P1.

Una ONG organiza un convoy de ayuda humanitaria con un máximo de 27 camiones para llevar agua potable y medicinas a una zona devastada por unas inundaciones. Para agua potable dedica un mínimo de 12 camiones y para medicinas debe dedicar un número de camiones mayor o igual que la mitad del número de camiones dedicados a llevar agua. Enviar un camión con agua potable tiene un coste de 9000 euros, mientras que el coste para un camión de medicinas es de 6000 euros. Calcular, utilizando técnicas de programación lineal, cómo debe organizarse el convoy para que su coste sea mínimo. ¿Cuánto es el coste de la solución óptima? [3 puntos]

P2.

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real \( a \):

\[ \left\{ \begin{array}{c} x + y - z = a \\ a x + 2 y - z = 3 a \\ 2 x + a y - z = 6 \end{array} \right. \]

a) Clasificar el sistema según su número de soluciones para los distintos valores de \( a \). [1.5 puntos]

b) Resolver el sistema para \( a = 2 \). [1.5 puntos]

P3.

Una cadena local de TV ha determinado, por medio de encuestas, que el porcentaje de ciudadanos que la ven entre las 6 de la tarde y las 12 de la noche viene dado por la función

\[ S(t) = 660 - 231 t + 27 t^2 - t^3 \]

donde \( t \) indica las horas transcurridas desde las 12 en punto de la mañana.

a) ¿A qué hora tiene máxima y mínima audiencia la cadena entre las 6 de la tarde y las 12 de la noche? ¿Qué porcentaje de ciudadanos ven la cadena de TV a esas horas de máxima y mínima audiencia? [1.5 puntos]

b) Dibujar la gráfica de la función \( S(t) \) para \( t \) comprendido entre las 6 de la tarde y las 12 de la noche. [1.5 puntos]

P4.

Consideremos la función

\[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 3 x - 1 & \text{si } x \leq 2 \\ 2 x + 71 & \text{si } x > 2 \end{array} \right. \]

a) Aplicar el concepto de límite para estudiar si la función es continua. [1.5 puntos]

b) Calcular el área limitada por la función \( f(x) \) y el eje de abscisas en el intervalo [0, 2], dibujando el recinto correspondiente. [1.5 puntos]

P5.

El tiempo que un autobús urbano tarda en realizar su ruta se ajusta a una distribución normal con media de 24 minutos y desviación típica de 8 minutos. Si cada día el autobús realiza 40 veces su ruta:

a) Calcular la probabilidad de que en un día el tiempo medio de las 40 rutas esté entre 22 y 27 minutos. [1.5 puntos]

b) Calcular la probabilidad de que el autobús emplee más de 1080 minutos en total cada día para realizar su ruta esas 40 veces. [1.5 puntos]

P6.

a) En oposiciones de años anteriores se ha comprobado que el porcentaje de opositores que aprueban el primer examen es el 40% de los presentados. Tomando una muestra de 50 opositores presentados al primer examen en el año en curso, calcula, utilizando la distribución normal asociada, la probabilidad de que el porcentaje de opositores de esa muestra que aprueban el primer examen esté entre el 35% y el 45%. [1.5 puntos]

b) Una vez realizado el examen de esta convocatoria, y con el fin de publicar un avance de resultados, se toma una muestra aleatoria de 100 opositores y se comprueba que 55 de ellos han aprobado el primer examen. Determinar un intervalo de confianza del 90% para el parámetro proporción de opositores que, en esta convocatoria, aprueban el primer examen. [1.5 puntos]

C1.

Se consideran las matrices \( A = \left( \begin{array}{ll} -2 & 1 \end{array} \right) \) y \( B = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) \). Calcular, cuando sea posible, los productos matriciales \( A B \) y \( B A \). [1 punto]

C2.

Calcular el área limitada por la función \( y = x^2 \) y el eje OX entre los puntos \( x = -1 \) y \( x = 2 \). [1 punto]

C3.

La ficha técnica del estudio social La vida en la Frontera con Portugal indica que se ha encuestado a 4450 individuos mayores de 14 años, residentes en Castilla y León que viven a menos de 25 km de la frontera con Portugal. La muestra se ha tomado de manera estratificada, con muestreo aleatorio simple en cada estrato. El error de estimación de la proporción de individuos de la población satisfechos con su zona de residencia es de ±1.4% fijada una confianza del 95%.

