Se consideran las matrices \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & m \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \) y \( B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ m & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \), donde \( m \) es un número real. Encuentra los valores de \( m \) para los que \( A \cdot B \) tiene inversa.

Determina para qué valores del parámetro \( m \) el sistema es compatible determinado y resuélvelo para esos valores.

\[ \begin{cases} x + 2y - z = 0 \\ mx + y + z = 1 \\ x + y + mz = 1 \end{cases} \]

Se consideran los puntos \( A(0, 5, 3) \), \( B(0, 6, 4) \), \( C(2, 4, 2) \) y \( D(2, 3, 1) \), y se pide:

a) [1 punto] Comprobar que los cuatro puntos son coplanarios.

b) [1 punto] Demostrar que es un paralelogramo y calcular su área.

Considere el plano \( \pi: 2x + y - z = 1 \) y el punto \( A(1, 0, -1) \), se pide:

a) [1 punto] Calcule la recta perpendicular a \( \pi \) que pasa por el punto \( A \).

b) [1 punto] Calcule el punto del plano \( \pi \) que está más cerca de \( A \).

Sea la función \( f(x) = \frac{x^2}{1 - x} \), se pide:

a) [1,5 puntos] Estudiar las asíntotas, monotonía y puntos extremos de \( f(x) \).

b) [0,5 puntos] Con los datos obtenidos, representar de forma aproximada la gráfica de \( f(x) \).

Considere la función:

\[ f(x) = \begin{cases} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{x \cdot \cos x} & \text{si } x < 0 \\ b(x + 1) & \text{si } x \geq 0 \end{cases} \]

Calcule el valor de \( b \) para que \( f(x) \) sea continua en \( x = 0 \).

Calcula la siguiente integral:

\[ \int \frac{x - 4}{x^2 + 2x} \, dx \]

Calcule el área del recinto plano limitado por \( h(x) = x^3 - x \) y el eje OX.

Los operarios \( A \), \( B \) y \( C \) producen, respectivamente, el \( 50\% \), el \( 30\% \) y el \( 20\% \) de las resistencias que se utilizan en un laboratorio de electrónica. Resultan defectuosas el \( 6\% \) de las resistencias producidas por \( A \), el \( 5\% \) de las producidas por \( B \) y el \( 3\% \) de las producidas por \( C \). Si se selecciona al azar una resistencia, se pide:

a) [1 punto] Calcular la probabilidad de que sea defectuosa.

b) [1 punto] Si es defectuosa, calcular la probabilidad de que proceda del operario \( A \).

Un equipo de cirujanos infantiles ha comprobado que en cierta intervención quirúrgica hay un \( 15\% \) de posibilidades de que se produzcan complicaciones si el niño tiene menos de 2 años. Un total de 10 niños menores de dos años fueron sometidos a dicha intervención quirúrgica. Determinar justificando las respuestas:

a) [0,75 puntos] La probabilidad de que se produzca alguna complicación en tres niños.

b) [0,75 puntos] La probabilidad de que se produzca alguna complicación en algún niño.

c) [0,5 puntos] El número medio de complicaciones en los 10 niños y la desviación típica.

Sea \( b \in \mathbb{R} \) y la matriz \( A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & b+1 \\ b+2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & b \end{pmatrix} \), se pide:

a) [1 punto] Calcular los valores de \( b \) para los que \( A \) tiene inversa.

b) [1 punto] Hallar \( A^{-1} \) para el caso \( b = 0 \) (debe justificarse adecuadamente la respuesta).

Dadas las matrices \( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \), \( M = \begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 1 \\ a - b & 1 \end{pmatrix} \) y \( N = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \), hallar los valores de \( a \) y \( b \) para que el producto \( A \cdot M \) sea igual a la inversa de la matriz \( N \).

Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta \( r \equiv \begin{cases} x - y - 4z + 1 = 0 \\ x - 2z + 1 = 0 \end{cases} \) y es paralelo a la recta de ecuación \( s \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{-1} = \frac{z}{3} \).

Dados los puntos \( A(1, 2, 1) \), \( B(0, 3, 1) \) y \( C(1, 0, -1) \), determinar:

a) [1 punto] Un vector unitario y ortogonal a los vectores \( \overrightarrow{AB} \) y \( \overrightarrow{AC} \).

b) [0,5 puntos] El ángulo determinado por dichos vectores.

c) [0,5 puntos] El área del triángulo que forman \( A \), \( B \) y \( C \).

Hallar los intervalos de crecimiento y los puntos extremos de la función \( f(x) = x^2 \cdot e^{-x} \).

Calcular el valor de \( a \) para que la función:

\[ f(x) = \begin{cases} \frac{\sin(x) - x \cdot e^x}{x^2 - 2 \cos(x) + 2} & \text{si } x \neq 0 \\ a & \text{si } x = 0 \end{cases} \]

sea continua en \( x = 0 \).

Hallar una primitiva \( F(x) \) de la función \( f(x) = (2x + 5) \cdot e^{-2x} \) que cumpla \( F(0) = 0 \).

Calcular el área encerrada entre las gráficas de las funciones \( f(x) = x^3 - 5x \) y \( g(x) = -x \).

En una residencia de ancianos el \( 80\% \) de los residentes tiene cuenta de correo electrónico, el \( 60\% \) tiene redes sociales, y el \( 10\% \) no tiene ni correo electrónico ni redes sociales. Se pide calcular la probabilidad:

a) [0,5 puntos] De que un residente use correo electrónico y redes sociales.

b) [0,75 puntos] De que un residente use solo una de las dos cosas.

c) [0,75 puntos] De que un residente use correo electrónico, dado que no usa redes sociales.

Luis es un estudiante bastante despistado y su tutora está harta de que llegue tarde a clase. Ella le propone el siguiente trato: si en los próximos 10 días Luis llega tarde como mucho 3 días, le subirá 1 punto en la nota final de la evaluación. Sabiendo que la probabilidad de que Luis llegue tarde a clase cada día es 0.5, determinar:

a) [0,5 puntos] El tipo de distribución que sigue la variable aleatoria que cuenta el número de días que Luis llega tarde a clase en los próximos 10 días. ¿Cuáles son sus parámetros?

b) [0,75 puntos] ¿Cuál es la media y la desviación típica de esta distribución?

c) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que Luis consiga esa subida de 1 punto en la nota final?