PevAU 2025 Modelo de examen

2. (2,5 puntos)

Considera el plano \( \pi \), determinado por los puntos \( A(-1,0,0) \), \( B(0,1,1) \) y \( C(2,1,0) \), y la recta

\[ r = \left\{ \begin{array}{l} x - 2z - 3 = 0 \\ y - z - 2 = 0 \end{array} \right. \]

Halla los puntos de \( r \) cuya distancia a \( \pi \) es \( \sqrt{14} \) unidades.

PevAU 2025 Modelo de examen

3. (2,5 puntos)

Considera el paralelogramo cuyos vértices consecutivos son los puntos \( P(-1,2,3) \), \( Q(-2,1,0) \), \( R(0,5,1) \) y \( S \).

a) [1 punto] Halla las coordenadas del punto \( S \).

b) [1,5 puntos] Calcula la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular al plano que contiene a los puntos \( P \), \( Q \) y \( R \).

PevAU 2024 Extraordinaria

Ejercicio 7 (2.5 puntos)

Considera el plano \( \pi = x - 2 y + z - 2 = 0 \) y la recta \( r = \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2 \lambda \\ y = \lambda \\ z = 1 \end{array} \quad \lambda \in \mathbb{R} \right. \).
a) [1 punto] Estudia la posición relativa de \( \pi \) y \( r \).
b) [1.5 puntos] Calcula la ecuación de la recta contenida en \( \pi \) que pasa por el punto \( P(2, -1, -2) \) y es perpendicular a \( r \).

PevAU 2024 Extraordinaria

Ejercicio 8 (2.5 puntos)

Considera los puntos \( A(4, 0, 0) \) y \( B(0, 2, 0) \). Calcula los puntos del plano \( OXZ \) que forman un triángulo equilátero con \( A \) y \( B \).

PevAU 2024 Ordinaria

Ejercicio 7 (2.5 puntos)

a) [1.25 puntos] Halla el punto simétrico de \( P(2, 2, 1) \) respecto de la recta \( r = \left\{ \begin{array}{l} x - 2 y + z = 2 \\ y - z = 1 \end{array} \right. \).
b) [1.25 puntos] Halla el punto simétrico de \( Q(1, -1, -3) \) respecto del plano
\( \pi \equiv x - 2 y + z + 6 = 0 \).

PevAU 2024 Ordinaria

Ejercicio 8 (2.5 puntos)

Considera las rectas \( r \equiv \left\{ \begin{array}{l} y = 0 \\ 2 x - z = 0 \end{array} \right. \) y \( s \equiv \left\{ \begin{array}{l} x + y + 7 = 0 \\ z = 0 \end{array} \right. \).
a) [1 punto] Estudia la posición relativa de \( r \) y \( s \).
b) [1.5 puntos] Calcula la ecuación del plano paralelo a \( r \) y \( s \) que equidista de ambas rectas.

PevAU 2024 Ordinaria (suplente)

Ejercicio 7 (2.5 puntos)

Considera los puntos \( P(1, 0, 1) \) y \( Q(3, -2, 1) \).
a) [1 punto] Calcula el plano perpendicular al segmento \( PQ \) que pasa por su punto medio.
b) [1.5 puntos] Calcula el plano paralelo a la recta \( r = 1 - x = \frac{y - 2}{3} = z + 1 \) que pasa por \( P \) y \( Q \).

PevAU 2024 Ordinaria (suplente)

Ejercicio 8 (2.5 puntos)

Considera los puntos \( A(1, 1, 2) \), \( B(1, 0, 1) \) y \( C(1, -1, 2) \).
a) [1.25 puntos] Determina el área del triángulo de vértices \( A \), \( B \) y \( C \).
b) [1.25 puntos] Calcula \( D \) para que los puntos \( A \), \( B \), \( C \) y \( D \) sean los vértices consecutivos de un paralelogramo.

PevAU 2023 Extraordinaria

Ejercicio 7 (2.5 puntos)

Considera los planos \( \pi_1 \equiv x - y + z = 0 \) y \( \pi_2 \equiv x + y = 2 \).
a) [1.5 puntos] Calcula la distancia entre la recta intersección de \( \pi_1 \) y \( \pi_2 \) y el punto \( P(2, 6, -2) \).
b) [1 punto] Halla el ángulo que forman \( \pi_1 \) y \( \pi_2 \).