Para esta ficha técnica, identificar los siguientes elementos: Población, diseño muestral, tamaño muestral, parámetro estimado. [1 punto]

P1.

En una concentración deportiva, el médico indica que cada deportista debe tomar entre un mínimo de 110 mg y un máximo de 250 mg de vitamina C al día, y también entre 80 y 150 mg de magnesio. Los deportistas toman comprimidos de VITAMIN que contienen, cada uno, 40 mg de vitamina C y 10 mg de magnesio. Asimismo, ingieren comprimidos MAGNE con 10 mg de vitamina C y 20 mg de magnesio cada uno. Calcular, utilizando técnicas de programación lineal, el número de comprimidos de cada tipo que son necesarios si se desea tomar el menor número posible de comprimidos e ingerir la dosis necesaria de vitamina C y de magnesio. [3 puntos]

P2.

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real \( k \):

\[ \left\{ \begin{array}{c} x - 3 y + 5 z = 0 \\ k y + (5 - k) z = -10 \\ x - 3 y + k z = 10 \end{array} \right. \]

a) Clasificar el sistema según su número de soluciones para los distintos valores de \( k \). [1.5 puntos]

b) Resolver el sistema para \( k = 1 \). [1.5 puntos]

P3.

Sea la función:

\[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} x^2 + x - 2 & \text{si } x \leq 1 \\ a + \ln(x) & \text{si } x > 1 \end{array} \right. \]

a) Determinar el valor de \( a \) para que \( f(x) \) sea continua en todo su dominio. [1.5 puntos]

b) Para \( a = 1 \), estudiar los puntos de corte con los ejes, monotonía y extremos relativos. [1.5 puntos]

P4.

La temperatura (en grados centígrados) del agua del mar Mediterráneo ha cambiado con el tiempo según la función \( T(x) \), donde \( x \) representa los años transcurridos desde el inicio de 2010:

\[ T(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 22 + 5.5 x - 1.5 x^2 & \text{si } 0 \leq x < 3 \\ \frac{52 x^2 + 3 x + 23}{2 x^2 + 2} & \text{si } x \geq 3 \end{array} \right. \]

a) Estudiar si la temperatura del agua ha cambiado de forma continua a lo largo de los años. [1.5 puntos]

b) Hallar la temperatura del agua al inicio del año 2014 y razonar cuál se prevé que será la temperatura del agua dentro de muchos años. [1.5 puntos]

P5.

El número de viajes realizados anualmente por habitantes de Castilla y León a comunidades limítrofes sigue una distribución normal cuya desviación típica es \( \sigma = 10 \). Si seleccionamos una muestra de 625 viajeros, la media de viajes realizados por los mismos es de 16.

a) ¿Cuál es el intervalo de confianza para la media de viajes anuales en toda la población para un nivel de significación del 4%? [1.5 puntos]

b) ¿Cuál sería el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de tamaño 500 y un nivel de confianza del 90%? [1.5 puntos]

P6.

En un instituto, 44 de cada 100 chicas y 5 de cada 10 chicos de segundo curso de Bachillerato están matriculados en la asignatura Empresa y diseño de modelos de negocio. Hay 150 chicas y 75 chicos en segundo curso de Bachillerato.

a) Si se elige un estudiante al azar de segundo curso de Bachillerato, hallar la probabilidad de que no esté matriculado en Empresa y diseño de modelos de negocio. [1.5 puntos]

b) Sabiendo que el estudiante elegido está matriculado en Empresa y diseño de modelos de negocio, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica? [1.5 puntos]

C1.

Despejar la incógnita \( X \) en la ecuación matricial \( C(A + X) = B - 2 X \). [1 punto]

C2.

Calcular el área encerrada bajo la curva \( f(x) = x^3 + 3 x^2 - 2 \) y el eje OX en el intervalo \([-2, -1]\). [1 punto]

C3.

Se lanza tres veces una moneda no trucada. Calcular la probabilidad de que salgan al menos dos caras seguidas. [1 punto]

P1.

Durante una liga de fútbol se jugaron un total de 38 partidos. El campeón obtuvo 86 puntos, después de sumar 3 puntos por cada victoria, 1 punto por cada empate y ninguno por la derrota. Sabiendo que el triple de los partidos empatados más los perdidos exceden en 2 a los partidos ganados, ¿cuántos partidos ganó, empató y perdió el campeón de esa liga? [3 puntos]

P2.

