Considerad la función \( f(x) = 2 \frac{\ln x}{x} \), definida para \( x > 0 \).

a) [1 punto] Estudiad sus máximos y sus mínimos, y sus zonas de crecimiento y de decrecimiento.

b) [1 punto] ¿Esta función tiene asíntotas? Haced un esbozo de su gráfica.

c) [0,5 puntos] Calculad la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( y = f(x) \) en el punto de abscisa \( x = 1 \).

Considerad el siguiente sistema de ecuaciones:

\[ \begin{array}{r} 4x + 2y - z = 4 \\ x - y + k z = 3 \\ 3x + 3y = 1 \end{array} \]

donde \( k \) es un parámetro real.

a) [1 punto] Discutid el sistema para los diferentes valores del parámetro \( k \), y resolvedlo para \( k = 0 \).

b) [0,75 puntos] Resolved el sistema para \( k = -1 \).

c) [0,75 puntos] Para \( k = -1 \), modificad la tercera ecuación de manera que el sistema resulte incompatible. Justificad la respuesta.

Juan encuentra entre los papeles de su abuelo un esbozo como el de la figura adjunta, donde se describe un terreno de regadío que ha dejado en herencia a su padre. La curva de la gráfica es \( y = f(x) \), con \( f(x) = -x^3 + 7x^2 - 6x + 5 \).

a) [1,25 puntos] A partir de la expresión de \( f(x) \), calculad las coordenadas de los puntos \( P \), \( Q \) y \( R \) indicados en la figura. Calculad también la ecuación de la recta \( PR \).

b) [1,25 puntos] Calculad la superficie del terreno.

Andreu pone las nueve bolas que se muestran a continuación dentro de una bolsa: \( B, A, Y, E, S, F, A, N, S \).

a) A continuación, saca de la bolsa dos bolas al azar, una después de otra y sin reemplazo (es decir, no devuelve a la bolsa la primera bola antes de sacar la segunda).

- [0,5 puntos] Calculad la probabilidad de que la primera bola sea una \( A \) o una \( E \).

- [0,75 puntos] Calculad la probabilidad de que las dos bolas sean diferentes.

b) Andreu vuelve a poner todas las bolas en la bolsa y saca cinco al azar, una detrás de otra, pero ahora con reemplazo (es decir, devolviendo a la bolsa cada bola extraída antes de sacar la siguiente).

- [0,5 puntos] Calculad la probabilidad de que no haya sacado ninguna \( A \).

- [0,75 puntos] Calculad la probabilidad de que haya sacado al menos dos \( A \).

Se quiere construir un pequeño cobertizo de madera de \( 6 \, \text{m}^3 \) de volumen, en forma de prisma rectangular, adosado a la pared lateral de una casa, para guardar leña. Solo hay que construir, por tanto, el tejado y tres paredes (la pared del fondo del cobertizo es la de la casa a la que está adosado). Además, se quiere que el cobertizo mida el triple de anchura que de profundidad. Cada metro cuadrado de pared tiene un coste de construcción de \( 30 \, \text{€} \) y el tejado cuesta \( 50 \, \text{€} \) por metro cuadrado. Una vez construido el cobertizo, añadir una puerta tiene un coste fijo de \( 35 \, \text{€} \).

a) [1,25 puntos] Comprobad que el coste de construcción del cobertizo viene dado por la función \( C(x) = \frac{300}{x} + 150 x^2 + 35 \), donde \( x \) es la profundidad del cobertizo en metros.

b) [1,25 puntos] Calculad cuáles han de ser las dimensiones del cobertizo para que el coste de construcción sea mínimo y justificad la respuesta. ¿Cuál es este coste?

