matemáticas aplicadas a las ciencias sociales ii de navarra
curso 2023-2024
Curso 2023-2024 - Convocatoria ordinaria
Instrucciones: Elija tres de los seis ejercicios siguientes. Cada ejercicio tiene una puntuación total de 10 puntos, distribuidos según se indica en cada apartado.
EJERCICIO 1: Una empresa dedicada a deportes de montaña vende sesiones individuales de senderismo, rapel y ciclismo de montaña. Un día concreto, la empresa vende en un total de 45 sesiones. Los precios por sesión y persona de cada una de estas tres actividades son 40 euros, 20 euros y 60 euros, respectivamente, recaudando la empresa un total de 1700 euros ese día. Si por cada persona que elige rapel hay tres que eligen senderismo, ¿cuántas personas han realizado cada actividad?
i) (3 puntos) Plantee el sistema de ecuaciones lineales.
ii) (7 puntos) Resuelva el sistema e interprete la solución en el contexto del problema.
EJERCICIO 2: Una empresa recibe diariamente un disolvente desde dos distribuidores (D1 y D2). El distribuidor D2 tiene una capacidad de transporte diario de 20 litros de disolvente, mientras que el distribuidor D1 tiene el triple de capacidad. La empresa necesita al menos 50 litros de disolvente al día. La empresa quiere favorecer al distribuidor D1, por lo que quiere recibir al menos 30 litros diarios más desde D1 que desde D2.
La siguiente tabla recoge el coste y el nivel de contaminación asociados al transporte a la empresa desde los dos distribuidores:
| Coste de transporte (euros/litro) | Nivel de emisiones tóxicas (mg/litro) | |
|---|---|---|
| D1 | 0.8 | 0.06 |
| D2 | 1 | 0.02 |
Determine cuántos litros diarios deberá enviar cada distribuidor a la empresa si se desea minimizar el nivel de contaminación ambiental y no gastar más de 80 euros diarios en el transporte del disolvente.
i) (4 puntos) Plantee el problema.
ii) (4 puntos) Resuélvalo gráficamente e interprete la solución en el contexto del problema.
iii) (2 puntos) Analice gráficamente qué ocurriría si no se quisiera gastar más de 30 euros diarios en el transporte del disolvente.
EJERCICIO 3: Sea la función:
\[ f(x) = \begin{cases} -x^2 - 4 x & \text{si } x < -1 \\ 4 - x & \text{si } -1 \leq x < 1 \\ x^2 - 6 x + 8 & \text{si } x \geq 1 \end{cases} \]
i) (3 puntos) Estudie la continuidad de \( f(x) \), clasificando sus puntos de discontinuidad.
ii) (3 puntos) Estudie la derivabilidad de \( f(x) \).
iii) (4 puntos) Calcule \( \int_0^2 f(x) \, dx \).
EJERCICIO 4: La primera derivada de cierta función \( f(x) \) viene dada por \( f'(x) = x \cdot (x - 2)^2 \).
i) (3 puntos) Determine los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función \( f(x) \).
ii) (4 puntos) Determine los intervalos de concavidad y convexidad. ¿Para qué valores de \( x \) la función \( f(x) \) presenta puntos de inflexión?
iii) (3 puntos) Determine \( f(x) \) dado que \( f(0) = 5 \).
EJERCICIO 5: En una encuesta realizada a jóvenes universitarios sobre hábitos de estudio se ha observado que el 40% de los encuestados consulta libros en la biblioteca, el 55% consulta videos con tutoriales y el 15% consulta ambos formatos.
i) (3 puntos) Calcule la probabilidad de que un universitario consulte alguno de los dos formatos.
ii) (3 puntos) Calcule la probabilidad de que un universitario consulte solamente uno de los dos formatos.
iii) (4 puntos) Sabiendo que un universitario no consulta videos con tutoriales, calcule la probabilidad de que tampoco consulte libros.
EJERCICIO 6: El tiempo (en días) que los jóvenes de una región tardan en encontrar un trabajo relacionado con sus estudios universitarios sigue una distribución normal con varianza de 2500 días\(^2\). Se seleccionó una muestra de jóvenes universitarios, obteniéndose los siguientes días: 101, 200, 187, 69, 237, 125, 173, 235, 24, 60.
i) (5 puntos) Calcule un intervalo de confianza al 92% para el tiempo medio en encontrar ese tipo de trabajo. Interprete la solución en el contexto del problema.
ii) (5 puntos) Con los datos de esa muestra se ha calculado otro intervalo de confianza, con una amplitud de 68.62143 días. Calcule el nivel de confianza del nuevo intervalo, justificando su respuesta.
(Escriba las fórmulas necesarias y justifique las respuestas).
Curso 2023-2024 - Convocatoria extraordinaria
Instrucciones: Elija tres de los seis ejercicios siguientes. Cada ejercicio tiene una puntuación total de 10 puntos, distribuidos según se indica en cada apartado.
