1. (2 puntos) Se consideran las matrices \( A \) y \( B \) dadas por

\[ A = \begin{pmatrix} a & 2 & 1 \\ 2 & a & 1 \\ 1 & 4 & c \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ c \end{pmatrix} \]

a) (1 punto) Determine los valores de los parámetros \( a, c \in \mathbb{R} \) para los que se verifica

\[ A \cdot B = 6 B \]

b) (1 punto) Para \( a = 1 \) y \( c = -1 \), calcule \( B^t \cdot A \cdot B \), donde \( B^t \) denota la matriz transpuesta de \( B \).

2. (2 puntos) Se considera la función real de variable real definida por la siguiente expresión:

\[ f(x) = x^3 + x^2 - x - a, \quad a \in \mathbb{R} \]

a) (1 punto) Obtenga el valor del parámetro real \( a \) para que la función \( f(x) \) tenga una primitiva que pase por los puntos \( (0,1) \) y \( (-1,1/4) \). Señale la expresión de esta primitiva.

b) (1 punto) Para \( a = 1 \), determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función clasificando, si procede, los extremos relativos de la función.

3. (2 puntos) Se considera la función real de variable real definida por la siguiente expresión:

\[ f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 1}{x - 1} & \text{si } x < 1 \\ x^2 + 2x + 1 & \text{si } x \geq 1 \end{cases} \]

a) (1 punto) Estudie la continuidad de la función \( f(x) \) e indique el tipo de discontinuidad si procede.

b) (1 punto) Calcule el área de la región acotada del plano delimitada por la gráfica de la función anterior, el eje de abscisas y las rectas \( x = 1 \) y \( x = 2 \).

4. (2 puntos) Se considera la siguiente función real de variable real:

\[ f(x) = \frac{x^3 + 4x}{x^2 - 4} \]

a) (1 punto) Determine las asíntotas de esta función.

b) (1 punto) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la función en el punto de abscisa \( x = -1 \).

5. (2 puntos) Se desea vender batido de chocolate y batido de fresa en una fiesta escolar para recaudar fondos para({ el viaje de fin de curso. Con la leche de la que se dispone se pueden elaborar 35 litros de batido, y hay cacao en polvo para 30 litros de batido de chocolate como máximo. Se necesitan 15 minutos de preparación por litro de batido de chocolate y 20 minutos por litro de batido de fresa para que tengan la textura correcta. Los batidos tienen que estar listos en 10 horas. Solo hay una batidora y el beneficio que se obtendrá por litro de batido de chocolate es de 10 euros, y por litro de batido de fresa de 11 euros. ¿Cuántos litros de cada tipo de batido se deben producir para maximizar los beneficios? ¿Cuál es el beneficio máximo?

6. (2 puntos) Una caja de Lego contiene un total de 50 piezas de tres tipos diferentes (A, B, C). La cantidad de piezas del tipo A más la del tipo B es igual a cuatro veces la cantidad del tipo C. Si a las piezas del tipo A le sumamos el doble de las piezas del tipo B y cuatro veces las del tipo C, el total de piezas de la caja sería de 100. Plantee un sistema de ecuaciones para saber la cantidad de piezas de cada tipo que contendrá la caja.

7. (2 puntos) Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real \( \alpha \):

\[ \begin{cases} a^2 x - a y = a \\ a^3 x - y = 1 \end{cases} \]

a) (1 punto) Discuta el sistema en función de los valores del parámetro \( a \).

b) (1 punto) Resuelva el sistema de ecuaciones para \( a = 2 \).

8. (2 puntos) Un estudio europeo sobre hábitos de uso de internet indica que el 62% de los hombres españoles mayores de 16 años participa en redes sociales y que el 81% lee noticias en internet. Además, el 95% de los hombres de este estudio participa en redes sociales o lee noticias en internet. Eligiendo un hombre español mayor de 16 años al azar, calcule la probabilidad de que:

a) (1 punto) Participe en redes sociales y lea noticias en internet.

b) (1 punto) No participe en redes sociales, dado que no lee noticias en internet.

