extremadura bloque ii: análisis
PAU 2024-2025 Modelo de examen
EJERCICIO 2A (2.5 puntos)
Resolver el sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro \( m \in \mathbb{R} \):
\( \left\{ \begin{array}{l} x + y + z = m \\ x + m y + z = 1 \\ m x + y + z = m + 1 \end{array} \right. \)
a) Discutir según los valores de \( m \) el número de soluciones del sistema anterior. [1.5 puntos]
b) Resolver el sistema para \( m = 1 \). [1 punto]
PAU 2024-2025 Modelo de examen
EJERCICIO 2B (2.5 puntos)
Dadas las funciones \( f(x) = 2 x + 6 \) y \( g(x) = x^2 - 3 x \)
a) Calcula \( \int \frac{f(x)}{g(x)} \, dx \) [1.25 puntos]
b) Halla el área de dicho recinto limitado por las gráficas de las funciones \( f(x) \) y \( g(x) \). [1.25 puntos]
EBAU Extraordinaria 2024
5 (2 puntos)
Se considera la función \( f(x) = \frac{4 x + 4}{x^2} \).
a) Estudiar sus asíntotas, monotonía y extremos relativos. (1.5 puntos)
b) Representarla gráficamente. (0.5 puntos)
EBAU Extraordinaria 2024
6 (2 puntos)
Calcular \( a \), \( b \) y \( c \) para que la función
\( f(x) = \begin{cases} x^2 + a x - b & \text{si } x < 0 \\ a + c x & \text{si } x \geq 0 \end{cases} \)
cumpla los requisitos del teorema de Rolle en el intervalo \([-2, 2]\). (2 puntos)
EBAU Extraordinaria 2024
7 (2 puntos)
Hallar la integral \( \int \frac{-x^2 + 7 x + 6}{x^3 + x^2 - 2 x} \, dx \). (2 puntos)
EBAU Extraordinaria 2024
8 (2 puntos)
Determinar el área encerrada por las gráficas de las funciones
\( f(x) = -x^3 + 3 x^2 + 6, \, g(x) = 2 x + 6 \). (2 puntos)
EBAU Ordinaria 2024
5 (2 puntos)
Hallar los intervalos de crecimiento y los puntos extremos de la función \( f(x) = x^2 \cdot e^{-x} \). (2 puntos)
EBAU Ordinaria 2024
6 (2 puntos)
Calcular el valor de \( a \) para que la función
\( f(x) = \begin{cases} \frac{\operatorname{sen}(x) - x \cdot e^x}{x^2 - 2 \cos(x) + 2} & \text{si } x \neq 0 \\ a & \text{si } x = 0 \end{cases} \)
sea continua en \( x = 0 \). (2 puntos)
EBAU Ordinaria 2024
7 (2 puntos)
Hallar una primitiva \( F(x) \) de la función \( f(x) = (2 x + 5) \cdot e^{-2 x} \) que cumpla \( F(0) = 0 \). (2 puntos)
EBAU Ordinaria 2024
8 (2 puntos)
Calcular el área encerrada entre las gráficas de las funciones \( f(x) = x^3 - 5 x \) y \( g(x) = -x \). (2 puntos)
EBAU Ordinaria 2024
5 (2 puntos)
Hallar los intervalos de crecimiento y los puntos extremos de la función \( f(x) = x^2 \cdot e^{-x} \). (2 puntos)
EBAU Ordinaria 2024
6 (2 puntos)
Calcular el valor de \( a \) para que la función
\( f(x) = \begin{cases} \frac{\operatorname{sen}(x) - x \cdot e^x}{x^2 - 2 \cos(x) + 2} & \text{si } x \neq 0 \\ a & \text{si } x = 0 \end{cases} \)
sea continua en \( x = 0 \). (2 puntos)
EBAU Ordinaria 2024
7 (2 puntos)
Hallar una primitiva \( F(x) \) de la función \( f(x) = (2 x + 5) \cdot e^{-2 x} \) que cumpla \( F(0) = 0 \). (2 puntos)
EBAU Ordinaria 2024
8 (2 puntos)
Calcular el área encerrada entre las gráficas de las funciones \( f(x) = x^3 - 5 x \) y \( g(x) = -x \). (2 puntos)
