APARTADO 1 [3 puntos]

Opción A

Dadas las matrices \( A=\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \) y \( B=\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right) \)

1) Se pide hallar la matriz \( X \) que satisface la ecuación \( X^{-1} A + A = B \).

2) Se pide hallar la matriz \( Y \) que satisface la ecuación \( A Y A^{-1} = I \).

Opción B

La editorial "EcoReads", comprometida con la sostenibilidad ambiental, planea lanzar dos nuevas líneas de libros: una serie de guías prácticas sobre sostenibilidad y una colección de libros de cocina vegetariana. Cada guía práctica genera un beneficio de 5 € y cada libro de cocina vegetariana aporta un beneficio de 4 €. Para la producción de estos libros, la editorial emplea dos tipos de papel ecológico: papel reciclado de alta calidad y papel de fibras de bambú. La impresión de una guía requiere \( 60 g \) de papel reciclado y \( 20 g \) de papel de bambú, mientras que cada libro de cocina vegetariana necesita \( 70 g \) de papel reciclado y \( 10 g \) de papel de bambú. La editorial tiene a su disposición \( 4000 g \) de papel reciclado y \( 800 g \) de papel de bambú para su próxima producción. Además, para garantizar una diversificación del catálogo, la editorial decide que se deben publicar al menos 10 libros de cocina vegetariana.

1) Plantee la función objetivo y el conjunto de restricciones que describen el problema.

2) Dibuje la región factible en el plano, calculando sus vértices.

3) ¿Cuántos ejemplares de cada colección debería publicar la editorial para maximizar sus beneficios?

4) ¿A cuánto asciende dicho beneficio?

APARTADO 2 [4 puntos]

Dada la función \( f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} a x^2 - 4, & \text { si } x \leq -1 \\ x^3 - x + 3, & \text { si } -1 < x \leq 2 \\ \frac{x + 3 b - 2}{x - 1}, & \text { si } x > 2 \end{array} \right. \)

1) Determine los valores de los parámetros \( a \) y \( b \) para los cuales la función es continua en todo su dominio.

2) Utilizando los valores de los parámetros \( a \) y \( b \) del apartado anterior, analice si la función \( f(x) \) es creciente o decreciente en el intervalo \( (2,+\infty) \).

3) Calcule la integral definida \( I = \int_0^2 f(x) \, dx \).

APARTADO 3 [3 puntos]

Opción A

Un profesor ha determinado que el tiempo que sus estudiantes tardan en completar un examen sigue una distribución normal con una desviación típica de 10 minutos. De una muestra de 100 estudiantes seleccionados al azar, se calcula un tiempo medio de 90 minutos por examen.

1) Calcule el intervalo de confianza del \( 93\% \) para el tiempo medio que los estudiantes tardan en completar el examen.

2) ¿Cuál es el número mínimo de estudiantes que habría que considerar para que el error al estimar el tiempo medio de completar el examen, con un nivel de confianza del \( 97\% \), sea de 2 minutos?

Opción B

En un instituto, se sabe que el \( 45\% \) de los estudiantes practican algún deporte, el \( 30\% \) participan en actividades artísticas y el \( 25\% \) están involucrados en actividades de voluntariado. Además, se sabe que el \( 60\% \) de los estudiantes que practican deportes, el \( 40\% \) de los que participan en actividades artísticas y el \( 20\% \) de los que están involucrados en actividades de voluntariado también son miembros del consejo estudiantil. Si se escoge al azar un estudiante:

1) ¿Cuál es la probabilidad de que practique deporte y sea miembro del consejo estudiantil?

2) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante participe en actividades artísticas y no sea miembro del consejo estudiantil?

3) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante sea miembro del consejo estudiantil?

4) Si un estudiante no es miembro del consejo estudiantil, ¿cuál es la probabilidad de que participe en actividades de voluntariado?