matemáticas ii islas canarias
curso 2023-2024
CURSO 2023-2024 - Convocatoria ordinaria
INSTRUCCIONES: Debe responder sólo una pregunta de cada bloque de contenido. En caso de presentar dos preguntas de un mismo bloque, se considerará sólo la primera pregunta respondida. En el desarrollo de cada pregunta, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarla. Se califica todo el proceso. Se puede utilizar cualquier calculadora científica no programable ni con conexión a Internet.
Bloque 1.- Análisis
PREGUNTA 1A
La empresa 'Plátanos Islas Canarias' se dedica a la producción de plátanos, un cultivo muy importante en las islas. Los costes de producción están dados por la función:
\[ C(x) = \frac{3x}{5\sqrt{x^2 + 1}}, \quad x \geq 0 \]
donde \( C(x) \) son miles de €, \( x \) miles de kilos de plátanos producidos. Responder a las siguientes preguntas:
a) [0.5 ptos] Averiguar el coste de la producción de un kilo de plátanos.
b) [0.5 ptos] Si la empresa pudiera producir cantidades muy grandes de plátanos, ¿a qué valor tenderían los costes de producción de los plátanos?
c) [0.75 ptos] Un economista afirma que superada cierta cantidad de kilos producidos, el coste de producción disminuirá. Justificar la veracidad de la afirmación del economista.
d) [0.75 ptos] Calcular: \(\int_0^4 C(x) \, dx\). Interpretar el resultado en el contexto del problema.
PREGUNTA 1B
Dada la función definida por:
\[ f(x) = \frac{\ln(x + 2) + a}{3x + 4} \]
a) [1.25 ptos] Determinar el valor de \( a \) sabiendo que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = -1 \) es 10. Dar la expresión de la función.
b) [1.25 ptos] Para el valor \( a = 0 \), estudiar el dominio y las asíntotas de la función \( f(x) \).
Bloque 2.- Álgebra
PREGUNTA 2A
Resolver el siguiente sistema matricial:
\[ \begin{cases} 5X - 4Y = \begin{pmatrix} 5 & 6 & -1 \\ 4 & -5 & 1 \end{pmatrix} \\ 4X - 6Y = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 2 \\ 6 & -4 & -2 \end{pmatrix} \end{cases} \]
PREGUNTA 2B
Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales con un parámetro \( k \in \mathbb{R} \):
\[ \begin{cases} kx + y - 3z = 5 \\ -x + y + z = -4 \\ kx + y - kz = 1 \end{cases} \]
a) [1.25 ptos] Discutir la resolución del sistema según los valores del parámetro \( k \).
b) [1.25 ptos] Resolver el sistema cuando \( k = 4 \).
Bloque 3.- Geometría
PREGUNTA 3A
En el espacio tridimensional tenemos el punto, la recta y el plano siguientes:
\[ P(-7, 3, 4), \quad r: \begin{cases} x + y - 1 = 0 \\ x + z + 1 = 0 \end{cases}, \quad \pi: x + 2y - 5z + 5 = 0 \]
a) [1.5 ptos] Encontrar el punto \( A \) intersección del plano \( \pi \) con una recta \( s \). Esta recta \( s \) es una recta paralela a la recta \( r \) y que pasa por el punto \( P \).
b) [1 pto] Hallar el ángulo que forma la recta \( r \) y el plano \( \pi \).
PREGUNTA 3B
En el espacio tridimensional se conocen las ecuaciones de las rectas siguientes:
\[ r: \begin{cases} 3x + 2y - z = 1 \\ 2x - y + z + 4 = 0 \end{cases}, \quad s: \begin{cases} x = 3 + \lambda \\ y = \lambda \\ z = 1 + \lambda \end{cases} \]
a) [1.5 ptos] Estudiar la posición relativa de las rectas \( r \) y \( s \).
b) [1 pto] Encontrar el plano \( \pi \), paralelo a la recta \( r \) y que contiene a la recta \( s \).
Bloque 4.- Probabilidad
PREGUNTA 4A
En un procedimiento se han instalado tres paracaídas A, B y C. Si falla A, se pone B en funcionamiento, y si también falla B, se activa el paracaídas C. Las probabilidades de que funcione correctamente cada paracaídas son, respectivamente, 0.96, 0.98 y 0.99.
a) [0.75 ptos] Dibujar un diagrama de árbol que refleje todos los posibles casos.
b) [0.75 ptos] Calcular la probabilidad de que se active el paracaídas B y funcione correctamente.
c) [1 pto] Calcular la probabilidad de que funcione algún paracaídas.
PREGUNTA 4B
Un juego de ruleta tiene 25 casillas numeradas del 1 al 25.
a) [1.25 ptos] Si juega 100 veces, calcular la probabilidad de que gane en más de la mitad de las ocasiones.
b) [1.25 ptos] Si juega 200 veces, un jugador afirma que la probabilidad de ganar entre 90 y 110 veces es menor que \( 3/4 \). Justificar si esta afirmación es cierta o no.
CURSO 2023-2024 - Convocatoria Extraordinaria
INSTRUCCIONES: Debe responder sólo una pregunta de cada bloque de contenido. En caso de presentar dos preguntas de un mismo bloque, se considerará sólo la primera pregunta respondida. En el desarrollo de cada pregunta, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarla. Se califica todo el proceso. Se puede utilizar cualquier calculadora científica no programable ni con conexión a Internet.