PevAU 2023 Extraordinaria

Ejercicio 8 (2.5 puntos)

Calcula el volumen del tetraedro que limita el plano determinado por los puntos \( A(0, 2, -2) \), \( B(3, 2, 1) \) y \( C(2, 3, 2) \) con los planos cartesianos.

PevAU 2023 Extraordinaria (suplente)

Ejercicio 7 (2.5 puntos)

Determina los puntos de la recta \( r = \left\{ \begin{array}{l} x - y + z = 0 \\ x + 3 y - 1 = 0 \end{array} \right. \) que son equidistantes de los planos \( OYZ \) y \( OXZ \).

PevAU 2023 Extraordinaria (suplente)

Ejercicio 8 (2.5 puntos)

Considera la recta \( r \equiv \left\{ \begin{array}{l} x - y + z = 1 \\ 3 x - 2 z = -2 \end{array} \right. \)
a) [1.5 puntos] Determina la ecuación del plano paralelo a \( r \) que contiene a la recta \( -x + 1 = y = \frac{z - 3}{2} \),
b) [1 punto] Calcula la distancia entre la recta \( r \) y el plano \( 2 x + 5 y + 3 z = 41 \).

PevAU 2023 Extraordinaria (reserva)

Ejercicio 7 (2.5 puntos)

Considera el plano \( \pi \), determinado por los puntos \( A(-1, 0, 0) \), \( B(0, 1, 1) \) y \( C(2, 1, 0) \), y la recta
\( r = \left\{ \begin{array}{l} x - 2 z - 3 = 0 \\ y - z - 2 = 0 \end{array} \right. \)
Halla los puntos de \( r \) cuya distancia a \( \pi \) es \( \sqrt{14} \) unidades.

PevAU 2023 Extraordinaria (reserva)

Ejercicio 8 (2.5 puntos)

Considera el paralelogramo cuyos vértices consecutivos son los puntos \( P(-1, 2, 3) \), \( Q(-2, 1, 0) \), \( R(0, 5, 1) \) y \( S \).
a) [1 punto] Halla las coordenadas del punto \( S \).
b) [1.5 puntos] Calcula la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular al plano que contiene a los puntos \( P \), \( Q \) y \( R \).

PevAU 2023 Ordinaria

Ejercicio 7 (2.5 puntos)

El plano perpendicular al segmento de extremos \( P(0, 3, 8) \) y \( Q(2, 1, 6) \) que pasa por su punto medio corta a los ejes coordenados en los puntos \( A \), \( B \) y \( C \). Halla el área del triángulo cuyos vértices son los puntos \( A \), \( B \) y \( C \).

PevAU 2023 Ordinaria

Ejercicio 8 (2.5 puntos)

Considera el punto \( A(-1, 1, 3) \) y la recta \( r \) determinada por los puntos \( B(2, 1, 1) \) y \( C(0, 1, -1) \).
a) [1.5 puntos] Halla la distancia del punto \( A \) a la recta \( r \).
b) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son \( A \), \( B \) y \( C \).

PevAU 2023 Ordinaria (suplente)

Ejercicio 7 (2.5 puntos)

Determina el punto simétrico de \( A(2, -4, -3) \) con respecto al plano que contiene a los puntos \( B(1, 1, 2) \), \( C(0, 1/3, 1) \) y \( D(-3, 0, 3) \).

PevAU 2023 Ordinaria (suplente)

Ejercicio 8 (2.5 puntos)

Dados los puntos \( O(0, 0, 0) \), \( A(2, -1, 0) \), \( B(3, 0, x) \) y \( C(-x, 1, -1) \), los vectores \( \overrightarrow{OA} \), \( \overrightarrow{OB} \) y \( \overrightarrow{OC} \) determinan un paralelepípedo.
a) [1.5 puntos] Calcula los posibles valores de \( x \) sabiendo que el volumen del paralelepípedo es 5 unidades cúbicas.
b) [1 punto] Para \( x = 1 \), halla el área de la cara del paralelepípedo que contiene a los vértices \( O \), \( A \) y \( B \).

