Pregunta 1 (2.5 puntos)

Sean las matrices \( A = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \), \( B = \begin{pmatrix} y & 1 \\ x & 1 \end{pmatrix} \), \( C = \begin{pmatrix} m \\ -1 \end{pmatrix} \) y \( D = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \).

a) (1 punto) Si \( A - B \cdot C = D \), plantea un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas (representadas por \( x \) e \( y \)) en función del parámetro \( m \).

b) (1.5 puntos) ¿Para qué valores de \( m \) el sistema tiene solución? En caso de existir solución, ¿es siempre única? Encuentra, si es posible, la solución para \( m = 2 \).

Pregunta 2 (2.5 puntos)

Para que una encuesta sobre política de inmigración sea fiable, se exige que haya al menos 2300 personas entrevistadas, entre españoles y extranjeros, de las cuales como mucho 1000 serán extranjeros, y también se exige que los extranjeros sean, por lo menos, un 10% del total de personas entrevistadas.

a) (1.75 puntos) ¿Cuántos españoles y cuántos extranjeros pueden ser entrevistados? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Podrían ser entrevistados 1000 españoles?

b) (0.75 puntos) Si el coste estimado de cada entrevista es de \( 6 \) €, ¿cuál sería el máximo coste que podría tener la encuesta? ¿A cuántos españoles se habría entrevistado en dicho caso?

Pregunta 3 (2.5 puntos)

A la hora de estudiar la relación entre el beneficio de una empresa y el producto vendido, se representa por \( f(x) \) el beneficio mensual, en miles de euros, si se han vendido \( x \) toneladas de producto ese mes. Si un mes se venden como mucho 10 toneladas de producto, el beneficio mensual se puede considerar que es de \( 10 x - \frac{5x^2}{4} + 1800 \) miles de euros. Si se venden más de 10 toneladas, el beneficio mensual se considera que es constante e igual a 1805000 euros.

a) (0.25 puntos) Obtén la expresión de dicha función \( f \) para cualquier valor positivo \( x \).

b) (0.5 puntos) ¿Es el beneficio una función continua de la cantidad de producto vendido?

c) (1 punto) Estudia y representa gráficamente la función \( f \).

d) (0.75 puntos) ¿Cuál es el beneficio mensual mínimo? ¿Puede llegar algún mes a tener unos beneficios de 1900 miles de euros? ¿Y de 1815 miles de euros?

Pregunta 4 (2.5 puntos)

Dada la función \( f(x) = \frac{9}{x} - \frac{18}{x} - 1 \):

a) (0.5 puntos) Encontrar la primitiva \( F \) de \( f \) verificando que \( F(1) = 20 \).

b) (2 puntos) Estudiar y representar gráficamente la función \( f \) en todo su dominio. Calcular el área limitada por la curva y el eje \( X \) entre \( x = 1 \) y \( x = 12 \).

Pregunta 5 (2.5 puntos)

De los estudiantes de secundaria que fueron al viaje de estudios, se determina que tres quintas partes de ellos han comprado camisetas de recuerdo y un cuarto de ellos han comprado sudaderas. Además se sabe que el veinte por ciento de ellos han comprado tanto camisetas como sudaderas.

a) (1.25 puntos) Si un estudiante elegido al azar ha comprado sudaderas, ¿cuál es la probabilidad de que haya comprado camisetas?

b) (1.25 puntos) Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no haya comprado ni camisetas ni sudaderas?

Pregunta 6 (2.5 puntos)

De los turistas que visitaron Asturias el año pasado, el 5% eran españoles y viajaban en avión, Además se sabe que un 20% eran extranjeros y que el 25% de los que viajaron en avión eran españoles.

a) (1.25 puntos) Si se selecciona un turista al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya viajado en avión?

b) (1.25 puntos) Si seleccionamos un turista al azar entre los extranjeros, ¿cuál es la probabilidad de que haya viajado en avión?

Pregunta 7 (2.5 puntos)

Tras poner en marcha unos programas de prevención del tabaquismo en la universidad, se quiere estimar, a partir de una muestra aleatoria, la proporción actual de fumadores en la universidad.

a) (1.25 puntos) ¿Cuál sería el tamaño muestral mínimo para que pueda estimarse la verdadera proporción de fumadores en la universidad a partir de la proporción muestral con un error de estimación máximo de 0,02 y un nivel de confianza del 90%?

b) (1.25 puntos) Si se toma una muestra aleatoria de 2000 universitarios, de los que 210 son fumadores, obtén, con un nivel de confianza del 90%, un intervalo para estimar la proporción de fumadores en la universidad.

Pregunta 8 (2.5 puntos)

En un estudio sobre el gasto diario por turista en una determinada región, se tomo una muestra aleatoria de 3600 turistas, para los que el gasto total en un día, entre todos, había sido de 244800 euros. Suponiendo que el gasto diario sigue una distribución normal con desviación típica 40 euros, se pide:

a) (1.5 puntos) Construir un intervalo de confianza para el gasto medio diario de los turistas de esta región, al 95% de confianza.

b) (1 punto) ¿Cuál sería el tamaño muestral mínimo necesario para que pueda estimarse el verdadero gasto medio diario a partir de la media muestral con un error de estimación máximo de 1 euro y un nivel de confianza del 95%?