EBAU Ordinaria 2023
5 (2 puntos)
a) Comprobar que hay alguna solución positiva y alguna negativa de la ecuación \( x \cdot \cos(2 x) = x^2 - 1 \). (1.5 puntos)
b) Aproximar la solución positiva encontrada con un error menor que una décima. (0.5 puntos)
EBAU Ordinaria 2023
6 (2 puntos)
Calcular \( a \), \( b \) y \( c \) para que la función \( f(x) = \begin{cases} x^2 + a x + b & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ c x & \text{si } 1 \leq x \leq 4 \end{cases} \) cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo \([0, 4]\). (2 puntos)
EBAU Ordinaria 2023
7 (2 puntos)
Calcula la integral \( \int \frac{17 - x}{x^2 + x - 6} \, dx \). (2 puntos)
EBAU Ordinaria 2023
8 (2 puntos)
Hallar el área encerrada por la gráfica de la función \( f(x) = x^3 - 4 x \) y el eje de abscisas. (2 puntos)
EBAU Extraordinaria 2022
5 (2 puntos)
Dada la función \( f(x) = \frac{x^3}{1 - x^2} \)
a) Estudiar asíntotas, monotonía y puntos extremos de \( f(x) \). (1.5 puntos)
b) Con los datos obtenidos, representar de forma aproximada la gráfica de \( f(x) \). (0.5 puntos)
EBAU Extraordinaria 2022
6 (2 puntos)
Hallar los puntos de inflexión de la gráfica de la función \( f(x) = x - \ln(x^2 + 1) \). (2 puntos)
EBAU Extraordinaria 2022
7 (2 puntos)
Calcular la integral \( \int \frac{1}{x^3 - x} \, dx \). (2 puntos)
EBAU Extraordinaria 2022
8 (2 puntos)
Hallar el parámetro positivo \( a \in \mathbb{R} \) tal que el área de la región plana encerrada por las gráficas de las funciones \( f(x) = x^2 \) y \( g(x) = a x \) sea \( \frac{4}{3} \). (2 puntos)
EBAU Ordinaria 2022
5 (2 puntos)
Calcular el valor de \( a \in \mathbb{R} \) para que la función
\( f(x) = \begin{cases} \frac{x \cdot e^x - \operatorname{sen} x}{x^2} & \text{si } x \neq 0 \\ a & \text{si } x = 0 \end{cases} \)
sea continua en \( x = 0 \). (2 puntos)
EBAU Ordinaria 2022
6 (2 puntos)
Dada la función \( f(x) = |x + 1| + |x - 2| \).
a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función. (1 punto)
b) Calcular el intervalo donde la función permanece constante. (1 punto)
EBAU Ordinaria 2022
7 (2 puntos)
Determinar la función \( f(x) \) tal que su gráfica pase por el origen de coordenadas y su derivada sea \( f'(x) = (2 x + 1) e^{-x} \). (2 puntos)
EBAU Ordinaria 2022
8 (2 puntos)
Calcular el área encerrada por la gráfica de la función \( f(x) = \operatorname{sen}(2 x) \), el eje OX y las rectas \( x = 0 \) y \( x = \pi \). (2 puntos)
EBAU Extraordinaria 2021
5 (2 puntos)
a) Estudiar la continuidad de la siguiente función \( f(x) \) para \( x \neq 0 \) (con \( a \in \mathbb{R} \)): (0.5 puntos)
\( f(x) = \begin{cases} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} & \text{si } x \neq 0 \\ a & \text{si } x = 0 \end{cases} \)
b) Calcular el valor de \( a \) para que la función \( f(x) \) sea continua en \( x = 0 \). (1.5 puntos)
EBAU Extraordinaria 2021
6 (2 puntos)
Sea la función \( f(x) = \frac{2 - x^2}{x^2 - 4} \).