PevAU 2023 Ordinaria (reserva)

Ejercicio 7 (2.5 puntos)

Considera los puntos \( A(1, -2, 3) \) y \( B(2, 0, -1) \).
a) [1.5 puntos] Halla los puntos que dividen el segmento \( AB \) en cuatro partes iguales.
b) [1 punto] Determina la ecuación del plano perpendicular al segmento \( AB \) que pasa por el punto medio de dicho segmento.

PevAU 2023 Ordinaria (reserva)

Ejercicio 8 (2.5 puntos)

Considera el plano \( \pi = x + y + z = 0 \) y la recta \( r = x - 1 = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{2} \). Halla la ecuación del plano \( \pi' \), paralelo a \( \pi \), tal que si \( Q \) y \( Q' \) son respectivamente los puntos de corte de la recta \( r \) con los planos \( \pi \) y \( \pi' \), entonces la distancia entre \( Q \) y \( Q' \) sea de 2 unidades.

PevAU 2022 Extraordinaria

Ejercicio 7 (2.5 puntos)

Considera las rectas \( r \equiv x + 1 = y - a = -z \) y \( s = \left\{ \begin{array}{l} x = 5 + 2 \lambda \\ y = -3 \\ z = 2 - \lambda \end{array} \right. \)
a) [1.5 puntos] Calcula \( a \) para que \( r \) y \( s \) se corten. Determina dicho punto de corte.
b) [1 punto] Halla la ecuación del plano que pasa por \( P(8, -7, 2) \) y que contiene a la recta \( s \).

PevAU 2022 Extraordinaria

Ejercicio 8 (2.5 puntos)

Sea el plano \( \pi = x + y - z = 2 \) y la recta \( r = x = \frac{y}{3} = z - 1 \).
a) [0.75 puntos] Calcula, si existe, el punto de intersección de \( \pi \) y \( r \).
b) [1.75 puntos] Dado el punto \( Q(2, 6, 3) \), halla su simétrico respecto del plano \( \pi \).

PevAU 2022 Extraordinaria (suplente)

Ejercicio 7 (2.5 puntos)

Sea el plano \( \pi = 2 x + y - 2 z - 2 = 0 \).
a) [1.5 puntos] Halla las ecuaciones de los planos paralelos a \( \pi \) que distan 2 unidades de dicho plano.
b) [1 punto] Calcula el volumen del tetraedro cuyos vértices son el origen de coordenadas y los puntos de corte del plano \( \pi \) con los ejes coordenados.

PevAU 2022 Extraordinaria (suplente)

Ejercicio 8 (2.5 puntos)

Considera las rectas \( r \equiv x = 1 - y = z \) y \( s \equiv \left\{ \begin{array}{l} x + y - 3 z = 4 \\ 3 x - y + z = -2 \end{array} \right. \).
a) [1.5 puntos] Estudia la posición relativa de \( r \) y \( s \).
b) [1 punto] Calcula la ecuación del plano que contiene a \( s \) y es paralelo a \( r \).

PevAU 2022 Extraordinaria (reserva)

Ejercicio 7 (2.5 puntos)

Considera el triángulo cuyos vértices son los puntos \( A(0, 2, 3) \), \( B(m, 0, 1) \) y \( C(2, 1, 2) \).
a) [1.5 puntos] Halla los valores de \( m \), sabiendo que el área del triángulo es \( \frac{\sqrt{18}}{2} \) unidades cuadradas.
b) [1 punto] Para \( m = 0 \), calcula el coseno del ángulo en el vértice \( A \) de dicho triángulo.

PevAU 2022 Extraordinaria (reserva)

Ejercicio 8 (2.5 puntos)

Considera el punto \( P(2, 0, -4) \) y el plano \( \pi \equiv \left\{ \begin{array}{l} x = 9 \alpha + 3 \beta \\ y = -1 + 2 \alpha \\ z = 3 + 4 \alpha + \beta \end{array} \right. \).
a) [1.75 puntos] Halla el punto simétrico del punto \( P \) respecto del plano \( \pi \).
b) [0.75 puntos] Calcula la distancia del punto \( P \) al plano \( \pi \).