9. (2 puntos) Se sabe que la proporción de hogares españoles con dos o más ordenadores es \( p = 0,75 \). Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño \( n = 140 \) hogares. Determine:

a) (1 punto) El número esperado de hogares que no tendrán dos o más ordenadores en la muestra elegida.

b) (1 punto) La probabilidad de que, en la muestra de 140 hogares, el número de ellos con dos o más ordenadores sea entre 98 y 112 hogares.

10. (2 puntos) Durante el adiestramiento de un perro para encontrar trufas, se le deja libre una vez al día en una zona de monte apropiada para encontrar este preciado hongo. En cada operación de búsqueda del animal se ha observado que este se dirige siempre hacia una de tres zonas de monte diferentes, denominadas \( A \), \( B \) y \( C \). En dos de cada diez operaciones de búsqueda se dirige hacia \( A \), en cinco de cada diez hacia \( B \) y el resto hacia \( C \). El perro detecta trufas en \( A \) un 35% de las veces, un 15% en \( B \) y un 40% en \( C \). Eligiendo al azar un perro en adiestramiento, calcule la probabilidad de que:

a) (1 punto) Detecte una trufa en una operación de búsqueda.

b) (1 punto) Sabiendo que ha encontrado una trufa, esta haya sido encontrada en la zona \( B \).

1. (2 puntos) Se considera la matriz \( A \) dada por:

\[ A = \begin{pmatrix} 1 - a & -2 & -1 \\ 1 & a & 1 \\ 2 & -2 & a \end{pmatrix} \]

a) (1 punto) Determine los valores del parámetro \( a \in \mathbb{R} \) para los que exista la inversa de \( A \).

b) (1 punto) Para \( a = -2 \), calcule \( A^{-1} \).

2. (2 puntos) Sea \( f(x) \) una función real de variable real cuya derivada viene dada por la siguiente expresión:

\[ f'(x) = x^2 + x - 2 \]

a) (1 punto) Obtenga la expresión de la función \( f(x) \) sabiendo que pasa por el punto \( (0, 2) \).

b) (1 punto) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función \( f(x) \), clasificando sus extremos relativos, si procede.

3. (2 puntos) Se considera la función real de variable real definida por la siguiente expresión:

\[ f(x) = \begin{cases} x^2 - x + e^2 & \text{si } x < 1 \\ a e^{2x} & \text{si } x \geq 1 \end{cases} \]

a) (1 punto) Halle el valor del parámetro \( a \in \mathbb{R} \) para que \( f(x) \) sea continua en todo su dominio.

b) (1 punto) Para \( a = 1 \), calcule el área de la región acotada del plano delimitada por la gráfica de la función anterior, el eje de abscisas y las rectas \( x = 1 \) y \( x = 2 \).

4. (2 puntos) Se considera la siguiente función real de variable real:

\[ f(x) = \frac{x - 2}{x^2 - 9} \]

a) (1 punto) Determine las asíntotas de esta función.

b) (1 punto) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la función en el punto de abscisa \( x = 0 \).

5. (2 puntos) Se dispone de 60 gramos de ácido acetilsalicílico para elaborar tabletas en dos formatos, de 4 gramos y de 3 gramos respectivamente. Se necesitan al menos tres tabletas de 4 gramos, al menos ocho tabletas de 3 gramos y al menos el doble de tabletas de 3 gramos que de 4 gramos. Cada tableta de 4 gramos proporciona un beneficio de 1,5 euros y cada tableta de 3 gramos proporciona un beneficio de 1 euro. ¿Cuántas tabletas deberían fabricarse de cada tipo para maximizar el beneficio? ¿Cuál es el beneficio máximo?

6. (2 puntos) Un equipo de baloncesto regional ha vendido tres tipos de entradas para su último partido. Las entradas generales se han vendido a 10 euros, las entradas para estudiantes a 8 euros y las entradas infantiles a 5 euros. El equipo ha conseguido vender 600 entradas y ganar 4900 euros. Además, se sabe que ha vendido el doble de entradas generales que de entradas infantiles. Plantee el sistema de ecuaciones y resuelva para calcular el número de entradas vendidas de cada tipo.