Bloque 1.- Análisis
PREGUNTA 1A
Se considera la función:
\[ f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - b x + 9}{x^2 + 3}, & x \leq 0 \\ \frac{a x}{e^x - 1} + 2, & x > 0 \end{cases} \]
a) [1.25 ptos] Estudiar los valores de los parámetros \( a \) y \( b \) para que \( f(x) \) sea continua y derivable en \( x = 0 \).
b) [1.25 ptos] Para los valores \( a = 1 \) y \( b = -2 \), hallar la ecuación de la recta tangente a la función \( f(x) \) en \( x = -1 \).
PREGUNTA 1B
El ayuntamiento ha decidido crear una base metálica para una estatua del reconocido físico canario Blas Cabrera. Dicha base metálica estará delimitada por las parábolas \( y = x(3 - x) \) e \( y = x^2 - 7x + 8 \), donde la unidad de medida es el metro. Representar un esbozo de la base metálica y calcular el presupuesto de su construcción si el precio del \( m^2 \) del material para construir la base metálica es de 65 €. [2.5 ptos]
Bloque 2.- Álgebra
PREGUNTA 2A
Tres amigos, Aythami, Besay y Chamaida deciden hacer un fondo común con el dinero que tienen para merendar. La razón (o cociente) entre la suma y la diferencia de las cantidades de dinero que ponen Aythami y Besay es \( \frac{11}{5} \). La diferencia entre las cantidades aportadas por Aythami y Chamaida es el doble de lo que ha puesto Besay. Además, el doble de la suma de las cantidades que ponen Besay y Chamaida excede en 2 euros a la que aporta Aythami. Hallar la cantidad de dinero que aporta cada uno. [2.5 ptos]
PREGUNTA 2B
Dada la siguiente matriz:
\[ M_k = \begin{pmatrix} k & 0 & k \\ 0 & k & 0 \\ 2k - 3 & 0 & k \end{pmatrix}, \quad k \in \mathbb{R} \]
a) [1.25 ptos] Estudiar el rango de la matriz \( M_k \), dependiendo de los valores del parámetro \( k \).
b) [1.25 ptos] Tomamos \( M_1 \) como la matriz anterior para el valor \( k = 1 \), y \( B = \begin{pmatrix} -4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \), hallar la matriz \( X \) que satisface la ecuación: \( X \cdot M_1 + X \cdot M_1^T = B \).
Bloque 3.- Geometría
PREGUNTA 3A
En el espacio tridimensional tenemos las rectas siguientes:
\[ r_1: \begin{cases} x - 3y + 2z + 2 = 0 \\ 2x + y - 3z = 3 \end{cases}, \quad r_2: \frac{1 - x}{2} = y = \frac{1 - z}{2} \]
a) [1 pto] Estudiar la posición relativa de las rectas anteriores.
b) [1.5 ptos] Hallar la ecuación de la recta \( s \) que tiene dirección perpendicular a ambas rectas y que pasa por \( P\left(0, \frac{1}{2}, 0\right) \). Calcular el punto de corte de la recta \( s \) con la recta \( r_1 \).
PREGUNTA 3B
Responder a las siguientes cuestiones:
a) [0.75 ptos] Justificar si pueden existir vectores \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \), que comparten el punto de origen, y cumplen que \( |\vec{u}| = 2 \), \( |\vec{v}| = 3 \) y \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 8 \).
b) [1.75 ptos] En el espacio tridimensional, dados el plano y la recta secantes siguientes:
\[ \pi: x + 3y + 2z + 3 = 0, \quad r: \begin{cases} 2x - 3y - z = 4 \\ x + y + 2z = -3 \end{cases} \]
Calcular el punto de corte de la recta y el plano, así como el ángulo que forman.
Bloque 4.- Probabilidad
PREGUNTA 4A
Cierta enfermedad puede ser producida por tres tipos de virus A, B, C. En un laboratorio se tienen tres tubos con el virus \( A \), dos con el \( B \) y cinco con el \( C \). La probabilidad de que el virus \( A \) produzca la enfermedad es \( \frac{1}{3} \), que la produzca \( B \) es \( \frac{2}{3} \) y que la produzca \( C \) es \( \frac{1}{7} \).
a) [1.25 ptos] Se elige uno de los tubos anteriores al azar y se inocula el virus contenido en el tubo a un animal, ¿cuál es la probabilidad de que al animal le produzca la enfermedad?
b) [1.25 ptos] Si se inocula un virus de los anteriores a un animal y no le produce la enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que se haya inyectado el virus \( C \)?
PREGUNTA 4B
El delantero de un equipo de fútbol suele marcar gol en tres de cada cinco penaltis lanzados. Sabemos que realiza 70 lanzamientos en cada entrenamiento.
a) [1.25 ptos] Calcular la probabilidad de marcar entre 40 y 45 penaltis en un entrenamiento.
b) [0.75 ptos] Si la probabilidad de que marque más de la mitad de los penaltis es superior al 90%, se seleccionará para jugar en una categoría superior. ¿Será seleccionado este delantero? Justificar la respuesta.
c) [0.5 ptos] Si en una temporada lanza 450 penaltis, calcular el número de penaltis que se espera que haya marcado este jugador durante una temporada.