PevAU 2022 Ordinaria (reserva)

Ejercicio 7 (2.5 puntos)

Considera las rectas \( r \equiv \left\{ \begin{array}{l} x = 0 \\ z = 0 \end{array} \right. \) y \( s \equiv \left\{ \begin{array}{l} x + y = 1 \\ x - y = 1 \end{array} \right. \).
a) [1.5 puntos] Determina la ecuación del plano que contiene a \( r \) y es paralelo a \( s \).
b) [1 punto] Determina la ecuación del plano que contiene a \( r \) y es perpendicular a \( s \).

PevAU 2022 Ordinaria (reserva)

Ejercicio 8 (2.5 puntos)

Considera los planos \( \pi_1 = x + y + 2 = 0 \) y \( \pi_2 \equiv x - z - 1 = 0 \), así como la recta \( r = \left\{ \begin{array}{l} 2 x + z = 1 \\ y = 1 \end{array} \right. \).
a) [1.5 puntos] Calcula los puntos de la recta \( r \) que equidistan de los planos \( \pi_1 \) y \( \pi_2 \).
b) [1 punto] Halla el ángulo que forman los planos \( \pi_1 \) y \( \pi_2 \).

PevAU 2021 Extraordinaria

Ejercicio 7 (2.5 puntos)

La recta perpendicular desde el punto \( A(1, 1, 0) \) a un cierto plano \( \pi \) corta a éste en el punto \( B = \left(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) \).
a) [1.5 puntos] Calcula la ecuación del plano \( \pi \).
b) [1 punto] Halla la distancia del punto \( A \) a su simétrico respecto a \( \pi \).

PevAU 2021 Extraordinaria

Ejercicio 8 (2.5 puntos)

Considera las rectas
\( r = \left\{ \begin{array}{l} x = 3 + \lambda \\ y = 1 \\ z = -3 - \lambda \end{array} \right. \) y \( s = \left\{ \begin{array}{l} x + y = 1 \\ z = 0 \end{array} \right. \)
a) [1.25 puntos] Estudia la posición relativa de \( r \) y \( s \).
b) [1.25 puntos] Halla la recta que corta perpendicularmente a \( r \) y a \( s \).

PevAU 2021 Extraordinaria (suplente)

Ejercicio 7 (2.5 puntos)

Considera el punto \( P(1, 0, 1) \) y el plano \( \pi \equiv x - y + z + 1 = 0 \).
a) [1.25 puntos] Halla el simétrico del punto \( P \) respecto al plano \( \pi \).
b) [1.25 puntos] Halla la distancia del punto \( P \) al plano \( \pi \).

PevAU 2021 Extraordinaria (suplente)

Ejercicio 8 (2.5 puntos)

Considera las rectas
\( r = \frac{x - 2}{-2} = y - 1 = \frac{z}{-2} \) y \( s = \left\{ \begin{array}{l} x + 2 y = 3 \\ 2 y + z = 2 \end{array} \right. \)
a) [1.25 puntos] Estudia la posición relativa de \( r \) y \( s \).
b) [1.25 puntos] Calcula, si es posible, el plano que contiene a \( r \) y a \( s \).

PevAU 2021 Extraordinaria (reserva)

Ejercicio 7 (2.5 puntos)

Considera el punto \( P(1, 2, 6) \) y el plano \( \pi = 2 x - y + z = 0 \).
a) [1.25 puntos] Halla las ecuaciones de los planos paralelos a \( \pi \) cuya distancia a éste sea \( \sqrt{6} \) unidades.
b) [1.25 puntos] Halla el simétrico del punto \( P \) respecto al plano \( \pi \).

PevAU 2021 Extraordinaria (reserva)

Ejercicio 8 (2.5 puntos)

Considera los puntos \( B(-1, 0, -1) \), \( C(0, 1, -3) \) y la recta \( r \equiv \left\{ \begin{array}{l} x = -\lambda \\ y = 1 + 2 \lambda \\ z = -1 + \lambda \end{array} \right. \).
a) [1.25 puntos] Calcula un punto que esté en \( r \) y equidiste de \( B \) y \( C \).
b) [1.25 puntos] Siendo \( D(1, -1, -2) \), calcula el área del triángulo con vértices en los puntos \( B \), \( C \) y \( D \).

