CONTEXTO: Algunas pruebas médicas resultan ser "positivas" o "negativas". Si la prueba fuese infalible, "positiva" indicaría que la persona examinada tiene la enfermedad en cuestión; "negativa" indicaría que no la tiene. Una guionista está escribiendo, para una conocida plataforma de streaming, una historia que tiene lugar en un país imaginario. Explica en su guion que, para detectar una rara enfermedad que afecta a 1 de cada 10000 personas, una empresa farmacéutica logra desarrollar una prueba que resulta ser muy fiable, pues solamente 1 de cada 100 personas libres de la enfermedad obtiene un resultado positivo, y solamente 2 de cada 100 personas que padecen la enfermedad obtienen resultados negativos. Dice también que los detalles que revelan el diseño de la prueba están protegidos por varios sistemas de seguridad, y que, el 9 de agosto de 2024, la clave que permite abrir el último de esos sistemas es el número 219, el cual se ha calculado, específicamente para ese día, de la siguiente manera: clave = número de ríos cuya longitud en metros comienza con el dígito 9, de entre los 2000 más largos del país = 219. Poco antes de entregar su guion, le surgen dudas acerca de la verosimilitud de sus cifras, conque decide compartirlas con una amiga matemática. Esta le dice que le responderá una vez que calcule las siguientes probabilidades:

• \( P_1 \): la probabilidad de que una persona con una prueba positiva tenga la enfermedad.
• \( P_2 \): la probabilidad de que una persona con una prueba negativa tenga la enfermedad.
• \( P_3 \): la probabilidad de que 219 ríos o más tengan una longitud en metros cuyo primer dígito sea el 9. Con relación a este punto, la amiga matemática observa que, en muchos conjuntos de datos reales, los primeros dígitos no se distribuyen de manera uniforme, sino que siguen la llamada ley de Benford, la cual afirma que la probabilidad de que un número comience con el dígito \( d \) es \( p = \log_{10}(1 + 1/d) \). Por ello, supondrá que la probabilidad de que un río tenga una longitud en metros cuyo primer dígito sea el 9 es \( p = 0.0458 \).

Responda estos tres apartados:

1.1. [1 punto] Calcule \( P_1 \) y \( P_2 \) (0,5 + 0,5 puntos). Entienda que los únicos resultados posibles de la prueba son "positivo" o "negativo".

1.2. [1 punto] Calcule \( P_3 \).

1.3. [0,5 puntos] En función de los valores de \( P_1 \), \( P_2 \) y \( P_3 \), dé al menos un motivo por el cual la guionista debería modificar alguna de sus cifras. No es necesario que diga cuáles deberían ser esas modificaciones ni cómo deberían ser efectuadas.

Responda uno de estos dos apartados: 2.1. o 2.2.

2.1. Responda los dos subapartados siguientes, considerando este sistema lineal:

\[ \begin{cases} (m + 1)x + y + z = 1 \\ (m + 1)x + y + z = m + 1 \\ (m + 1)x + (m - 1)z = m \end{cases} \]

2.1.1. [2 puntos] Discuta el sistema en función del valor del parámetro real \( m \).

2.1.2. [0,5 puntos] Si es posible, resuélvalo en el caso \( m = 0 \).

2.2. Responda los dos subapartados siguientes:

2.2.1. [1 punto] Calcule \( A \) si \( (A B)^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \) y \( B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \).

2.2.2. [1,5 puntos] Si \( A = \begin{pmatrix} 3 & x \\ y & z \end{pmatrix} \) es invertible, obtenga los valores de \( x \), \( y \) y \( z \) sabiendo que \( \det(A - 3I) = 0 \), que \( y \neq 0 \) y que \( (3z) A^{-1} + I = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} \). Entiéndase que \( I \) es la matriz identidad.

Responda uno de estos dos apartados: 3.1. o 3.2.

3.1. Responda los dos subapartados siguientes:

3.1.1. [1,25 puntos] Enuncie los teoremas de Rolle y del valor medio del cálculo diferencial.

3.1.2. [1,25 puntos] Explique si \( f: [0, 1] \to \mathbb{R}, f(x) = \sqrt{1 - x^2} \), está o no en las hipótesis del teorema del valor medio del cálculo diferencial. En caso de que lo esté, calcule un valor \( c \) para el cual se cumpla la tesis de ese teorema (0,75 + 0,5 puntos).

3.2. Responda los dos subapartados siguientes:

3.2.1. [1 punto] Calcule mediante cambio de variable las siguientes integrales:

3.2.1.1. [0,5 puntos] \( \int (\sin x)^5 \cos x \, dx \).

3.2.1.2. [0,5 puntos] \( \int \frac{\ln x}{x} \, dx \).

3.2.2. [1,5 puntos] Calcule \( \int \frac{\ln x}{x} \, dx \) empleando el método de integración por partes. Luego, obtenga algún valor de \( b \) tal que \( \int_e^b \frac{\ln x}{x} \, dx = \frac{3}{2} \) (1 + 0,5 puntos).

Responda uno de estos dos apartados: 4.1. o 4.2.

4.1. Responda los dos subapartados siguientes:

4.1.1. Se consideran \( \pi: ax + y + z = 1 \), donde \( a \) es un parámetro real, y \( r: \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z + 1}{3} \).

4.1.1.1. [0,5 puntos] Estudie la posición relativa del plano \( \pi \) y la recta \( r \) en función de \( a \).

4.1.1.2. [0,5 puntos] Obtenga el valor de \( a \) que hace que \( \pi \) y \( r \) sean perpendiculares.

4.1.1.3. [0,5 puntos] Razone si \( r \) puede estar contenida en \( \pi \) o no.

4.1.2. [1 punto] Si \( \pi \) es el plano de ecuación \( -3x + y + z = 1 \), diga qué valor debe tomar el parámetro real \( b \) para que la recta \( r: \frac{x - 1}{2} = \frac{y - b}{3} = \frac{z + 1}{3} \) esté contenida en \( \pi \).

4.2. Responda los dos subapartados siguientes, donde \( \pi \) es el plano de ecuación \( 2x - y + z = 1 \):

4.2.1. [1,25 puntos] Calcule la distancia de \( \pi \) al punto de corte de las rectas:

\[ r_1: \begin{cases} x = 2 + \lambda \\ y = 0 \\ z = -1 - \lambda \end{cases} \quad \text{y} \quad r_2: \begin{cases} x = \mu \\ y = -1 + \mu \\ z = 0 \end{cases} \quad (\lambda, \mu \in \mathbb{R}) \]

4.2.2. [1,25 puntos] Obtenga el punto simétrico de \( P(1, 0, 0) \) con respecto a \( \pi \).