matemáticas aplicadas a las ciencias sociales ii cantabria curso 2023-2024
Curso 2023-2024 - Convocatoria ordinaria
1. El examen consta de seis ejercicios, de los cuales se resolverán únicamente tres [cualesquiera].
2. En caso de intentar resolver más de tres ejercicios, se corregirán únicamente los tres primeros que aparezcan en el cuadernillo del examen.
3. La puntuación máxima de cada ejercicio es de 2,5 puntos (dentro de cada ejercicio, la puntuación máxima de cada apartado se indica entre corchetes). La nota del examen será el resultado de dividir por 0,75 la suma de la puntuación obtenida en los tres ejercicios.
4. Se valorará positivamente la explicación de los diferentes pasos seguidos en la resolución de cada ejercicio, así como la claridad de exposición. No se admitirá ningún resultado que no esté debidamente justificado.
5. Queda prohibido el uso de calculadoras gráficas y/o programables, así como el de cualquier dispositivo con capacidad de almacenar y/o transmitir datos.
6. Los teléfonos móviles deberán estar apagados durante el examen.
Ejercicio 1 [2,5 PUNTOS]
Una empresa de jardinería necesita adquirir \( 300 kg \) de tierra, \( 200 kg \) de piedras decorativas y \( 100 kg \) de semillas para completar un proyecto de diseño de jardines. Al comparar precios entre dos proveedores, A y B, obtiene las siguientes ofertas: El proveedor A le ofrece un precio total de 13000 €. El proveedor B, que está ofreciendo descuentos por renovación de inventario, reduce el precio de la tierra a un tercio del ofrecido por el proveedor A, el de las piedras decorativas a la mitad, y el de las semillas a un quinto, resultando en un ahorro de 8800 € respecto al precio total ofrecido por el proveedor A. Además, se sabe que para el proveedor A, el precio por kg de semillas es dos veces la suma de los precios por kg de tierra y piedras decorativas.
A. [0,9 PUNTOS] Plantee el sistema de ecuaciones que permita calcular el precio por kilogramo de la tierra, las piedras decorativas y las semillas en el proveedor A.
B. [0,8 PUNTOS] Analice la compatibilidad de dicho sistema.
C. [0,8 PUNTOS] Resuélvalo.
Ejercicio 2 [2,5 PUNTOS]
La editorial "EcoReads", comprometida con la sostenibilidad ambiental, planea lanzar dos colecciones de libros: una de guías prácticas sobre sostenibilidad y una colección de libros de cocina vegetariana. Cada guía práctica genera un beneficio de 5 € y cada libro de cocina vegetariana aporta un beneficio de 4 €. Para la producción de estos libros, la editorial emplea dos tipos de papel ecológico: papel reciclado de alta calidad y papel de fibras de bambú. La impresión de una guía requiere \( 60 g \) de papel reciclado y \( 20 g \) de papel de bambú, mientras que cada libro de cocina vegetariana necesita \( 70 g \) de papel reciclado y \( 10 g \) de papel de bambú. La editorial tiene a su disposición \( 4000 g \) de papel reciclado y \( 800 g \) de papel de bambú para su próxima producción. Además, para garantizar una diversificación del catálogo, la editorial decide que se deben publicar al menos 10 libros de cocina vegetariana.
A. [0,75 PUNTOS] Plantee la función objetivo y el conjunto de restricciones que describen el problema.
B. [1 PUNTO] Dibuje la región factible en el plano, calculando sus vértices.
C. [0,5 PUNTOS] ¿Cuántos ejemplares de cada colección debería publicar la editorial para maximizar sus beneficios?
D. [0,25 PUNTOS] ¿A cuánto asciende dicho beneficio?
Ejercicio 3 [2,5 PUNTOS]
Dada la función \( f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} x + 2, & \text { si } x \leq -1 \\ x^2 - 3 x + 5, & \text { si } -1 < x \leq 3 \\ \frac{x - b}{x^2 + 1}, & \text { si } x > 3 \end{array} \right. \)
A. [1,5 PUNTOS] Determine los valores de los parámetros \( a \) y \( b \) para los cuales la función es continua en todo su dominio.
B. [1 PUNTO] Calcule la integral definida \( I = \int_0^2 f(x) \, dx \)
Ejercicio 4 [2,5 PUNTOS]
Dada la función \( f(x) = \frac{2 x^2 + 4 x + 2}{x - 2} \)
A. [0,25 PUNTOS] Obtenga los puntos de corte con los ejes OX y OY.
B. [1 PUNTO] Identifique las asíntotas de la función.
C. [1,25 PUNTOS] Obtenga los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Ejercicio 5 [2,5 PUNTOS]
Un profesor ha determinado que el tiempo que sus estudiantes tardan en completar un examen sigue una distribución normal con una desviación típica de 10 minutos. A partir de una muestra de 100 estudiantes seleccionados al azar, se calcula que el tiempo medio necesario para completar un examen es de 90 minutos.
A. [1,25 PUNTOS] Calcule el intervalo de confianza del \( 93\% \) para el tiempo medio que los estudiantes tardan en completar un examen.
B. [1,25 PUNTOS] ¿Cuál es el número mínimo de estudiantes que habría que considerar para que el error al estimar el tiempo medio empleado en completar un examen, con un nivel de confianza del \( 97\% \), sea de 2 minutos?
Ejercicio 6 [2,5 PUNTOS]
En un instituto, se sabe que el \( 45\% \) de los estudiantes practican algún deporte, el \( 30\% \) participan en actividades artísticas y el \( 25\% \) están involucrados en actividades de voluntariado. Además, se sabe que el \( 60\% \) de los estudiantes que practican deportes, el \( 40\% \) de los que participan en actividades artísticas y el \( 20\% \) de los que están involucrados en actividades de voluntariado también son miembros del consejo estudiantil. Si se escoge al azar un estudiante:
A. [0,5 PUNTOS] ¿Cuál es la probabilidad de que practique deporte y sea miembro del consejo estudiantil?
B. [0,5 PUNTOS] ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante participe en actividades artísticas y no sea miembro del consejo estudiantil?
C. [0,75 PUNTOS] ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante sea miembro del consejo estudiantil?
D. [0,75 PUNTOS] Si un estudiante no es miembro del consejo estudiantil, ¿cuál es la probabilidad de que participe en actividades de voluntariado?
Curso 2023-2024 - Convocatoria extraordinaria
1. El examen consta de seis ejercicios, de los cuales se resolverán únicamente tres [cualesquiera].
2. En caso de intentar resolver más de tres ejercicios, se corregirán únicamente los tres primeros que aparezcan en el cuadernillo del examen.
3. La puntuación máxima de cada ejercicio es de 2,5 puntos (dentro de cada ejercicio, la puntuación máxima de cada apartado se indica entre corchetes). La nota del examen será el resultado de dividir por 0,75 la suma de la puntuación obtenida en los tres ejercicios.
4. Se valorará positivamente la explicación de los diferentes pasos seguidos en la resolución de cada ejercicio, así como la claridad de exposición. No se admitirá ningún resultado que no esté debidamente justificado.
5. Queda prohibido el uso de calculadoras gráficas y/o programables, así como el de cualquier dispositivo con capacidad de almacenar y/o transmitir datos.
6. Los teléfonos móviles deberán estar apagados durante el examen.
Ejercicio 1 [2,5 Puntos]
Una organización encargada de un evento deportivo tiene un presupuesto de 500 euros para adquirir material promocional. El material incluye banderas, camisetas y gorras. Los precios de cada artículo por unidad son de 5, 6 y 2 euros, respectivamente. La cantidad de camisetas debe ser la mitad de la cantidad de gorras, y la suma de banderas y camisetas debe ser 70.
A. [0,9 Puntos] Plantee el sistema de ecuaciones que permite calcular las unidades que deben comprarse de cada artículo si se pretende agotar el presupuesto disponible.
B. [0,8 Puntos] Analice la compatibilidad de dicho sistema.
C. [0,8 Puntos] Resuélvalo.
Ejercicio 2 [2,5 Puntos]
Una empresa de catering ofrece dos tipos de menús: Estándar (A) y Gourmet (B). Preparar un menú A lleva 2 horas y deja un beneficio de 50 euros; un menú B requiere 3 horas y deja un beneficio de 70 euros. La empresa quiere preparar al menos 15 menús, pero no quiere que el número de menús A supere la mitad del número de menús B. Se dispone de un plazo máximo de 96 horas para elaborar todos los menús.
A. [0,75 Puntos] Plantee la función objetivo para maximizar el beneficio y el conjunto de restricciones que describen el problema.
B. [1 Punto] Dibuje la región factible en el plano, calculando sus vértices.
C. [0,5 Puntos] ¿Cuántos menús de cada tipo debe preparar la empresa para maximizar sus beneficios?
D. [0,25 Puntos] ¿A cuánto asciende dicho beneficio?
Ejercicio 3 [2,5 PUNTOS]
Dada la función \( f(x) = x^3 - 3 x + 2 \)
A. [0,5 PUNTOS] Obtenga los puntos de corte con los ejes OX y OY.
B. [1 PUNTO] Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
C. [1 PUNTO] Dibuje la región delimitada por la curva \( y = f(x) \) y la recta \( y = x + 2 \). Calcule el área de esta región.
Ejercicio 4 [2,5 PUNTOS]
Dada la función \( f(x) = \frac{x^2 - 2 x - 3}{x^2 - 1} \).
A. [0,75 PUNTOS] ¿En qué puntos es discontinua \( f(x) \)? ¿De qué tipo de discontinuidad se trata en cada caso?
B. [1,25 PUNTOS] Identifique las asíntotas de la función.
C. [0,5 PUNTOS] Esboce la gráfica de \( f(x) \), indicando únicamente los puntos de discontinuidad, las asíntotas y los cortes con los ejes OX y OY.
Ejercicio 5 [2,5 PUNTOS]
En un estudio sobre bebidas energéticas, se ha determinado que el porcentaje de cafeína por lata sigue una distribución normal con una desviación típica de \( 0,45\% \). Se ha tomado una muestra aleatoria de 120 latas de distintas marcas, y se ha encontrado que el valor promedio del porcentaje de cafeína por lata es de \( 8,75\% \).
A. [1,25 PUNTOS] Obtenga el intervalo de confianza del \( 95\% \) para el valor promedio del porcentaje de cafeína por lata.
B. [1,25 PUNTOS] ¿Cuál es el número mínimo de latas que habría que considerar para que el error cometido al estimar el valor medio del porcentaje de cafeína por lata, con un nivel de confianza del \( 97\% \), fuese de \( 0,1\% \)?
Ejercicio 6 [2,5 PUNTOS]
En una encuesta sobre hábitos de lectura, se encontró que el \( 50\% \) de los lectores prefieren los libros de ficción, el \( 30\% \) prefieren los libros de biografías y el resto prefieren los libros de poesía. Además, se descubrió que el \( 60\% \) de los que prefieren la ficción, el \( 40\% \) de los que prefieren biografías y el \( 25\% \) de los que prefieren poesía también participan en eventos de lectura. Si se escoge al azar una persona:
A. [0,5 PUNTOS] ¿Cuál es la probabilidad de que prefiera los libros de ficción y participe en eventos de lectura?
B. [0,5 PUNTOS] ¿Cuál es la probabilidad de que prefiera los libros de poesía y no participe en eventos de lectura?
C. [0,75 PUNTOS] ¿Cuál es la probabilidad de que participe en eventos de lectura?
D. [0,75 PUNTOS] Si no participa en eventos de lectura, ¿cuál es la probabilidad de que prefiera los libros de ficción?