Una empresa pretende fabricar artículos de dos tipos, A y B. La inversión en los artículos de tipo B debe ser de, al menos, 3000 euros y no se quiere invertir en los artículos del tipo A más del doble que en los del tipo B. La inversión en artículos del tipo A proporcionará un beneficio del 10% de lo invertido en ese tipo de artículos. En cambio, el beneficio será del 5% de lo invertido en los del tipo B. Si se dispone de 12000 euros, calcular, utilizando técnicas de programación lineal, cuánto se ha de invertir en la fabricación de cada producto para obtener el beneficio máximo. ¿A cuánto asciende dicho beneficio máximo? [3 puntos]

P3.

La tasa de variación del IPC durante un año, viene dado por la función siguiente, donde \( x \) indica el tiempo medido en meses:

\[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} -0.16 x^2 + 1.6 x + 3.64 & \text{si } 0 \leq x < 7 \\ \frac{3 x + 49}{x + 3} & \text{si } 7 \leq x \leq 12 \end{array} \right. \]

a) Aplicar el concepto de límite para estudiar si la función es continua. [1.5 puntos]

b) Calcular los meses en los que la tasa de variación del IPC fue máxima y mínima. Así como los correspondientes valores máximo y mínimo alcanzados. [1.5 puntos]

P4.

Una panificadora fabrica bollos de fruta. Se estima que los beneficios que obtiene al día por este producto, en euros, vienen dados por la función \( f(x) = -x^2 + 25 x - 100 \), donde \( x \) representa los kilogramos de masa.

a) ¿Qué cantidad de masa se debe elaborar para obtener un beneficio de 50 euros? [1 punto]

b) Calcular la cantidad de kilogramos de masa que se ha de vender para obtener el beneficio máximo. [1 punto]

c) Calcular las cantidades de masa que se han de vender para no tener pérdidas. [1 punto]

P5.

Para estudiar el número de pulsaciones por minuto de personas entre 20 y 30 años, se eligen 400 personas al azar, obteniéndose una media muestral de 75 pulsaciones por minuto y una desviación típica de 9 pulsaciones por minuto.

a) Calcular el intervalo de confianza al 95% del número medio de pulsaciones por minuto en dicha población. [1.5 puntos]

b) ¿Qué tamaño mínimo debería tener otra muestra de personas entre 20 y 30 años para obtener, con un nivel de confianza del 99%, un error máximo admisible de 0.88 en la estimación de la media? [1.5 puntos]

P6.

De acuerdo con los últimos datos publicados por el Ministerio de Educación y Formación Profesional (datos y cifras del curso escolar 2022/2023), el 53.7% de las personas que estudian bachillerato son mujeres. Por modalidad cursada, las mujeres se distribuyen en un 49.1% en Humanidades y Ciencias Sociales, un 43.6% en Ciencia y Tecnología y un 7.3% en Artes; mientras que los hombres se distribuyen en un 43.2% en Humanidades y Ciencias Sociales, un 52.5% en Ciencias y Tecnología, y el resto en Artes.

a) Si se elige una persona al azar que estudia bachillerato, ¿cuál es la probabilidad de que estudie una modalidad de Ciencia y Tecnología? [1.5 puntos]

b) Sabiendo que la persona que estudia bachillerato elegida sigue una formación en Ciencia y Tecnología, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? [1.5 puntos]

C1.

Sea \( M \) la matriz fila de dimensión \( 1 \times 3 \): \( M = \left( \begin{array}{lll} 1 & 2 & m \end{array} \right) \). Calcular el valor de \( m \) para que \( M \cdot M^t = 9 \) (siendo \( M^t \) la matriz traspuesta de \( M \)). [1 punto]

C2.

Hallar el área del recinto limitado por la función \( f(x) = x^2 - 6 x + 9 \), el eje de abscisas y las rectas \( x = -1 \) y \( x = 2 \). [1 punto]

C3.

Sean \( A \) y \( B \) dos sucesos tales que \( P(A \cup B) = 0.8 \), \( P(\bar{A}) = 0.3 \), donde \( \bar{A} \) denota el complementario del suceso \( A \), y \( P(A \cap B) = 0.2 \). Calcular \( P(A / B) \). [1 punto]

P1.

