matemáticas aplicadas a las ciencias sociales ii la rioja
curso 2023-2024

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II - Evaluación de Bachillerato 2024

Curso 2023-2024 - Convocatoria ordinaria

Instrucciones: El examen está distribuido en tres bloques, cada uno con 3 ejercicios. En total se debe contestar a 4 ejercicios, de dos maneras posibles: o bien se eligen dos bloques y se contesta a 2 de cada uno de ellos, o bien se contesta a 2 de un bloque y a 1 de cada bloque restante. Todos los ejercicios valen 2.5 puntos, y en varios de ellos dicha puntuación se desglosa con más detalle. Todas las respuestas deben ser debidamente justificadas.

BLOQUE 1. Álgebra y Programación Lineal

1.1. En el mercado de Olmedo, por cinco corderos y un puerco me dan 26 ducados; por tres corderos, tres puercos y un ternero me dan 38 ducados, y si les doy dos de cada clase me dan 36 ducados. ¿Cuántos ducados me dan por cada cordero, puerco y ternero? [2.5 puntos]

1.2. Sea la matriz \( M = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \). Elige una matriz \( A \) cuadrada de orden 2 tal que, de sus cuatro componentes, tres valen 1 y la otra vale \(-1\). Escribe explícitamente tu matriz \( A \), y encuentra entonces la matriz \( X \) que cumple que \( A X = M \). ¿Cuánto valen los determinantes de las matrices \( A \) y \( X \)? [2.5 puntos]

1.3. Un artesano fabrica hilo de algodón ecológico e hilo de lino de alta calidad, y planifica su trabajo para los próximos tres días. Cada metro de algodón le lleva una hora de trabajo, y para cada metro de lino necesita tres horas. No quiere emplear más de 21 horas en su tarea. El coste de fabricación es de dos monedas por metro de algodón y de una por metro de lino, y no puede gastar más de 12 monedas en la tarea. Su beneficio por metro de algodón es de 3 monedas, y por metro de lino es de 5 monedas. ¿Cuántos metros debe fabricar de cada clase para maximizar su beneficio? Estudia cómo cambiaría la respuesta si el beneficio por metro de lino fuera el doble del que se ha dicho antes. [2.5 puntos]

BLOQUE 2. Análisis

2.1. Definimos la función \( f \) mediante \[ f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{x - 1} \] para los valores reales \( x \) en los que la expresión tiene sentido. ¿Cuál es su dominio? Representa la gráfica de \( f \), de forma que se aprecien bien sus asíntotas horizontales y verticales, sus extremos relativos y sus cortes con los ejes de coordenadas. [2.5 puntos]

2.2. Encuentra los valores de \( a \) y \( b \) que hacen que la función dada por \[ f(x) = x^3 - a x^2 - b x + 1 \] cumpla las dos propiedades siguientes:

  1. Su derivada vale lo mismo en \( x = 0 \) y en \( x = 1 \).
  2. Tiene un extremo relativo en \( x = -1 \).
[1.75 puntos] ¿Qué propiedad cumplen las rectas tangentes a la gráfica \( y = f(x) \) en los puntos de abscisa 0 y 1? ¿Qué tipo de extremo relativo (máximo o mínimo) tiene \( f \) en \(-1\)? [0.75 puntos]

2.3. El diseño del logo de New Summit se ajusta en altura a la gráfica de la siguiente función: \[ f(x) = \begin{cases} a x^2 & \text{si } 0 \leq x \leq 2, \\ 5 - x & \text{si } 2 \leq x \leq 5. \end{cases} \]

  1. Calcula el valor de \( a \). [0.75 puntos]
  2. Calcula el área de las dos regiones de distinto color distinguibles en el logo. [1.75 puntos]

BLOQUE 3. Estadística y Probabilidad

3.1. De cada diez autobuses que llegan al enclave de un concierto en Asturias, cuatro proceden de Gijón, tres de Oviedo, dos de Avilés y uno de Mieres. El 40% de las personas que llegan de Gijón y de Oviedo son mujeres, pero el porcentaje es del 60% entre las que llegan de Avilés y del 80% de las llegadas desde Mieres. Si elegimos una mujer al azar que ha llegado en autobús al concierto, ¿con qué probabilidad lo ha hecho desde cada una de las cuatro ciudades? [2.5 puntos]

3.2. La distribución de las valoraciones de un producto en una macroencuesta es normal de media \( \mu \) y desviación típica \( \sigma \). El porcentaje de las valoraciones superiores a 7 coincide con el de las valoraciones inferiores a 5.

  1. ¿Por qué podemos deducir que \( \mu = 6 \)? [0.75 puntos]
  2. Si el porcentaje expresado es del 15.866%, ¿cuál es el valor de \( \sigma \)? [0.75 puntos]
  3. ¿Qué valor es entonces superado solamente por el 2.5% de las valoraciones? [1 punto]

3.3. Las sandías de nuestra huerta tienen un peso cuya distribución es normal, con una desviación típica de 40 gr. Llamaremos \( \mu \) a su media.