7. (2 puntos) Se considera el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro \( a \in \mathbb{R} \):

\[ \begin{cases} 2x + y + z = a \\ x + a y + z = a + 1 \\ x + y + a z = 2 \end{cases} \]

a) (1 punto) Discuta el sistema en función de los valores del parámetro \( a \).

b) (1 punto) Resuelva el sistema de ecuaciones para \( a = 1 \).

8. (2 puntos) En un festival de música con 200 asistentes se observa que a 90 personas les gusta el pop, a 70 el techno y a 30 les gustan ambos géneros. Eligiendo al azar a un asistente del festival, calcule la probabilidad de que:

a) (1 punto) Le guste al menos uno de los dos géneros musicales.

b) (1 punto) Le guste el techno pero no el pop.

9. (2 puntos) La cantidad de agua absorbida por un tipo particular de planta acuática se puede modelar con una variable aleatoria con distribución normal de media \( \mu \) y desviación típica \( \sigma = 8 \, \text{ml} \).

a) (1 punto) Se selecciona aleatoriamente una muestra de 25 plantas acuáticas y se determina que la cantidad media de agua absorbida es de \( 120 \, \text{ml} \). Calcule un intervalo de confianza del 95% para la media de la cantidad de agua absorbida por este tipo de planta acuática.

b) (1 punto) Determine el tamaño mínimo de la muestra necesario para que el error máximo, en la estimación de la media de la cantidad de agua absorbida, sea menor que \( 1 \, \text{ml} \), con un nivel de confianza del 90%.

10. (2 puntos) En tres tanques, A, B y C, de una piscifactoría se crían, respectivamente, el 35%, el 20% y el 45% de los alevines de salmón noruego. Se sabe que el 15% de los alevines criados en el tanque A, el 30% de los alevines criados en el tanque B y el 25% de los alevines criados en el tanque C miden más de \( 35 \, \text{mm} \). Eligiendo al azar un alevín de salmón noruego, calcule la probabilidad de que:

a) (1 punto) Mida más de \( 35 \, \text{mm} \).

b) (1 punto) Sabiendo que no mide más de \( 35 \, \text{mm} \), proceda del tanque C.

1. (2 puntos) Se consideran las matrices \( A \) y \( B \) dadas por:

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 \\ -1 & 0 & -1 \\ -2 & 2 & 0 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \]

a) (1 punto) Calcule \( A \cdot B \) y \( A^3 \cdot B \).

b) (1 punto) Determine el valor del determinante de la matriz \( A - 2 I \), donde \( I \) denota la matriz identidad de tamaño \( 3 \times 3 \).

2. (2 puntos) La siguiente derivada de una función real de variable real representa la tasa de variación instantánea de una sustancia disuelta en agua:

\[ f'(t) = \frac{3}{2} \left( t - \frac{1}{2} t^2 \right) \]

siendo \( t \geq 0 \) el tiempo en horas desde que se prepara la disolución.

a) (1 punto) Encuentre la función que proporciona la cantidad de sustancia disuelta en función del tiempo, dado que en \( t = 0 \) la cantidad disuelta es nula.

b) (1 punto) Determine el instante de tiempo en el que la sustancia disuelta es máxima.

3. (2 puntos) Se considera la función real de variable real definida por la siguiente expresión:

\[ f(x) = \begin{cases} e^{x - 1} & \text{si } x \leq 1 \\ \frac{-x^2}{x - 2} & \text{si } x > 1 \end{cases} \]

a) (1 punto) Determine el dominio de \( f(x) \) y estudie la continuidad en el punto \( x = 1 \).

b) (1 punto) Analice los intervalos de crecimiento y decrecimiento de \( f(x) \).

4. (2 puntos) Se considera la siguiente función real de variable real:

\[ f(x) = \frac{x^5 - 1}{x^4 - 16} \]

a) (1 punto) Determine las asíntotas de esta función.

b) (1 punto) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la función en el punto de abscisa \( x = 0 \).