Una academia de idiomas ofrece dos cursos de portugués: elemental (A1) y avanzado (A2). Por motivos de organización se puede admitir como máximo 66 estudiantes en el A1, aunque en el A2 se deben admitir 60 o más estudiantes. Por razones de espacio, el número de estudiantes del curso A1 debe ser inferior o igual a dos tercios del número de estudiantes del A2. Por cada estudiante matriculado, los beneficios mensuales del curso A1 y del curso avanzado A2 son de 145 euros y 150 euros, respectivamente. Calcular, utilizando técnicas de programación lineal, el número de estudiantes de cada curso que la academia ha de matricular para maximizar el beneficio mensual y cuál es ese beneficio máximo. [3 puntos]

P2.

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real \( a \):

\[ \left\{ \begin{array}{l} x - y + a z = 3 \\ x + 5 y - 2 a z = 1 \\ 3 x + 2 y - z = 1 \end{array} \right. \]

a) Clasificar el sistema según su número de soluciones para los distintos valores de \( a \). [1.5 puntos]

b) Resolver el sistema para \( a = -1 \). [1.5 puntos]

P3.

Se considera la función \( f(x) = a x^3 + 3 x^2 + b x - 4 \).

a) Averiguar los valores de \( a \) y \( b \) para que \( f(x) \) tenga un extremo en el punto \( (2, -8) \). [1.5 puntos]

b) Si \( a = 0 \) y \( b = -11 \), hallar el área encerrada entre la gráfica de la función y el eje OX en el intervalo \([4, 5]\). [1.5 puntos]

P4.

Una empresa tiene un gran servidor web cuya velocidad de respuesta (Gigabits por segundo, Gbps) viene dada por la función \( f(x) = 8.5 + \frac{3 x}{1 + x^2} \) para \( x \geq 0 \), donde \( x \) (terabytes) es la memoria requerida en cada momento.

a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la velocidad de respuesta del servidor según la memoria requerida. ¿Cuánta es la memoria requerida al alcanzar la velocidad de respuesta máxima? Calcular esa velocidad máxima. [2 puntos]

b) ¿Cuál es el límite de velocidad de respuesta del servidor a medida que aumenta la memoria requerida? [1 punto]

P5.

El 10% de los habitantes de una región padece cierta enfermedad. El único test disponible para detectar esa enfermedad resulta positivo en el 97% de las personas con la enfermedad. Este test también resulta positivo en el 1% de las personas que no padecen la enfermedad. Si se realiza el test a una persona elegida al azar de dicha región, determinar:

a) La probabilidad de que el test resulte positivo. [1.5 puntos]

b) Si el test resulta negativo, ¿cuál es la probabilidad de que la persona elegida tenga la enfermedad? [1.5 puntos]

P6.

Una máquina envasadora rellena sacos de cemento. El peso (en kg) de cada saco sigue una distribución normal de media \( \mu \) y desviación típica \( 2.25 \, \text{kg} \).

a) Suponiendo que \( \mu \) toma el valor de \( 24 \, \text{kg} \), ¿cuál es la probabilidad de que un lote con 36 sacos tenga un peso medio superior a \( 25.1250 \, \text{kg} \)? [1.5 puntos]

b) Se toma una muestra de 15 sacos y se obtiene una media muestral del peso de \( 25.65 \, \text{kg} \). Determinar, al nivel de confianza del 97%, un intervalo para la media poblacional \( \mu \). [1.5 puntos]

C1.

Dadas las matrices \( A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 0 & 2 \end{array} \right) \), \( B = \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 2 \\ 1 & 2 \end{array} \right) \) y \( C = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \). Si \( B^t \) es la matriz traspuesta de \( B \), determinar la dimensión de la matriz \( X \) que es solución de la ecuación \( (A + B^t) \cdot X = C \). [1 punto]

C2.

¿Cuál es el dominio de definición de la función \( f(x) = \frac{x^3}{x (x^2 - 1)} \)? Justificar la respuesta. [1 punto]

C3.

Una tienda de mascotas realiza un sorteo con papeletas de tres cifras. Sabiendo que el número premiado se elige extrayendo al azar cada cifra, por separado y con reemplazamiento, de una bolsa que contiene bolas del 0 al 9, calcular la probabilidad de que el número premiado termine en 55. [1 punto]