  1. Si el peso medio fuese \( \mu = 650 \) gr, ¿cuál sería la probabilidad de que el peso promedio de 25 sandías superase los 666 gr? [1.25 puntos]
  2. Sin conocer el valor de \( \mu \), tomamos una muestra efectiva de 25 sandías, y el promedio de sus pesos resulta ser 700 gr. Calcula entonces un intervalo con el 95% de confianza en el que localizar \( \mu \). [1.25 puntos]
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II - Evaluación de Bachillerato 2024

Curso 2023-2024 - Convocatoria extraordinaria

Instrucciones: El examen está distribuido en tres bloques, cada uno con 3 ejercicios. En total se debe contestar a 4 ejercicios, de dos maneras posibles: o bien se eligen dos bloques y se contesta a 2 de cada uno de ellos, o bien se contesta a 2 de un bloque y a 1 de cada bloque restante. Todos los ejercicios valen 2.5 puntos, y en varios de ellos dicha puntuación se desglosa con más detalle. Todas las respuestas deben ser debidamente justificadas.

BLOQUE 1. Álgebra y Programación Lineal

1.1. Resuelve el sistema lineal \[ \begin{cases} 3x - y - 2z = 5 \\ x + y + 3z = 4 \\ 2x - 3y + z = 8 \end{cases} \] [1.75 puntos] ¿Por qué valor habría que sustituir el coeficiente 3 de la primera ecuación para que resultara un sistema sin soluciones? [0.75 puntos]

1.2. Halla una matriz \( A \) que cumpla la igualdad \[ A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \] [2.5 puntos]

1.3. Un pastelero elabora dos clases de pasteles, con masa y chocolate que ya tiene preparados en cuencos. Las llamaremos A y B. Puede elaborar un máximo de 30 unidades de la clase B. Cada unidad de la clase A requiere 2 cuencos de masa y 2 de chocolate, y la vende por 5 euros. Las de B contienen 1 cuenco de masa y 2 de chocolate, y su precio es de 4 euros. Dispone de 60 cuencos de masa y 80 de chocolate para elaborar todos los pasteles. Dando por supuesto que venderá todos los pasteles, ¿cuántos tiene que hacer de cada clase para maximizar su beneficio? [2.5 puntos]

BLOQUE 2. Análisis

2.1. Definimos la función \[ f(x) = \frac{x}{x - 2} \] para los valores reales \( x \) en los que la expresión tiene sentido. ¿Cuál es su dominio? [0.25 puntos] ¿Qué asíntotas horizontales y verticales observaremos en la gráfica \( y = f(x) \)? Indica los límites de \( f \) relevantes en cada una. [0.75 puntos] Dibuja dicha gráfica, señalando en la misma las asíntotas y también los extremos relativos de \( f \), que debes calcular previamente. [1.5 puntos]

2.2. Consideramos la parábola \[ y = 5x - x^2 - 4 \] La recta \( y = ax \) corta a la parábola en un punto \( (x_0, y_0) \), e \( y_0 \) es el máximo valor posible. ¿Cuánto valen \( a \), \( x_0 \) e \( y_0 \)? [2.5 puntos]

2.3. En la figura se representa la gráfica \( y = f(x) \), con \[ f(x) = (x^2 - 1)(x - b) \] para cierto \( b \) entre \(-1\) y \(1\).

  1. ¿Qué signo tienen respectivamente las integrales \( \int_{-1}^{b} f(x) \, dx \) y \( \int_{b}^{1} f(x) \, dx \)? [0.25 puntos]
  2. Sabemos que \( \int_{-1}^{1} f(x) \, dx = \frac{1}{3} \). Halla entonces el valor de \( b \). [2.25 puntos]

BLOQUE 3. Estadística y Probabilidad

3.1. Milena y Santi juegan con un dado. Cada uno lo tira una vez, pero Milena tiene ventaja: si saca un 6 gana ella; en caso contrario, si Santi saca par gana él, y si saca impar gana Milena.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de ganar de cada uno? [1.25 puntos]
  2. ¿Cuál es la probabilidad del suceso “Santi saca par”? ¿Y la de “gana Milena” condicionada a “Santi saca par”? ¿Cuál es entonces la probabilidad de “Santi saca par” condicionada a “gana Milena”? [1.25 puntos]

3.2. La estatura de las niñas de 3 años en España sigue una distribución normal de media 95 cm. Si nos dicen que una niña que mide 102 cm está en el percentil 97 (es decir, es más alta que el 97% de las niñas de su edad), ¿cuál es la desviación típica de la variable? [1.75 puntos] Se toma una muestra aleatoria independiente de 25 niñas de tres años. ¿Cuál es la media y la desviación típica de su estatura promedio? [0.75 puntos]

3.3. En un gran yacimiento arqueológico se estudian 36 cráneos, cuyo perímetro medio servirá para datar aproximadamente la época de ocupación. La media resulta ser igual a 56.2 cm. Si consideramos como desviación típica el valor 1.5 cm, ¿qué intervalo de confianza obtenemos para situar la media, con nivel de confianza 0.95? [1.25 puntos] ¿Qué desviación típica deberíamos asumir para obtener el mismo intervalo si lo calculamos con el 90% de confianza? [1.25 puntos]