matemáticas ii de navarra
curso 2023-2024
Curso 2023-2024 - Convocatoria ordinaria
Realiza cuatro preguntas de las ocho que se presentan.
Apartado 1 (Calificación máxima: 2.5 puntos)
PREGUNTA 1
[2,5 puntos] Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real \( m \) y resuélvelo en los casos en que sea compatible:
\[ \begin{cases} (2 - m)x - m y + 2z = -4 \\ (m - 2)x + (m + 1)y = 5 \\ y + (m^2 - m)z = 3 - m \end{cases} \]
Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.
PREGUNTA 2
[2,5 puntos] Halla el rango de la matriz \( M \) según el valor de \( m \), siendo:
\[ M = \begin{pmatrix} m - 1 & 3 & 0 \\ -1 & m & 1 \\ m & -1 & -1 \\ -2 & m + 1 & 2 \end{pmatrix} \]
Apartado 2 (Calificación máxima: 2.5 puntos)
PREGUNTA 3
[2,5 puntos] Los puntos \( A(4, -2, -3) \), \( B(2, -1, 1) \) y \( C(0, -3, -1) \) son vértices de un rombo.
a) Encuentra el cuarto vértice del rombo. (1,75 puntos)
b) Calcula el área del rombo. (0,75 puntos)
PREGUNTA 4
[2,5 puntos] Queremos construir un tetraedro de volumen \( 3u^3 \), siendo tres de los vértices los puntos de corte del plano \( \pi \equiv 2x - y - 2z = 0 \) con los ejes de coordenadas.
a) ¿A qué distancia de \( \pi \) tiene que estar el cuarto vértice del tetraedro? (1,5 puntos)
b) Encuentra dos puntos que sirvan como cuarto vértice de tetraedros con la base dada y el volumen señalado. (1 punto)
Apartado 3 (Calificación máxima: 2.5 puntos)
PREGUNTA 5
[2,5 puntos] Calcula las derivadas de las siguientes funciones:
a) \( f(x) = \left(\frac{1}{x}\right)^{\cos x} \)
b) \( g(x) = \frac{x^2 + 4x + 1}{(x + 2)^2} \)
PREGUNTA 6
[2,5 puntos] Halla los máximos y mínimos (relativos y absolutos), los puntos de inflexión y las asíntotas de la función \( f(x) = e^{-x^2} \). Representa, de manera aproximada, la gráfica de \( f \).
Apartado 4 (Calificación máxima: 2.5 puntos)
PREGUNTA 7
[2,5 puntos] Se considera la función \( f(x) = x^2 + e^{\frac{x}{4}} \).
a) Demuestra que la función es continua en el intervalo \([-2, 4]\). (1,25 puntos)
b) Comprueba que existen dos valores reales \( \alpha \) y \( \beta \) en \([-2, 4]\) tales que \( f(\alpha) = 2 = f(\beta) \). Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso. (1,25 puntos)
PREGUNTA 8
[2,5 puntos] Calcula los puntos del plano en los que se cortan las gráficas de estas dos funciones:
\[ f(x) = \frac{9}{x} \quad \text{y} \quad g(x) = 10x - x^3 \]
Tomando los dos puntos de corte con \( x > 0 \), calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas en el semiplano de abcisa positiva.
Curso 2023-2024 - Convocatoria extraordinaria
Realiza cuatro preguntas de las ocho que se presentan.
Apartado 1 (Calificación máxima: 2.5 puntos)
PREGUNTA 1
[2,5 puntos] Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real \( a \) y resuélvelo en los casos en que sea compatible:
\[ \left\{ \begin{array}{l} x + (a^2 + a)z = 0 \\ x + (2a - 1)y + (a + 1)z = a \\ (2a - 1)y + (a + 1)z = 0 \end{array} \right. \]
Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.
PREGUNTA 2
Sean \( A \), \( P \) y \( Q \) tres matrices cuadradas regulares tales que \( Q \cdot A \cdot P = I \), donde \( I \) es la matriz identidad de la misma dimensión.
a) [1,5 puntos] Demuestra que \( A \cdot P \cdot Q \cdot A = Q^{-1} \cdot P^{-1} \).
b) [1 punto] Calcula la matriz \( A \) para el caso en que \( P \) y \( Q \) sean las siguientes:
\[ P = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \]
Apartado 2 (Calificación máxima: 2.5 puntos)
PREGUNTA 3
Se consideran el plano \( \pi \equiv 2x + y - z - 5 = 0 \), la recta \( r \equiv \left\{ \begin{array}{l} x + 2z + 3 = 0 \\ -x - y + z + 4 = 0 \end{array} \right. \) y los puntos \( A(3, 2, -1) \) y \( B(1, 1, -1) \). Sea \( C \) la intersección entre la recta y el plano.
a) [1,25 puntos] Demuestra que los puntos \( A \), \( B \) y \( C \) no están alineados.
b) [1,25 puntos] Calcula el área del triángulo que conforman los tres puntos.
PREGUNTA 4
[2,5 puntos] El punto \( P(4, 5, 0) \) es el punto medio de un lado de un cuadrado. El lado paralelo al anterior está contenido en la recta de ecuación \( r \equiv \left\{ \begin{array}{l} 2x + 2y + z = 0 \\ 2x - z - 2 = 0 \end{array} \right. \). Calcula los dos vértices que determinan este segundo lado.
Apartado 3 (Calificación máxima: 2.5 puntos)
PREGUNTA 5
Calcula los siguientes límites:
a) [1,25 puntos] \( \lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^2}{\sqrt{x}} \)
b) [1,25 puntos] \( \lim_{x \to 1} x^{\frac{2x}{x - 1}} \)
PREGUNTA 6
Se considera la función \( f(x) = \cos(\pi x) + \sin(\pi x) \).
a) [0,5 puntos] Estudia la continuidad de la función en el intervalo \( [0, 1] \).
b) [2 puntos] Halla sus extremos relativos y absolutos en ese mismo intervalo. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso.
Apartado 4 (Calificación máxima: 2.5 puntos)
PREGUNTA 7
Se considera la función \( f(x) = \sqrt{2x^2 + 2x + 3} \).
a) [1,25 puntos] Demuestra que la función es continua en el intervalo \( [-1, 3] \) y derivable en \( (-1, 3) \).
b) [1,25 puntos] Comprueba que existe un valor \( \alpha \in (-1, 3) \) tal que \( f'(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso.
PREGUNTA 8
[2,5 puntos] Encuentra los dos puntos en los que se cortan las gráficas de estas dos funciones:
\[ f(x) = \ln x \quad \text{y} \quad g(x) = \frac{x - 1}{e - 1} \]
Calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas.