1A (2,5 puntos)

Considere las matrices

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} -3 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & -2 & -1 \end{pmatrix} \]

1A.a) [1 punto] Razone si \( A \) tiene inversa. En caso afirmativo, calcúlela.

1A.b) [0,5 puntos] Calcule \( C - 3B \).

1A.c) [1 punto] Resuelva la ecuación \( AX + 3B = C \).

1B (2,5 puntos)

Considere el siguiente sistema de ecuaciones:

\[ \left\{ \begin{aligned} x - 3y + z &= 2 \\ -2x + 2z &= 0 \\ -x - 3y + 3z &= a \end{aligned} \right. \]

dependiente del parámetro \( a \in \mathbb{R} \). Determine si este sistema es incompatible, compatible determinado o compatible indeterminado en el caso en que:

1B.a) [1,25 puntos] \( a = 2 \). Resuélvalo si es compatible.

1B.b) [1,25 puntos] \( a = 8 \). Resuélvalo si es compatible.

2A (2,5 puntos)

Considere la siguiente función definida a trozos

\[ f(x) = \begin{cases} x^3 - 6x^2 + 9x, & \text{si } x \leq 3 \\ \ln(x^2 - 9), & \text{si } x > 3 \end{cases} \]

donde \( \ln \) denota al logaritmo neperiano.

2A.a) [0,5 puntos] Determine el dominio de definición de \( f(x) \).

2A.b) [0,75 puntos] Determine los intervalos de continuidad de \( f(x) \).

2A.c) [0,5 puntos] Halle los puntos de corte de \( f(x) \) con el eje OX de abscisas.

2A.d) [0,75 puntos] Calcule la(s) asintota(s) de \( f(x) \) y diga de qué tipo(s) es(son), si la(s) tiene.

2B (2,5 puntos)

Considere la función \( f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} \).

2B.a) [0,5 puntos] Determine la parte del dominio de definición de \( f(x) \) en que es decreciente.

2B.b) [1 punto] Determine la parte del dominio de definición de \( f(x) \) en que es cóncava.

2B.c) [1 punto] Determine los puntos de inflexión de \( f(x) \).

Considere el punto \( P = (1, 5, 0) \) y la recta \( r: \left\{ \begin{array}{l} x + y - 2 = 0 \\ 2x - z - 1 = 0 \end{array} \right. \)

3.a) [0,75 puntos] Obtenga la ecuación de la recta paralela a \( r \) que pase por el punto \( P \).

3.b) [1,25 puntos] Considere un punto \( P' \) en \( r \) y un vector dirección de \( r \). Calcule el área del paralelogramo determinado por \( \overrightarrow{P'P} \) y el vector dirección de \( r \) elegido.

3.c) [0,5 puntos] Calcule la distancia entre \( P \) y \( r \).

4A (2,5 puntos)

Determinada enfermedad es curable si se trata antes de que aparezcan sus síntomas. Para poder tratar a los pacientes a tiempo, se pasa un test a la mayor parte de la población. El 1,5% de la población sufre esta enfermedad. La probabilidad de que, no sufriendo la enfermedad, el test dé positivo es 0,021 y la de que, si estás enfermo, dé negativo también es 0,021.

4A.a) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de no sufrir la enfermedad?

4A.b) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que el test dé positivo si la persona está enferma?

4A.c) [1,25 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que la persona esté enferma si el test ha dado positivo?

4B (2,5 puntos)

Sean \( A \) y \( B \) dos sucesos asociados a un experimento aleatorio tales que \( P(A) = 0,8 \), \( P(B) = 0,5 \) y \( P(A \cup B) = 1 \).

4B.a) [0,5 puntos] Calcule \( P(A \cap B) \).

4B.b) [0,75 puntos] Razone si \( A \) y \( B \) son independientes.

4B.c) [0,5 puntos] Calcule \( P(B^c) \), con \( B^c \) el suceso contrario a \( B \).

4B.d) [0,75 puntos] Calcule \( P(A^c \cap B^c) \), con \( A^c \) el suceso contrario a \( A \).