PevAU 2021 Ordinaria

Ejercicio 7 (2.5 puntos)

Considera las rectas
\( r = \left\{ \begin{array}{l} 2 x - 3 y + z - 2 = 0 \\ -3 x + 2 y + 2 z + 1 = 0 \end{array} \right. \) y \( s = \left\{ \begin{array}{l} x = 3 - 2 \lambda \\ y = -1 + \lambda \\ z = -2 + 2 \lambda \end{array} \right. \)
a) [1.5 puntos] Calcula el plano perpendicular a la recta \( s \) que pasa por el punto \( P(1, 0, -5) \).
b) [1 punto] Calcula el seno del ángulo que forma la recta \( r \) con el plano \( \pi = -2 x + y + 2 z = 0 \).

PevAU 2021 Ordinaria

Ejercicio 8 (2.5 puntos)

La recta \( r = \frac{x + 3}{2} = \frac{y + 4}{2} = \frac{z - 3}{3} \) y la recta \( s \), que pasa por los puntos \( P(1, 0, 2) \) y \( A(a, 1, 0) \), se cortan en un punto. Calcula el valor de \( a \) y el punto de corte.

PevAU 2021 Ordinaria (suplente)

Ejercicio 7 (2.5 puntos)

Considera las rectas
\( r = \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 3 \lambda \\ y = -1 + 2 \lambda \\ z = 3 + \lambda \end{array} \right. \) y \( s = \left\{ \begin{array}{l} 2 x - y - 2 = 0 \\ y + 2 z - 4 = 0 \end{array} \right. \)
a) [1.5 puntos] Halla el plano que contiene a \( r \) y es paralelo a \( s \).
b) [1 punto] Deduce razonadamente que ningún plano perpendicular a \( s \) contiene a \( r \).

PevAU 2021 Ordinaria (suplente)

Ejercicio 8 (2.5 puntos)

Considera los puntos \( A(1, 2, 3) \), \( B(-2, 4, -3) \) y \( C(-10, 1, 0) \).
a) [1.25 puntos] Halla el área del triángulo de vértices \( A \), \( B \) y \( C \).
b) [1.25 puntos] Halla el plano que equidista de \( A \) y \( B \).

PevAU 2021 Ordinaria (reserva)

Ejercicio 7 (2.5 puntos)

Considera las rectas
\( r \equiv \frac{x}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 1}{1} \) y \( s \equiv \left\{ \begin{array}{l} x - y + z = 2 \\ 3 x - y - z = -4 \end{array} \right. \)
Sabiendo que dos de los lados de un cuadrado están en las rectas \( r \) y \( s \), calcula su área.

PevAU 2021 Ordinaria (reserva)

Ejercicio 8 (2.5 puntos)

Considera las rectas
\( r = \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 2 + m \lambda \end{array} \right. \) y \( s = \left\{ \begin{array}{l} x - y + 2 z = 3 \\ x + z = 2 \end{array} \right. \)
a) [1.5 puntos] Estudia la posición relativa de \( r \) y \( s \) según los valores de \( m \).
b) [1 punto] Para \( m = 1 \), calcula el coseno del ángulo que forman las rectas \( r \) y \( s \).

PevAU 2020 Extraordinaria

EJERCICIO 4 (2.5 puntos)

Considera el plano \( \pi: x - y + a z = 0 \) y la recta \( r = \left\{ \begin{array}{l} 4 x - 3 y + 4 z = 1 \\ 3 x - 2 y + z = 0 \end{array} \right. \)
a) Halla \( a \) sabiendo que \( \pi \) es paralelo a \( r \). (1.5 puntos)
b) Determina el plano perpendicular a \( r \) que pasa por el punto \( P(1, 2, 3) \). (1 punto)

PevAU 2020 Extraordinaria

EJERCICIO 8 (2.5 puntos)

