1. (2.5 puntos)

Los equipos A, B y C juegan un torneo de hockey. Al finalizar el torneo se han marcado 30 goles y el equipo \( B \) ha marcado el triple de goles que el equipo \( A \).

a) (1.5 puntos) Plantea un sistema de ecuaciones lineales que modelice el problema.

b) (0.5 puntos) Discute y resuelve el sistema cuando sea posible.

c) (0.5 puntos) Estudia si es posible que el equipo \( C \) haya marcado 5 goles. En caso de que este caso sea posible, ¿cuántos goles habrían marcado el resto de los equipos?

2. (2.5 puntos)

Sea \( a \in \mathbb{R} \), y \( P = \begin{pmatrix} 1 & -1 & a \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -2 \end{pmatrix} \).

a) (0.75 puntos) Calcula el determinante y el rango de \( P \) para cada valor de \( a \).

b) (1 punto) Para \( a = 1 \), ¿existe \( P^{-1} \)? En caso afirmativo, calcúlala.

c) (0.75 puntos) Tomando \( a = 1 \) y sabiendo que \( P M = M^2 \), sin calcular \( M \), calcula \( \det(M) \).

3. (2.5 puntos)

Se considera la función \( f(x) = 200 - \frac{200}{x + 6} - 2x \).

a) (1.5 puntos) Calcula su dominio, asíntotas y puntos críticos.

b) (0.5 puntos) Realiza un esbozo de su gráfica.

c) (0.5 puntos) Supongamos que la función representa la altura en metros a la que se encuentra un dron en cada instante \( x \), cuando \( x \in [0, 200] \). Legalmente, un dron no puede volar a más de 120 m del suelo, ¿es legal su vuelo?

4. (2.5 puntos)

Se tiene un abrevadero de longitud 6 m y altura 1 m. Su sección es la descrita en la figura (Ver figura al final del enunciado) formada por la función \( f(x) = x^2 \). \( h \) es la altura del líquido.

a) (1 punto) Comprueba que el área de la región \( S \), en función de \( h \), se puede representar como \( s(h) = \frac{4 h \sqrt{h}}{3} \).

b) (1.5 puntos) Determina \( h \) para alcanzar la mitad del volumen del abrevadero. (Volumen = \( S(h_{\max}) \times \text{longitud} \)).

5. (2.5 puntos)

Se quiere calcular el área de una parcela triangular. Las coordenadas de dos de sus vértices son \( A(0, 1, 0) \) y \( B(-1, 1, 1) \). El tercer vértice pertenece a la recta \( r = \left\{ \begin{array}{l} x = 4 \\ z = 1 \end{array} \right. \). Además, la recta que une \( A \) y \( C \) es perpendicular a la recta \( r \).

a) (1.25 puntos) Determina las coordenadas del vértice \( C \).

b) (1.25 puntos) Calcula el área de la parcela.

6. (2.5 puntos)

Dados los puntos \( A(2, 1, 0) \) y \( B(1, 0, -1) \), la recta \( r \) que pasa por ambos y la recta \( s = \left\{ \begin{array}{l} x + y = 2 \\ y + z = 0 \end{array} \right. \).

a) (1.25 puntos) Determina el punto \( C \) de la recta \( s \) tal que los vectores \( \overrightarrow{CA} \) y \( \overrightarrow{CB} \) sean perpendiculares.

b) (1.25 puntos) Estudia la posición relativa de las rectas.

7. (2.5 puntos)

Consideremos dos dados, uno normal con las caras numeradas del 1 al 6, y otro trucado, con cuatro caras con el número 5 y dos caras con el número 6. Se elige al azar uno de los dados y se lanza.

a) (1.25 puntos) Calcula la probabilidad de sacar un 5.

b) (1.25 puntos) Si el resultado de la tirada es 5, ¿cuál es la probabilidad de haber elegido el dado trucado?

8. (2.5 puntos)

Al 80% de los estudiantes de un centro les gusta el ciclismo; al 40% el baloncesto y al 30% ambos deportes.

a) (0.5 puntos) Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que le guste alguno de los dos deportes?

b) (1 punto) Se eligen 100 personas al azar con reemplazamiento. Calcula, aproximando la distribución por una normal, la probabilidad de que como mucho a 75 les guste el ciclismo.

c) (1 punto) Si en el apartado anterior se hubiesen tomado 10 personas y no 100, ¿cuál hubiese sido la probabilidad de que a 5 les gustase el fútbol?

Algunos valores de la distribución \( N(0,1) \): \( F(x) = P(Z \leq x) \), \( F(1.5) = 0.9332 \), \( F(1.375) = 0.9154 \), \( F(1.25) = 0.8944 \), \( F(1.125) = 0.8697 \), \( F(1) = 0.8413 \).