a) Estudiar las asíntotas, monotonía y puntos extremos de la función \( f(x) \). (1.5 puntos)
b) Con los datos obtenidos, representar de forma aproximada la gráfica de \( f(x) \). (0.5 puntos)
EBAU Extraordinaria 2021
7 (2 puntos)
Resolver la integral \( \int \ln^2(x) \, dx \). (2 puntos)
EBAU Extraordinaria 2021
8 (2 puntos)
Dadas las funciones \( f(x) = 3 x - x^2 \) y \( g(x) = x^2 - 2 x \), calcular el área de la región limitada por sus gráficas. (2 puntos)
EBAU Ordinaria 2021
5 (2 puntos)
Estudiar asíntotas, monotonía (crecimiento y decrecimiento), extremos relativos y puntos de inflexión de la función \( f(x) = e^{-x^2} \). (2 puntos)
EBAU Ordinaria 2021
6 (2 puntos)
Demostrar que las gráficas de las funciones \( f(x) = 2 - x^2 \) y \( g(x) = e^x \) se cortan en al menos 2 puntos. Para cada uno de los puntos de corte, encontrar un intervalo que lo contenga de longitud menor o igual que 1. Razonar las respuestas exponiendo y verificando los resultados (teoremas) que lo justifiquen. (2 puntos)
EBAU Ordinaria 2021
7 (2 puntos)
Calcular la integral racional \( \int \frac{3 x}{x^2 + x - 2} \, dx \). (2 puntos)
EBAU Ordinaria 2021
8 (2 puntos)
Sean las funciones \( f(x) = x^2 \) y \( g(x) = \sqrt{x} \).
a) Representar la región plana delimitada por las gráficas de las funciones \( f(x) \) y \( g(x) \) en el intervalo \([0, 2]\). (0.5 puntos)
b) Calcular el área de la región anterior. (1.5 puntos)
EBAU Extraordinaria 2020
5 (2 puntos)
Sea la función \( f(x) = \frac{4 x}{1 + x^2} \).
a) Estudie las asíntotas, la monotonía (crecimiento y decrecimiento) y los extremos relativos (máximos y mínimos) de la función \( f(x) \). (1.5 puntos)
b) Con los datos obtenidos en el apartado anterior, represente de forma aproximada la gráfica de la función \( f(x) \). (0.5 puntos)
EBAU Extraordinaria 2020
6 (2 puntos)
Calcule los valores de \( a \) y \( b \) sabiendo que la siguiente función \( f(x) \) es derivable en todo su dominio:
\( f(x) = \begin{cases} 2 x^2 + a x + b & \text{si } x \leq 1 \\ -2 + \ln(x) & \text{si } x > 1 \end{cases} \)
(2 puntos)
EBAU Extraordinaria 2020
7 (2 puntos)
Sean las funciones \( f(x) = 1 - x^2 \) y \( g(x) = -3 \).