Considera el plano \( \pi: x - y + z = 2 \) y la recta \( r \equiv \frac{x}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z + 2}{-1} \).
a) Calcula la distancia entre \( r \) y \( \pi \). (1 punto)
b) Halla la ecuación general del plano perpendicular a \( \pi \) que contiene a \( r \). (1.5 puntos)

PevAU 2020 Ordinaria

EJERCICIO 4 (2.5 puntos)

Siendo \( a \neq 0 \), considera las rectas
\( r \equiv x - 1 = y - 2 = \frac{z - 1}{a} \) y \( s \equiv \frac{x - 3}{-a} = \frac{y - 3}{-1} = \frac{z + 1}{2} \)
a) Estudia la posición relativa de ambas rectas según los valores de \( a \). (1.25 puntos)
b) Para \( a = 2 \), determina las ecuaciones de la recta que pasa por el punto de corte de \( r \) y \( s \) y es perpendicular a ambas. (1.25 puntos)

PevAU 2020 Ordinaria

EJERCICIO 8 (2.5 puntos)

Se considera el punto \( A(1, -2, 0) \) y la recta \( r = \left\{ \begin{array}{l} x + y = 0 \\ y - 3 z + 2 = 0 \end{array} \right. \)
a) Calcula la ecuación del plano que pasa por \( A \) y es perpendicular a \( r \). (1.25 puntos)
b) Calcula la ecuación del plano que pasa por \( A \) y contiene a \( r \). (1.25 puntos)

PevAU 2020 Modelo 1

EJERCICIO 4 (2.5 puntos)

Considera el tetraedro de vértices \( A(0, 0, 0) \), \( B(1, 1, 0) \), \( C(0, 1, 3) \) y \( D(1, 0, 3) \).
a) Calcula el volumen de dicho tetraedro. (1 punto)
b) Calcula la medida de la altura trazada desde el vértice \( A \) de dicho tetraedro. (1.5 puntos)

PevAU 2020 Modelo 1

EJERCICIO 8 (2.5 puntos)

Considera los puntos \( A(-1, 3, 2) \), \( B(2, -1, -1) \) y \( C(a - 2, 7, b) \).
a) Determina \( a \) y \( b \) para que los puntos \( A \), \( B \) y \( C \) estén alineados. (1.25 puntos)
b) En el caso \( a = b = 1 \), halla la recta que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular al plano que contiene a los puntos \( A \), \( B \) y \( C \). (1.25 puntos)

PevAU 2020 Modelo 2

EJERCICIO 4 (2.5 puntos)

Considera el punto \( P(1, 0, -1) \) y la recta \( r \equiv \left\{ \begin{array}{l} x - y + 2 z = 5 \\ x - z = 1 \end{array} \right. \)
a) Determina el punto simétrico de \( P \) respecto de la recta \( r \). (1.5 puntos)
b) Calcula el punto de la recta \( r \) que dista \( \sqrt{6} \) unidades de \( P \). (1 punto)

PevAU 2020 Modelo 2

EJERCICIO 8 (2.5 puntos)

Considera los vectores \( \bar{u} = (2, 1, 0) \), \( \bar{v} = (1, 0, -1) \) y \( \bar{w} = (a, b, 1) \).
a) Halla \( a \) y \( b \) sabiendo que los tres vectores son linealmente dependientes y que \( \bar{w} \) es ortogonal a \( \bar{u} \). (1.5 puntos)
b) Para \( a = 1 \), calcula el valor o valores de \( b \) para que el volumen del paralelepípedo formado por dichos vectores sea de 6 unidades cúbicas. (1 punto)

PevAU 2020 Modelo 3

EJERCICIO 4 (2.5 puntos)

Considera los puntos \( A(t, 2, -1) \), \( B(0, 1, 1) \), \( C(-1, 0, 2) \) y \( D(2, 3, -t - 1) \).
a) Calcula el valor o valores de \( t \) para que el volumen del tetraedro de vértices \( A \), \( B \), \( C \), \( D \) sea 5 unidades cúbicas. (1.25 puntos)
b) Para \( t = 0 \), calcula la distancia del punto \( A \) a la recta determinada por los puntos \( B \) y \( C \). (1.25 puntos)

