Parte A. Contestar el Problema A1, y contestar también un problema a elegir entre el Problema A2 y el Problema A3 (total 4 puntos).

Problema A1 (obligatorio). En una navegación marítima, considera los sucesos:

\[ A: \text{hemos avistado algún albatros, y} \\ B: \text{hemos avistado alguna ballena.} \]

Sabemos que \(P(A) = 0.75\) y que \(P(A \cup B) = 0.77\).

a) Dados los valores de \(P(A)\) y \(P(A \cup B)\) indicados arriba, es imposible que \(P(B) = 0.01\). Justifícalo. (1 punto)

b) Teniendo en cuenta que \(0 \leq P(A \cap B) \leq 1\), ¿cuál es la máxima y la mínima probabilidad de avistar ballenas en esta situación? (1 punto)

Problema A2. Una empresa que fabrica componentes electrónicos realiza un estudio sobre la vida útil de sus productos. Con una muestra aleatoria de 50 componentes electrónicos, el tiempo medio de vida útil es de 507 horas. Supongamos que el tiempo de vida útil sigue una distribución normal y que su desviación típica es conocida e igual a 150 horas.

Calcula un intervalo de confianza para la media poblacional de la vida útil de los componentes con un nivel de confianza del 75%. (2 puntos)

Problema A3. Un estudio de mercado indica que unos clientes determinados tienen un 7% de probabilidades de comprar un producto A, y un 10% de probabilidades de comprar un producto B.

a) Si la probabilidad de "comprar A y no comprar B" es del 6%, ¿son los sucesos "comprar A" y "comprar B" independientes? (1 punto)

b) Si los sucesos "comprar A" y "comprar B" fueran independientes, ¿qué sería mayor: la probabilidad de "no comprar A"; o la probabilidad de "no comprar A, sabiendo que se ha comprado B"? (1 punto)

Parte B. Escoger sólo un problema de esta parte (total 3 puntos).

Problema B1. Considera las siguientes matrices:

\[ I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -5 & -3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 8 \\ x & y \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 2 & z \\ 7 & -1 \end{pmatrix} \]

a) Sabemos que existe un valor \(x\) tal que \(B\) es la inversa de \(A\). ¿Cuál es este valor \(x\)? (1 punto)

b) Para el valor \(x\) del apartado anterior, calcula \((A + I)(B - I) + (A - I)(B + I)\). (1 punto)

c) ¿Existen algunos valores para \(y\), \(z\) de manera que \(C\) sea la inversa de \(A\)? (1 punto)

Problema B2. Una empresa produce dos tipos de productos: aspiradoras y baterías eléctricas.

Para producir una aspiradora, necesitamos 5 horas de un operario y 4 kg de materias primas.

Para producir una batería, necesitamos 1 hora de un operario y 1 kg de materias primas.

Cada aspiradora se vende por 100 €, y cada batería, por 22 €. Disponemos de un máximo de 110 horas de operarios y de 100 kg de materias primas. Supondremos que venderemos toda la producción. ¿Cuántas unidades de cada tipo debemos producir para maximizar los ingresos? (3 puntos)

Parte C. Escoger sólo un problema de esta parte (total 3 puntos).

Problema C1. Considera la función \(f(x) = e^x - e^{-x}\), para \(x \geq 0\).

a) Calcula el valor de la función en los extremos del dominio. (1 punto)

b) Calcula \(f'(x)\) y \(f''(x)\). (1 punto)

c) Calcula \(\int_{0}^{1} f(x) \, dx\). (1 punto)

Problema C2. Según un estudio de mercado, la cantidad de gente que asistirá a un espectáculo, \(g\) (en número de personas), en función del precio de la entrada, \(p\) (en €), será la siguiente:

\[ g(p) = \begin{cases} 500, & \text{para } p = 0, \\ 300 - 3p, & \text{para } 0 < p < 100, \\ 0, & \text{para } p = 100. \end{cases} \]

a) Según el estudio de mercado, ¿con qué precio asistirán al espectáculo un total de 240 personas? (1 punto)

b) Los ingresos son el producto del precio por la cantidad de gente que asistirá. Según el estudio, ¿qué precio maximiza los ingresos? (2 puntos)