a) Represente la región plana encerrada por las funciones \( f(x) \) y \( g(x) \). (0.5 puntos)
b) Calcule el área de la región anterior. (1.5 puntos)
EBAU Extraordinaria 2020
8 (2 puntos)
Calcule la integral \( \int \frac{3 x}{x^2 - x - 2} \, dx \). (2 puntos)
EBAU Ordinaria 2020
5 (2 puntos)
a) Estudie la monotonía (crecimiento y decrecimiento) y los extremos relativos (máximos y mínimos) de la función \( f(x) = e^x (x^2 - x + 1) \). (1 punto)
b) Justifique si existe algún valor de \( x \) tal que \( f(x) = 2 \). (1 punto)
EBAU Ordinaria 2020
6 (2 puntos)
Considere la función \( f(x) \), donde \( a \in \mathbb{R} \), dada por
\( f(x) = \begin{cases} \frac{1 - e^x}{x} & \text{si } x \neq 0 \\ a & \text{si } x = 0 \end{cases} \)
a) Calcule el valor de \( a \) para que la función sea continua. (1 punto)
b) Calcule la ecuación de la recta tangente en \( x = 1 \). (1 punto)
EBAU Ordinaria 2020
7 (2 puntos)
Dadas las funciones \( f(x) = x^2 - 4 x + 1 \) y \( g(x) = -x + 1 \), se pide:
a) Represente de forma aproximada la región delimitada por las dos curvas. (0.5 puntos)
b) Calcule el área de dicha región. (1.5 puntos)
EBAU Ordinaria 2020
8 (2 puntos)
Resuelva la integral \( \int \frac{-x + 7}{x^2 + x - 2} \, dx \). (2 puntos)
EBAU Extraordinaria 2019
3 Opción A (2 puntos)
Sea la función \( f(x) = \begin{cases} e^{-x} & \text{si } x < 0 \\ e^x & \text{si } x \geq 0 \end{cases} \)
a) Estudie la continuidad y derivabilidad de \( f(x) \). (1.5 puntos)
b) Estudie si existe un extremo relativo de \( f(x) \) en \( x = 0 \). (0.5 puntos)
EBAU Extraordinaria 2019
4 Opción A (2 puntos)
Dadas las funciones \( f(x) = x^2 - 2 \) y \( g(x) = x \).
a) Representa la región plana encerrada por \( f(x) \) y \( g(x) \). (0.5 puntos)
b) Calcule el área de la región anterior. (1.5 puntos)
EBAU Extraordinaria 2019
3 Opción B (2 puntos)
Sea la función \( f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 1} \).
a) Estudie las asíntotas, la monotonía (crecimiento y decrecimiento) y los extremos relativos (máximos y mínimos) de \( f(x) \). (1.5 puntos)
b) Representa la gráfica de \( f(x) \) utilizando el apartado anterior. (0.5 puntos)
EBAU Extraordinaria 2019
4 Opción B (2 puntos)
Calcule la primitiva \( F(x) \) de la función \( f(x) = \frac{x - 3}{x^2 - 1} \). (2 puntos)
EBAU Ordinaria 2019
3 Opción A (2 puntos)
Demuestre que la ecuación \( \operatorname{sen}(x^2) = x - 1 \) tiene una solución positiva. Razone la respuesta, exponiendo el teorema (o resultado) que justifique la solución. (2 puntos)
EBAU Ordinaria 2019
4 Opción A (2 puntos)
Sean las funciones \( f(x) = x^2 - 4 \) y \( g(x) = \frac{1}{2} x^2 - 2 \).
a) Represente la región plana encerrada por las funciones \( f(x) \) y \( g(x) \). (0.5 puntos)
b) Calcule el área de la región anterior. (1.5 puntos)
EBAU Ordinaria 2019
3 Opción B (2 puntos)
Estudie la monotonía (crecimiento y decrecimiento) de la función \( f(x) = x^2 e^x \). (2 puntos)
EBAU Ordinaria 2019
4 Opción B (2 puntos)
Resuelve la integral \( \int \frac{5 x + 3}{x^2 + 2 x - 3} \, dx \). (2 puntos)
EBAU Extraordinaria 2018
3 Opción A (2.5 puntos)
Sea la función \( f(x) = |x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases} \)
(a) Estudie la continuidad y derivabilidad de \( f(x) \). (1 punto)
(b) Estudie la monotonía (crecimiento y decrecimiento) de \( f(x) \) y justifique si en el punto \( x = 0 \) la función \( f(x) \) tiene un mínimo relativo. (1 punto)
(c) Dibuje el recinto plano limitado entre las funciones \( f(x) = |x| \) y \( g(x) = 2 - x^2 \) y calcule su área. (1.5 puntos)
EBAU Extraordinaria 2018
3 Opción B (2.5 puntos)
Sea la función \( f(x) = x \ln(x) \) para \( x > 0 \).