PevAU 2020 Modelo 3

EJERCICIO 8 (2.5 puntos)

Considera el punto \( A(0, 1, -2) \) y los planos \( \pi_1 \equiv 2 x - y - z + 5 = 0 \) y \( \pi_2 \equiv x + 5 y - 6 z - 4 = 0 \).
a) Halla el punto simétrico de \( A \) respecto de \( \pi_1 \). (1.5 puntos)
b) Determina la recta que pasa por \( A \) y es paralela a \( \pi_1 \) y \( \pi_2 \). (1 punto)

PevAU 2020 Modelo 5

EJERCICIO 4 (2.5 puntos)

Considera los puntos \( A(1, 0, 1) \), \( B(-1, 0, 2) \) y \( O(0, 0, 0) \), y la recta \( r = \left\{ \begin{array}{l} x = -1 - \lambda \\ y = \lambda \\ z = 2 \end{array} \right. \)
a) Calcula la distancia del punto \( A \) a la recta \( r \). (1.5 puntos)
b) Determina el área del triángulo de vértices \( A \), \( B \) y \( O \). (1 punto)

PevAU 2020 Modelo 5

EJERCICIO 8 (2.5 puntos)

Considera el plano \( \pi: 2 x - y + z - 3 = 0 \), la recta \( r = \left\{ \begin{array}{l} x = 3 + \lambda \\ y = 1 - 2 \lambda \\ z = -2 - \lambda \end{array} \right. \) y el punto \( P(1, 1, 2) \).
a) Determina la ecuación general del plano perpendicular a \( \pi \), paralelo a \( r \) y que pasa por el punto \( P \). (1.25 puntos)
b) Calcula el punto simétrico de \( P \) respecto de la recta \( r \). (1.25 puntos)

PevAU 2019 Extraordinaria

Ejercicio 4 (2.5 puntos)

Se consideran los vectores \( \vec{u} = (1, 2, 3) \), \( \vec{v} = (1, -2, -1) \), \( \vec{w} = (2, \alpha, \beta) \), donde \( \alpha \) y \( \beta \) son números reales.
a) Determina los valores de \( \alpha \) y \( \beta \) para los que \( \vec{w} \) es ortogonal a los vectores \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \). (0.75 puntos)
b) Determina los valores de \( \alpha \) y \( \beta \) para los que \( \vec{v} \) y \( \vec{w} \) tengan la misma dirección. (0.75 puntos)
c) Para \( \alpha = 8 \), determina el valor de \( \beta \) para el que \( \vec{w} \) es combinación lineal de \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \). (1 punto)

PevAU 2019 Extraordinaria

Ejercicio 4 (2.5 puntos)

Considera las rectas \( r = \frac{x - 2}{1} = \frac{y - k}{2} = \frac{z}{2} \) y \( s = \frac{x + 1}{-1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 3}{1} \).
a) Halla \( k \) sabiendo que ambas rectas se cortan en un punto. (1.25 puntos)
b) Para \( k = 1 \), halla la ecuación general del plano que contiene a \( r \) y es paralelo a \( s \). (1.25 puntos)

PevAU 2019 Ordinaria

Ejercicio 4 (2.5 puntos)

Considera la recta \( r = \frac{x - 2}{-1} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 1}{1} \) y los planos \( \pi_1 \equiv x = 0 \) y \( \pi_2 \equiv y = 0 \).
a) Halla los puntos de la recta \( r \) que equidistan de los planos \( \pi_1 \) y \( \pi_2 \). (1.25 puntos)
b) Determina la posición relativa de la recta \( r \) y la recta intersección de los planos \( \pi_1 \) y \( \pi_2 \). (1.25 puntos)

PevAU 2019 Ordinaria

Ejercicio 4 (2.5 puntos)

Considera el triángulo cuyos vértices son los puntos \( A(1, 1, 0) \), \( B(1, 0, 2) \) y \( C(0, 2, 1) \).
a) Halla el área de dicho triángulo. (1.25 puntos)
b) Calcula el coseno del ángulo en el vértice \( A \). (1.25 puntos)