1. (2.5 puntos)

En una protectora de animales se dan tres tipos de alimentos a tres razas de perros distintas. Cada perro de la raza 1 consume, por semana, un promedio de 2 unidades del alimento A y 1 unidad del alimento C. Cada perro de la raza 2 consume, por semana, un promedio de 1 unidad del alimento A y 1 unidad del alimento C. El consumo semanal promedio de la raza 3 es de 3 unidades de alimento A, 1 unidad de alimento B y 3 unidades de alimento C. Cada semana se compran 410 unidades del alimento A, 30 unidades del alimento B y 310 del alimento C. Se supone que toda la comida que se proporciona se consume.

a) (0.75 puntos) Plantea un sistema de ecuaciones lineales que modele este problema y escríbelo matricialmente.

b) (1 punto) ¿Cuántos ejemplares de cada raza pueden coexistir en la protectora?

c) (0.75 puntos) Si la raza 2 consumiese 1 unidad del alimento B, ¿existiría otra distribución del número de ejemplares de cada raza que permitiese mantener las unidades compradas cada semana?

2. (2.5 puntos)

Sea \( x \in \mathbb{R} \) y las matrices \( A = \begin{pmatrix} -1 & -2 & -2 \\ -2 & -3 & 0 \\ 1 & 2 & x \end{pmatrix} \).

a) (1.5 puntos) Da el \( \text{rg}(A) \) según los valores de \( x \). Para \( x = 1 \), comprueba que existe \( A^{-1} \) y calcúlala.

b) (1 punto) Toma \( x = 1 \). Supongamos que \( B \) es una matriz \( 3 \times 3 \) con \( \det(B) = 5 \). Calcula \( \det(AB) \). Razona cuál debe ser el valor de \( \det\left(\frac{1}{5} AB\right) \).

3. (2.5 puntos)

Se considera la función \( f(x) = \frac{x - 4}{1 - x} \).

a) (1 punto) Calcula el dominio de la función \( f \) y sus asíntotas.

b) (1 punto) Halla, en caso de que existan, los máximos y mínimos y puntos de inflexión. Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

c) (0.5 puntos) Utilizando los apartados anteriores, realiza un esbozo de la gráfica de \( f \).

4. (2.5 puntos)

Dada la función \( f(x) = \sin\left(\frac{x}{2} - 2x\right) \).

a) (1.25 puntos) Calcula una primitiva que pase por el punto \( (0, 1) \).

b) (1.25 puntos) Calcula el área limitada por \( f \), el eje \( X \) y las rectas \( x = 0 \) y \( x = \frac{\pi}{2} \).

5. (2.5 puntos)

Dado el punto \( A = (0, -1, 1) \) y el plano \( \pi: x + y + z + 3 = 0 \).

a) (1.5 puntos) Calcula el punto \( B \) simétrico de \( A \) respecto de \( \pi \).

b) (1 punto) Calcula el área del triángulo plano cuyos vértices son \( A \), \( C = (-2, -3, 1) \) y el origen de coordenadas.

6. (2.5 puntos)

Se consideran los puntos \( A = (1, 1, 1) \), \( B = (1, 0, 2) \), \( C = (-1, 1, 3) \) y \( D = (-1, 0, 1) \).

a) (0.75 puntos) Estudia si existe un plano que contenga a los cuatro puntos.

b) (0.75 puntos) Calcula la recta \( r \) que pasa por \( D \) y es perpendicular al plano que contiene a \( A \), \( B \) y \( C \).

c) (1 punto) Calcula el punto \( P \) intersección de \( r \) y \( x + 1 = -y = z - 1 \) con \( x - y - z = 1 \) del apartado anterior.

7. (2.5 puntos)

En una empresa, el 55% de los trabajadores han hecho el curso 'ChatGPT'. El 30% de los trabajadores que han hecho este curso también han hecho el curso 'IA', el 40% de los que no han hecho el curso 'ChatGPT' han realizado el curso 'IA'.

a) (1.25 puntos) Tomado un trabajador al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya realizado el curso 'IA'?

b) (1.25 puntos) Si un trabajador elegido al azar no ha hecho el curso 'IA', ¿cuál es la probabilidad de que sí tenga el curso de 'ChatGPT'?

8. (2.5 puntos)

Una empresa cafetera realiza una encuesta a 10000 individuos sobre el tipo de café que compran. Los resultados son: 8000 dicen comprar café torrefacto, 4000 café natural y 3000 ambos tipos de café.

a) (0.5 puntos) Si se elige un individuo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que compre alguno de los dos tipos de café?

b) (1 punto) Se selecciona un individuo y se le pregunta si compra café natural. Se repite la operación 100 veces, pudiendo repetirse el individuo seleccionado. Calcule, aproximando por una distribución normal si fuese posible, la probabilidad de que no más de 50 individuos compren café natural.

c) (1 punto) Si en el apartado anterior sólo se seleccionasen 10 individuos, ¿cuál es la probabilidad de que 5 compren café natural?

Algunos valores de la función de distribución \( N(0,1) \) son: \( F(x) = P(Z \leq x) \), \( F(0) = 0.5 \), \( F(0.15) = 0.5596 \), \( F(2.0412) = 0.9793 \), \( F(0.9793) = 0.8340 \), \( F(0.5596) = 0.7112 \), \( F(0.6294) = 0.7356 \), \( F(0.8159) = 0.7939 \), \( F(0.9) = 0.8159 \), \( F(1.28) = 0.9 \).