(a) ¿Se puede definir \( f(0) \) para que \( f(x) \) sea continua por la derecha de \( x = 0 \)? (1 punto)
(b) Estudie los máximos y mínimos relativos de \( f(x) \) para \( x > 0 \). (0.5 puntos)
(c) Halle, si existe, la recta tangente a \( f(x) \) en \( x = 1 \). (0.5 puntos)
(d) Calcule una primitiva \( F(x) \) de la función \( f(x) = x \ln(x) \). (1.5 puntos)
EBAU Ordinaria 2018
3 Opción A (2 puntos)
Dada la función \( f(x) = x^2 - 2 x + 1 \), calcule el área encerrada entre la gráfica de \( f(x) \) y el eje OX.
(2 puntos)
EBAU Ordinaria 2018
3 Opción B (2.5 puntos)
(a) Estudie el dominio, las asíntotas y máximos y mínimos de la función \( f(x) = \frac{1}{x^2 - 1} \). (1.5 puntos)
(b) Representa la gráfica de \( f(x) \) utilizando los datos del apartado anterior. (0.5 puntos)
(c) Calcule una primitiva \( F(x) \) de la función \( f(x) \). (1.5 puntos)
EBAU Extraordinaria 2017
3 Opción A (2 puntos)
(a) Enuncie el teorema del valor medio de Lagrange. (0.75 puntos)
(b) Aplicando a la función \( f(x) = \frac{1}{x^2} \) el anterior teorema, prueba que cualesquiera que sean los números reales \( 1 < a < b \) se cumple la desigualdad \( a + b < 2 a^2 b^2 \). (1.25 puntos)
EBAU Extraordinaria 2017
4 Opción A (2 puntos)
Calcule una primitiva \( F(x) \) de la función \( f(x) = \frac{2 x}{x^2 + 1} - e^{-x} + 2 x \cos(x^2) \) que cumpla \( F(0) = 0 \). (2 puntos)
EBAU Extraordinaria 2017
3 Opción B (2 puntos)
Estudie el dominio, el signo, las asíntotas verticales y las asíntotas horizontales de la función \( f(x) = \frac{2 x + 1}{x^2 + x} \). (2 puntos)
EBAU Extraordinaria 2017
4 Opción B (2 puntos)
(a) Represente, aproximadamente, la gráfica de la función \( f(x) = x^2 - 1 \) definida en el intervalo cerrado \([0, 2]\). (0.5 puntos)
(b) Calcule el área de la región plana limitada por la gráfica de la función \( f(x) = x^2 - 1 \), el eje OX y las rectas \( x = 0 \), \( x = 2 \). (1.5 puntos)
EBAU Ordinaria 2017
3 Opción A (2 puntos)
(a) Estudie el dominio de definición, los extremos relativos y las asíntotas de la función \( f(x) = x + \frac{1}{x} = \frac{x^2 + 1}{x} \). (1.5 puntos)
(b) Teniendo en cuenta los datos obtenidos en el apartado anterior, represente, aproximadamente, la gráfica de la función \( f(x) \). (0.5 puntos)
EBAU Ordinaria 2017
4 Opción A (2 puntos)
Utilizando el cambio de variable \( 1 + x^2 = t^2 \), calcule una primitiva \( F(x) \) de la función \( f(x) = \frac{x^3}{\sqrt{1 + x^2}} \) que cumpla \( F(0) = 0 \). (2 puntos)
EBAU Ordinaria 2017
3 Opción B (2 puntos)
Calcule, aplicando la regla de L'Hôpital, el límite \( \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(2 x) + (1 - x)^2 - 1}{\ln(\cos x)} \). (2 puntos)
EBAU Ordinaria 2017
4 Opción B (2 puntos)
(a) Calcule los puntos en los que las dos curvas \( y = e^x \), \( y = -x^2 \) cortan a la recta \( x = 0 \) y a la recta \( x = 1 \). (0.5 puntos)
(b) Calcule el área de la región plana limitada por las curvas \( y = e^x \), \( y = -x^2 \), y por las rectas \( x = 0 \), \( x = 1 \). (1.5 puntos)