Considerad los puntos \( A = (1, 2, 3) \) y \( B = (-3, -2, 3) \).

a) [1 punto] Calculad la ecuación del plano \( \pi \) que es perpendicular a la recta \( AB \) y que pasa por el punto medio entre \( A \) y \( B \). Justificad que este plano está formado, precisamente, por los puntos \( P = (x, y, z) \) que están a igual distancia de \( A \) que de \( B \), es decir, \( d(P, A) = d(P, B) \).

b) [0,75 puntos] Calculad las distancias de \( A \) y de \( B \) al plano \( \pi \) y comprobad que son iguales. ¿Es casualidad? Razonad la respuesta.

c) [0,75 puntos] Sea \( C = (-7, 6, 3) \). ¿El triángulo \( ABC \) es isósceles? Calculad su área.

Considerad la función \( f(x) = -2 + 10 (x - 1) \ln x \), definida para \( x > 0 \).

a) [0,75 puntos] Comprobad que \( f(x) \) tiene una raíz en el intervalo \( [1, 1.5] \) y buscad un intervalo de una décima de longitud que también contenga esta misma raíz.

b) [1 punto] Sin calcular los puntos críticos, justificad que \( f(x) \) es decreciente en el intervalo \( (0, 1) \) y creciente en \( (1, +\infty) \). ¿Qué máximos y mínimos tiene esta función?

c) [0,75 puntos] Calculad \( \lim_{x \to 0^+} f(x) \) y \( \lim_{x \to +\infty} f(x) \), y haced un esbozo de la gráfica de esta función.

Considerad las matrices \( P = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \), \( Q = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} \) y \( R = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \).

a) [1,25 puntos] Decidid si la matriz \( P \) es invertible y, en caso de serlo, calculad su inversa. Explicad detalladamente el procedimiento seguido.

b) [1,25 puntos] Calculad una matriz \( X \) de 3 filas y 3 columnas que cumpla \( P X + Q = 2 R \).

Considerad las parábolas \( y = f_a(x) \), con \( f_a(x) = a x^2 + 2 x + 5 - a \), donde \( a \) es un parámetro real.

a) [1 punto] Determinad el valor del parámetro \( a \) para el que la recta tangente a \( y = f_a(x) \) en el punto de abscisa \( x = 1 \) pasa por el punto \( (2, 13) \).

b) [0,5 puntos] Calculad los puntos de corte de las parábolas \( y = f_1(x) \) y \( y = f_3(x) \).

c) [1 punto] Calculad el área de la región situada entre las dos parábolas \( y = f_1(x) \) y \( y = f_5(x) \).

Rut usa el siguiente método para hacer los problemas de matemáticas: tira un dado equilibrado y, si el resultado es como máximo 4, piensa y resuelve el problema ella misma; si el resultado es 5 o 6, busca la solución del problema por Internet y la copia. Cuando es ella quien ha pensado la solución, la respuesta es correcta en el 75% de los casos; cuando copia la solución de Internet, la respuesta es correcta solamente en el 40% de los casos.

a) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que la solución de un problema respondido siguiendo este método sea correcta?

b) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que un problema haya sido resuelto por Rut si se sabe que la solución es correcta?

c) [1 punto] Mañana Rut tiene que entregar 5 problemas de matemáticas. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 4 sean correctos?

Carles quiere construir un decorado para la obra de teatro de final de curso en forma de un rectángulo y dos semicírculos, tal como se muestra en la figura adjunta.

a) [1 punto] Determinad el perímetro y el área del decorado a construir en función de \( x \) y de \( y \).

b) [1,5 puntos] Para revestir el perímetro del decorado, Carles tiene material para cubrir hasta \( 10 \, \text{m} \). Si lo quiere gastar todo, ¿cuáles serán las medidas del decorado de área máxima que podrá construir? ¿Cuál es el valor de esta área?

Considerad las rectas \( r: \frac{x - 5}{4} = \frac{y - 4}{3} = \frac{z - 3}{-1} \) y \( s: \left\{ \begin{array}{l} x = 4 + 2k \\ y = 3 + k \\ z = -1 \end{array} \right. \).

a) [1,25 puntos] ¿Cuál es su posición relativa? Calculad la ecuación implícita de un plano \( \pi \) que sea paralelo a las dos rectas y que pase por el origen de coordenadas.

b) [1,25 puntos] Calculad la ecuación de la recta \( t \) que corta las dos rectas \( r \) y \( s \) perpendicularmente.

