{10} \).

b) [1,75 puntos] Calcula, si es posible, la matriz inversa de \( I + A + A^2 \), donde \( I \) denota la matriz identidad.

5. (2,5 puntos)

Dadas las matrices \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \) y \( B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \), se define la matriz \( M = A + (\lambda - 1) B \).

a) [1,5 puntos] Halla los valores de \( \lambda \) para los que la matriz \( M \) tiene rango menor que 3.

b) [1 punto] Para \( \lambda = -1 \), resuelve el sistema lineal homogéneo cuya matriz de coeficientes es \( M \).

6. (2,5 puntos)

Sabiendo que \( F: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por \( F(x) = e^{x^2} \) es una primitiva de \( f \):

a) [1,25 puntos] Comprueba que \( f \) es creciente.

b) [1,25 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función \( f \), el eje de abscisas y la recta \( x = 1 \).

7. (2,5 puntos)

Estudios realizados en un cierto país demuestran que el consumo de gasolina en autos compactos está normalmente distribuido, con una media de 6 litros por cada 100 km y una desviación estándar de 1,2 litros por cada 100 km.

a) [1 punto] Calcula el porcentaje de autos compactos que gasta 7 o más litros cada 100 km.

b) [1,5 puntos] Calcula el número máximo de litros por cada 100 km que debe consumir un auto compacto si el fabricante quiere que supere en economía de combustible al 95% de los que hay actualmente en el mercado.

Nota: trabaja con cuatro cifras decimales.