EJERCICIO 1: Considere las matrices \( \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} a & -4 & 0 \\ 0 & a & 1 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix} \), \( \boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \end{pmatrix} \) y \( \boldsymbol{C} = \begin{pmatrix} -1 & 5 & 1 \end{pmatrix} \).
i) (2 puntos) Determine los valores del parámetro \( \boldsymbol{a} \) para los cuales \( \boldsymbol{A} \) tiene inversa.
ii) (3 puntos) Para \( \boldsymbol{a} = 2 \), calcule la matriz inversa \( \boldsymbol{A}^{-1} \).
iii) (5 puntos) Para \( \boldsymbol{a} = 2 \), despeje y calcule la matriz \( \boldsymbol{X} \) que verifica la ecuación \( \boldsymbol{X} \boldsymbol{A} + \boldsymbol{I} = \boldsymbol{B}^t \cdot \boldsymbol{C} \), siendo \( \boldsymbol{I} \) la matriz identidad.
EJERCICIO 2: Una empresa dedicada a la comercialización de vino dispone de un terreno cultivable para plantar dos tipos de uva (negra y blanca). El beneficio anual por hectárea dedicada a la plantación de uva negra es de 10000 € y el de cada hectárea dedicada a la plantación de uva blanca es de 7000 €. Siguiendo las recomendaciones de las cooperativas del sector, la parte dedicada a la plantación de uva negra debe estar entre 10 y 25 hectáreas, y la parte dedicada a uva blanca entre 7 y 15 hectáreas. Además, se quiere dedicar a la uva negra no más del doble de hectáreas que a la uva blanca. Sabiendo que no puede cultivar más de 30 hectáreas en total, determine cuántas hectáreas dedicar a cada tipo de uva si se desea maximizar el beneficio anual.
i) (4 puntos) Plantee el problema.
ii) (4 puntos) Resuélvalo gráficamente e interprete la solución en el contexto del problema.
iii) (2 puntos) Analice gráficamente qué ocurriría si se eliminara la condición de que se quiere dedicar a la uva negra no más del doble de hectáreas que a la uva blanca.
EJERCICIO 3:
i) (5 puntos) Calcule las asíntotas de la función \( f(x) = \frac{3 x^2 + 1}{9 - x^2} \) y estudie la posición de la función respecto a ellas.
ii) (5 puntos) Calcule la primitiva \( F(x) \) de la función \( f(x) = \frac{2 x^3 - 3 x + 5}{x} \) que cumpla \( F(1) = 1 \).
EJERCICIO 4: En una empresa, el coste total de fabricación de \( x \) toneladas de un producto viene expresado, en euros, por la función \( C(x) = 2 x^2 + 4 x + 98 \). Suponga que se venden todas las toneladas que se fabrican y que cada tonelada del producto se vende por 40 euros. Responda a las siguientes cuestiones:
i) (3 puntos) Determine la función que expresa el beneficio (ingresos menos costes) obtenido en función de \( x \). ¿Cuál es el beneficio obtenido si se fabrican 6 toneladas del producto?
ii) (4 puntos) ¿Cuántas toneladas del producto deben fabricarse para que el beneficio sea máximo? ¿A cuánto asciende dicho beneficio?
iii) (3 puntos) ¿Para qué cantidad del producto se tienen pérdidas (beneficios negativos)?
EJERCICIO 5: En un centro escolar se pregunta a los estudiantes de una clase de 2º de bachillerato sobre el uso de los servicios sanitarios. Dos de cada cinco hombres y tres de cada cuatro mujeres han acudido a su centro de salud durante este curso.
i) (4 puntos) Se eligen al azar, de forma independiente, un hombre y una mujer de esa clase. Calcule la probabilidad de que al menos uno de ellos haya acudido a su centro de salud.
Se seleccionan tres estudiantes al azar sin reemplazamiento. Sabiendo que en la clase hay 20 mujeres y 10 hombres, responda a las dos siguientes cuestiones:
ii) (3 puntos) Calcule la probabilidad de que los tres sean hombres.
iii) (3 puntos) Calcule la probabilidad de que sólo haya una mujer.
EJERCICIO 6:
i) (5 puntos) Para analizar las preferencias musicales de los habitantes de una región, se realiza una encuesta a 175 adultos y 150 jóvenes. Cien adultos y el 80% de los jóvenes contestaron que no escuchan música clásica. Calcule un intervalo de confianza para la proporción de habitantes que escuchan música clásica, con un nivel de confianza del 93%. Interprete la solución en el contexto del problema. (Utilice cuatro decimales para los cálculos).
ii) (5 puntos) Dado el siguiente intervalo de confianza al 97% para la puntuación media de los estudiantes de bachiller en un test psicotécnico, \( [67.4050, 82.5950] \), determine el tamaño muestral utilizado, sabiendo que la varianza poblacional es 1225.
(Escriba las fórmulas necesarias y justifique las respuestas).