Considerad la función polinómica \( f(x) = 3x^{13} + 5x^3 + 2 \).

a) [1,25 puntos] Justificad que su gráfica corta el eje de abscisas en un punto del intervalo \( [-2, 0] \). Dad un intervalo de longitud 0,5 donde se encuentre este punto de corte.

b) [1,25 puntos] Estudiad las zonas de crecimiento y de decrecimiento, y los máximos y los mínimos de \( y = f(x) \). ¿Cuántos puntos de corte tiene exactamente la gráfica de esta función con el eje de abscisas? Justificad la respuesta.

Considerad el siguiente sistema de ecuaciones, donde \( m \) es un parámetro real:

\[ \left\{ \begin{array}{c} x - 3y + m z = -2 \\ x + m y + 2z = 3 \\ x + y + 2z = m \end{array} \right\} \]

a) [1,25 puntos] Discutid el sistema según el valor del parámetro \( m \).

b) [0,5 puntos] Encontrad la solución del sistema para \( m = 0 \).

c) [0,75 puntos] Para \( m = 2 \), dad una solución \( (x, y, z) \) del sistema que, además, cumpla \( x = 5y \).

La clase de Elia ha diseñado el siguiente logotipo para pintarlo en la pared del instituto (ver logotipo al final de los enunciados):

La curva que pasa por el punto \( A \) es \( y = f(x) \), con \( f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x \), y la que pasa por los puntos \( B \), \( C = (3, 3) \) y \( D \) es \( y = g(x) \), con \( g(x) = -\left( \frac{x - 1}{2} \right)^2 + 4 \).

a) [0,75 puntos] Calculad las coordenadas de los puntos \( A \), \( B \) y \( D \).

b) [1,25 puntos] Calculad el área de la zona punteada.

c) [0,5 puntos] Los alumnos quieren pintar la parte punteada de color azul y la parte rayada de color rojo. Sabiendo que el área total del logotipo es \( \frac{175}{12} \, \text{m}^2 \), ¿de qué color necesitarán más pintura?

Se estima que el 20% de los habitantes de una región padecen algún tipo de arritmia. Para diagnosticarla, existe la posibilidad de colocar al paciente un monitor Holter, que detecta la arritmia en un 95% de los casos de personas que la padecen, pero que también da falsos positivos, por motivos eléctricos, en personas que no padecen arritmias en un 0,5% de los casos.

a) [0,75 puntos] Si se escogen 4 personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas padezca arritmias?

b) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que una persona escogida al azar obtenga un diagnóstico positivo de arritmia?

c) [1 punto] Si una persona obtiene un diagnóstico negativo en la prueba del Holter, ¿cuál es la probabilidad de que realmente padezca arritmias?

Para cada punto \( (x, y) \) de la curva \( y = e^{-2x} \), con \( x > 0 \) e \( y > 0 \), considerad el rectángulo con vértices en los puntos \( (0, 0) \), \( (x, 0) \), \( (0, y) \) y \( (x, y) \).

a) [1,5 puntos] Comprobad que, de entre todos estos rectángulos, el que tiene \( x = \frac{1}{2} \) es el de área máxima. ¿Cuál es el valor de esta área?

b) [1 punto] Calculad la ecuación de la recta tangente a la función \( y = e^{-2x} \) en el punto de abscisa \( x = 0 \), y su punto de corte con el eje de abscisas.

Considerad el punto \( P = (1, 3, 0) \) y el plano \( \pi \) de ecuación \( x + 2y - 2z = -7 \).

a) [1 punto] Sea \( r \) la recta que es perpendicular a \( \pi \) y pasa por \( P \). Calculad el punto de intersección de \( \pi \) con \( r \).

b) [0,5 puntos] Calculad la distancia \( d \) del punto \( P \) al plano \( \pi \).

c) [1 punto] Calculad la ecuación de otro plano \( \pi' \) que sea paralelo a \( \pi \) y que también esté a distancia \( d \) de \( P \).