PevAU 2018 Extraordinaria

Ejercicio 4 (2.5 puntos)

Considera las rectas
\( r \equiv \frac{x + 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{3} \) y \( s \equiv \left\{ \begin{array}{l} 2 x - 3 y = -5 \\ y - 2 z = -1 \end{array} \right. \)
a) Estudia y determina la posición relativa de \( r \) y \( s \). (1 punto)
b) Calcula la distancia entre \( r \) y \( s \). (1.5 puntos)

PevAU 2018 Extraordinaria

Ejercicio 4 (2.5 puntos)

Considera las rectas
\( r = \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{m} = z \) y \( s = \left\{ \begin{array}{l} x + n z = -2 \\ y - z = -3 \end{array} \right. \)
a) Halla los valores de \( m \) y \( n \) para que \( r \) y \( s \) se corten perpendicularmente. (1.5 puntos)
b) Para \( m = 3 \) y \( n = 1 \), calcula la ecuación general del plano que contiene a \( r \) y a \( s \). (1 punto)

PevAU 2018 Ordinaria

Ejercicio 4 (2.5 puntos)

Considera los puntos \( P(1, 0, -1) \), \( Q(2, 1, 1) \) y la recta \( r \) dada por \( x - 5 = y = \frac{z + 2}{-2} \).
a) Determina el punto simétrico de \( P \) respecto a \( r \). (1.25 puntos)
b) Calcula el punto de \( r \) que equidista de \( P \) y \( Q \). (1.25 puntos)

PevAU 2018 Ordinaria

Ejercicio 4 (2.5 puntos)

Considera el punto \( P(2, -1, 3) \) y el plano \( \pi \) de ecuación \( 3 x + 2 y + z = 5 \).
a) Calcula el punto simétrico de \( P \) respecto de \( \pi \). (1.75 puntos)
b) Calcula la distancia de \( P \) a \( \pi \). (0.75 puntos)

PevAU 2017 Extraordinaria

Ejercicio 4 (2.5 puntos)

Los puntos \( A(1, 1, 1) \), \( B(2, 2, 2) \) y \( C(1, 3, 3) \) son vértices consecutivos del paralelogramo \( ABCD \).
a) Calcula el área del paralelogramo. (1 punto)
b) Halla la ecuación general del plano que contiene a dicho paralelogramo. (1 punto)
c) Calcula las coordenadas del vértice \( D \). (0.5 puntos)

PevAU 2017 Extraordinaria

Ejercicio 4 (2.5 puntos)

Considera el punto \( P(0, 1, 1) \) y la recta \( r \) dada por \( \left\{ \begin{array}{c} x - 2 y = -5 \\ z = 2 \end{array} \right. \)
a) Determina la ecuación del plano que pasa por \( P \) y contiene a \( r \). (1.25 puntos)
b) Halla las coordenadas del punto simétrico de \( P \) respecto de \( r \). (1.25 puntos)

PevAU 2017 Ordinaria

Ejercicio 4 (2.5 puntos)

Considera el punto \( P(1, -1, 0) \) y la recta \( r \) dada por \( \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 3 t \\ y = -2 \\ z = t \end{array} \right. \)
a) Determina la ecuación del plano que pasa por \( P \) y contiene a \( r \). (1.25 puntos)
b) Halla las coordenadas del punto simétrico de \( P \) respecto de \( r \). (1.25 puntos)

PevAU 2017 Ordinaria

Ejercicio 4 (2.5 puntos)

Considera los vectores \( \vec{u} = (1, 0, 1) \), \( \vec{v} = (0, 2, 1) \) y \( \vec{w} = (m, 1, n) \).
a) Halla \( m \) y \( n \) sabiendo que \( \vec{u} \), \( \vec{v} \) y \( \vec{w} \) son linealmente dependientes y que \( \vec{w} \) es ortogonal a \( \vec{u} \). (1.25 puntos)
b) Para \( n = 1 \), halla los valores de \( m \) para que el tetraedro determinado por \( \vec{u} \), \( \vec{v} \) y \( \vec{w} \) tenga volumen 10 unidades cúbicas. (1.25 puntos)