5. (2 puntos) Se desea vender limonada y naranjada caseras en una verbena popular. Además de agua, de la que disponemos sin limitaciones, cada litro de limonada necesita 4 limones y 80 gramos de azúcar. Cada litro de naranjada necesita 6 naranjas, 1 limón y 50 gramos de azúcar. Se dispone de 80 limones, 72 naranjas y 1720 gramos de azúcar para la elaboración. Cada litro de limonada se venderá a 2 euros y cada litro de naranjada a 2,5 euros. Determine los litros que se deben elaborar de cada una de las dos bebidas para maximizar los ingresos de la venta.

6. (2 puntos) Alba, Benito y Charo son socios de una empresa de reformas. Por un trabajo realizado recibieron 6200 euros que se repartieron en función del tiempo dedicado. La cantidad percibida por Alba excede en 200 euros al total recibido conjuntamente por los otros dos socios. Por otra parte, se sabe que para que Alba y Benito percibieran lo mismo Alba debería entregar a Benito 600 euros. Plantee un sistema de ecuaciones y determine la cantidad percibida por cada socio.

7. (2 puntos) Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real \( a \):

\[ \begin{cases} x + y + a z = 2 \\ x + y + z = a \\ -2 x + 2 a y + 8 z = -13 \end{cases} \]

a) (1 punto) Discuta el sistema en función de los valores del parámetro \( a \).

b) (1 punto) Resuelva el sistema de ecuaciones para \( a = 0 \).

8. (2 puntos) Sean \( A \) y \( B \) dos sucesos tales que \( P(A) = 0,7 \) y \( P(B) = 0,15 \). Además, se sabe que \( P(B \mid A) = 0,8 \) donde \( \bar{B} \) es el suceso complementario de \( B \). Calcule:

a) (1 punto) \( P(A \cup B) \)

b) (1 punto) \( P(\bar{A} \cup \bar{B}) \)

9. (2 puntos) El tiempo que las películas permanecen en cartelera se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media \( \mu \) y desviación típica \( \sigma = 2 \) semanas.

a) (1 punto) Determine el tamaño mínimo que debe tener una muestra aleatoria simple de películas para que el error máximo cometido en la estimación de \( \mu \) sea menor de una semana con un nivel de confianza del 95%.

b) (1 punto) Suponga que \( \mu = 5 \) semanas. Calcule la probabilidad de que al tomar una muestra aleatoria simple de tamaño \( n = 16 \) películas el tiempo medio que han permanecido en cartelera, \( \bar{X} \), sea mayor de 6 semanas.

10. (2 puntos) En la base de datos de Spotify el 80% de las canciones incluidas son de artistas procedentes de EEUU. El 30% de las canciones de artistas procedentes de EEUU incluidas pueden clasificarse como electrónica, el 20% como música urbana y el 50% restante como pertenecientes a otros estilos musicales. Si el artista no procede de EEUU esas probabilidades son de 10%, 50% y 40% respectivamente. Eligiendo al azar una canción de la base de Spotify, calcule la probabilidad de que:

a) (1 punto) La canción pueda clasificarse como música urbana.

b) (1 punto) Sabiendo que la canción puede clasificarse como música urbana, sea de un artista no procedente de EEUU.

1. (2 puntos) Se consideran las matrices \( M \), \( P \) y \( N \) dadas por:

\[ M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & 1 \end{pmatrix} \quad P = \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \end{pmatrix} \quad N = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \]

a) (1 punto) Determine los valores de los parámetros \( a, b, c \in \mathbb{R} \) para los que se verifica:

\[ M \cdot N = 2 N \quad \text{y} \quad (N^t \cdot M)^t + M \cdot P = N \]

b) (1 punto) Para \( a = 0 \), \( b = -1 \) y \( c = -2 \), compruebe que \( M^2 = M + 2 I \), donde \( I \) denota la matriz identidad de tamaño \( 2 \times 2 \), y utilice dicha igualdad para calcular \( M^{-1} \) y \( M^3 \).

2. (2 puntos)

a) (1 punto) Encuentre el valor del parámetro real \( a \) tal que

\[ \int_0^1 (\sqrt{x} - a) \, dx = \frac{2}{3} \]

b) (1 punto) Sea

\[ f(x) = \begin{cases} x^2 - b & \text{si } x < 0 \\ 3x + 2 & \text{si } x \geq 0 \end{cases} \]

Determine para qué valores del parámetro \( b \in \mathbb{R} \) se tiene que \( f(x) \) es una función continua en su dominio. Estudie la derivabilidad de la función para esos valores del parámetro \( b \).