Pregunta 1 (2.5 puntos)

Sean las matrices \( A=\left(\begin{array}{cc} -m & m-2 \\ 2 m & 2 \end{array}\right) \), \( B=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 2 m \end{array}\right) \), \( C=\left(\begin{array}{cc} m & 2 \\ -1 & 0 \end{array}\right) \), \( D=\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right) \), \( E=\left(\begin{array}{c} 1 \\ m \end{array}\right) \).

a) [1.25 puntos] Si \( \frac{1}{2}(A+B \cdot C) \cdot D=E \), plantea un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (representadas por \( x \) e \( y \)) en función del parámetro \( m \).

b) [1.25 puntos] ¿Para qué valores de \( m \) el sistema anterior tiene solución? En caso de existir solución, ¿es siempre única? Encuentra, si es posible, la solución para \( m=1 \).

Pregunta 2 (2.5 puntos)

Un artesano teje gorros y bufandas. Cada gorro lleva 50 metros de lana de color blanco y \( 40 m \) de color negro. Cada bufanda lleva \( 100 m \) de color blanco y \( 100 m \) de color negro. Dispone de \( 2200 m \) de lana de color blanco y \( 2000 m \) de color negro y el número de gorros debe ser, a lo sumo, el doble que el de bufandas.

a) [1.75 puntos] ¿Cuántos gorros y bufandas puede tejer? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Puede tejer 12 gorros y 8 bufandas?

b) [0.75 puntos] Si vende cada gorro a 12 euros y cada bufanda a 18 euros, ¿cuántos gorros y bufandas debe tejer para maximizar los ingresos? ¿Cuáles serían los ingresos en ese caso?

Pregunta 3 (2.5 puntos)

Tras ingerir cierta cantidad de alcohol en ayunas, el nivel de etanol en sangre (medido en mg/dl) de una persona se ajusta aproximadamente, durante las 5 horas siguientes a la ingesta, a la función: \( f(x)=\left\{\begin{array}{cc} -60 x^2+160 x & \text { si } 0 \leq x \leq 2 \\ \frac{10}{3}\left(x^2-14 x+48\right) & \text { si } 2

a) [1.75 puntos] Estudia y representa gráficamente la función \( f \) entre las 0 y las 5 horas.

b) [0.75 puntos] Si la persona es un conductor novel y el límite de alcohol en sangre permitido a un conductor novel es de \( 30 mg/dl \), ¿podría esta persona conducir a las 3 horas de la ingesta? ¿Y a las 5 horas?, ¿cuál sería el nivel de etanol en sangre en ese momento?

Pregunta 4 (2.5 puntos)

Dada la función \( f(x)=x^3-2 x^2-3 x \), se pide:

a) [0.5 puntos] Encontrar la primitiva \( F \) de \( f \) verificando que \( F(2)=0 \).

b) [2 puntos] Estudiar y representar gráficamente la función \( f \) en todo su dominio. Calcular el área limitada por la curva y el eje \( X \) entre \( x=-2 \) y \( x=1 \).

Pregunta 5 (2.5 puntos)

Una empresa comercializa cromos de unos dibujos animados. El \( 60\% \) de los cromos son de personajes del "Reino Rosa" y el resto de personajes del "Reino Gris". Por otro lado, uno de cada tres cromos del "Reino Rosa" y uno de cada cinco del "Reino Gris" tienen el borde dorado.

a) [1.25 puntos] Elegido un cromo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga el borde dorado?

b) [1.25 puntos] Si se elige al azar un cromo entre los que no tienen el borde dorado, ¿cuál es la probabilidad de que sea del "Reino Rosa"?

Pregunta 6 (2.5 puntos)

Los estudiantes extranjeros que durante el curso viven en residencia universitaria suponen el \( 10\% \) de todos los estudiantes de una universidad. El \( 80\% \) de todos los estudiantes no son extranjeros y de ellos, el \( 75\% \) no viven en residencia universitaria durante el curso.

a) [1.25 puntos] Calcula la probabilidad de que un estudiante elegido al azar ni sea extranjero, ni viva en residencia universitaria durante el curso.

b) [1.25 puntos] Elegido al azar un estudiante entre los extranjeros, ¿cuál es la probabilidad de que no viva en residencia universitaria durante el curso?

Pregunta 7 (2.5 puntos)

Una fábrica hace un control de calidad para determinar la proporción de tabletas de chocolate que realmente contienen la cantidad de leche que indican en el envoltorio.

a) [1 punto] ¿Cuál debería ser el tamaño muestral mínimo para determinar la verdadera proporción de tabletas con el contenido en leche indicado a partir de la proporción muestral con un error de estimación máximo de 0.05 y un nivel de confianza del \( 95\% \)?

b) [1.5 puntos] Finalmente, se analizaron 300 tabletas y, de ellas, 264 tenían el contenido en leche indicado. Construye, a partir de estos datos, un intervalo de confianza para la verdadera proporción de tabletas con el contenido en leche indicado, con un nivel de confianza del \( 90\% \).

Pregunta 8 (2.5 puntos)

El nivel de cierta hormona en sangre sigue distribución normal con desviación típica 1.2 Ul/l. Para una muestra de 200 personas se obtuvo que el nivel medio de esa hormona en sangre fue de 8.7 Ul/l.

a) [1.5 puntos] Determina, a partir de esa muestra, un intervalo de confianza para el nivel medio poblacional de la hormona en sangre al nivel de confianza del \( 90\% \).

b) [0.5 puntos] En el intervalo anterior, ¿cuánto vale el error de estimación?

c) [0.5 puntos] Uno de los dos intervalos siguientes: \( (8.5681,8.8319) \) y \( (8.5514,8.8486) \) se obtuvo a partir de la misma muestra al \( 88\% \) de confianza. Razona adecuadamente cuál de los dos corresponde al nivel de confianza del \( 88\% \).

* Algunos valores de la función de distribución de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1: \( F(1.28)=0.90 \), \( F(1.64)=0.95 \), \( F(1.96)=0.975 \), \( F(2.33)=0.99 \) y \( F(2.58)=0.995 \).