3. (2 puntos) Sea \( f(x) \) una función real de variable real cuya derivada viene dada por la siguiente expresión:

\[ f'(x) = \frac{-1}{x^2} + a \]

a) (1 punto) Obtenga el valor del parámetro real \( a \) para que la función \( f(x) \) pase por los puntos \( (1, 3) \) y \( (2, 7/2) \). Escriba la expresión de la función \( f(x) \).

b) (1 punto) Para \( a = 1 \), determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función \( f(x) \), clasificando sus extremos relativos, si procede.

4. (2 puntos) Se considera la siguiente función real de variable real:

\[ f(x) = \frac{x^2 + 4}{x^2 - 4} \]

a) (1 punto) Determine las asíntotas de esta función.

b) (1 punto) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la función en el punto de abscisa \( x = 1 \).

5. (2 puntos) De entre todos los números reales no negativos y menores o iguales que 10 se buscan dos números tales que el doble del primero menos el segundo no pase de 10 y que el triple del primero más el doble del segundo sea al menos 12. Además, se desea que su suma sea lo menor posible. ¿Cuáles son estos números? ¿Cuál es la suma mínima obtenida?

6. (2 puntos) En una tienda de música se tienen 70 instrumentos distribuidos en tres tipos: guitarras, pianos y violines. Se sabe que la cantidad de pianos más la cantidad de violines es igual a la cantidad de guitarras. Si tuviéramos el mismo número de violines, pero el doble de pianos y cuatro veces el de guitarras, el total de instrumentos en la tienda sería de 180. Plantee un sistema de ecuaciones y determine el número de instrumentos de cada tipo en la tienda.

7. (2 puntos) Se considera el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro \( a \in \mathbb{R} \):

\[ \begin{cases} 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + y + z = 0 \\ 8x + a y + 5z = 2 \end{cases} \]

a) (1 punto) Discuta el sistema para los diferentes valores de \( a \).

b) (1 punto) Resuelva el sistema de ecuaciones para \( a = 3 \).

8. (2 puntos) La observación meteorológica para los días de otoño en Madrid establece que el día está nublado en un 50% de las ocasiones y que la temperatura baja de los 10 grados un 7% de los días. Además, el 35% de los días son nublados o la temperatura baja de los 10 grados. Escogiendo un día de otoño al azar, calcule la probabilidad de que:

a) (1 punto) Esté nublado y la temperatura baje de los 10 grados.

b) (1 punto) No esté nublado, dado que la temperatura no baja de los 10 grados.

9. (2 puntos) El porcentaje de aprobados en asignaturas de primer año en la universidad española se puede aproximar por una variable aleatoria normal de media \( \mu \) y desviación típica \( \sigma = 8 \) puntos porcentuales.

a) (1 punto) Se toma una muestra aleatoria simple de 20 asignaturas de primer año y se obtiene que el porcentaje medio de aprobados en la muestra es de 65 puntos porcentuales. Determine un intervalo de confianza al 99% para \( \mu \).

b) (1 punto) Suponga que \( \mu = 67 \) puntos porcentuales. Calcule la probabilidad de que al tomar una muestra aleatoria simple de 10 asignaturas la media muestral, \( \bar{X} \), esté comprendida entre 65 y 69 puntos porcentuales.

10. (2 puntos) Según los datos del INE, el 45,68% de las familias españolas tienen una renta mensual de 1500 a 3000 euros y el 23,98% de las familias tienen una renta mensual superior a 3000 euros. Entre las familias con menos de 1500 euros mensuales solo el 10% viaja por vacaciones, si el ingreso es de 1500 a 3000 euros mensuales viajan el 40% y si el ingreso es mayor de 3000 euros mensuales viajan el 85%. Eligiendo al azar una familia española, calcule la probabilidad de que:

a) (1 punto) Viaje por vacaciones.

b) (1 punto) Sabiendo que viaja por vacaciones, su ingreso mensual sea mayor de 1500 euros.