matemáticas aplicadas a las ciencias sociales ii de murcia
curso 2023-2024
Curso 2023-2024 - Convocatoria ordinaria
Observaciones importantes: Debes responder a un máximo de 4 preguntas. Cada cuestión tiene una puntuación de 2,5 puntos. Si se responde a más de 4 preguntas, sólo se corregirán las cuatro primeras que haya respondido el estudiante. No se podrán usar calculadoras gráficas ni programables.
CUESTIÓN 1. (2,5 puntos) Discutir el sistema lineal de ecuaciones en función de los valores del parámetro \( a \):
\[ \begin{cases} 2 x + a y + 4 z = 2 \\ a x + 2 y + 6 z = 0 \\ 4 x + 2 a y + 10 z = a \end{cases} \] (2 puntos)
Resolverlo para \( a = 0 \). (0,5 puntos)
CUESTIÓN 2. (2,5 puntos) Una empresa agrícola almacena contenedores de cereales y piensos compuestos. Para poder atender la demanda de todos sus animales, hay que tener almacenado un mínimo de 10 contenedores de cereales y 20 de pienso compuesto. El número de contenedores de cereales no debe ser superior al de piensos y se sabe que la capacidad del almacén es de 200 contenedores. Por cuestiones comerciales, es preciso mantener en el inventario, al menos, 60 contenedores. El gasto de almacenaje de un contenedor de cereales es de 2 € y el de pienso compuesto de 3 €.
a) (2 puntos) ¿Cuántos contenedores de cada clase hay que almacenar para que el gasto de almacenaje sea mínimo?
b) (0,5 puntos) ¿Cuál es este gasto mínimo?
CUESTIÓN 3. (2,5 puntos) La función de coste de una empresa es \( C(q) = q^2 - 18 q + 14 \), donde \( q \) representa las unidades producidas. Sabiendo que el precio de venta, en euros, está relacionado con las unidades producidas según la ecuación de demanda \( p = 10 - q \), se desea conocer:
a) (0,5 puntos) La función de beneficio de esta empresa.
b) (1 punto) El nivel de producción que maximiza el beneficio de la empresa. Razone su resultado.
c) (0,5 puntos) El precio de venta óptimo.
d) (0,5 puntos) El beneficio máximo que puede lograr la empresa.
CUESTIÓN 4. (2,5 puntos) Sea la función definida a trozos:
\[ f(x) = \begin{cases} 3 x - 3 & \text{si } 0 < x < 3 \\ a x^2 - 6 x + 3 a & \text{si } x \geq 3 \end{cases} \]
a) (1 punto) Hallar el valor de \( a \) para que la función sea continua en \( x = 3 \).
b) (1,5 puntos) Para ese valor de \( a \) y para \( x \geq 3 \), calcular la ecuación de la recta tangente que pasa por el punto \( x = 3 \).
CUESTIÓN 5. (2,5 puntos) Dada la función \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} \), calcule:
a) (0,5 puntos) El dominio de la función y los puntos de corte con los ejes.
b) (0,5 puntos) Asíntotas verticales y horizontales.
c) (1 punto) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d) (0,5 puntos) Máximos y mínimos locales.
CUESTIÓN 6. (2,5 puntos) Representar gráficamente el recinto del plano limitado por la parábola \( f(x) = x^2 + 4 \) y la recta \( g(x) = x + 4 \). Calcular su área.
CUESTIÓN 7. (2,5 puntos) Dada la función \( f(x) = \frac{e^x}{e^x + 2} \):
a) (1 punto) Calcular \( \int f(x) \, dx \).
b) (1,5 puntos) Calcular el área de la región delimitada por la gráfica de la función \( f(x) \), y las rectas \( x = 0 \) y \( x = 1 \).
CUESTIÓN 8. (2,5 puntos)
a) En un edificio hay dos ascensores A y B. El 45% de los inquilinos del edificio usa el primero (A) y los restantes el segundo (B). El porcentaje de averías del ascensor A es del 5%, mientras que el segundo se avería un 8% de las veces que se utiliza. Cada vez que un ascensor sufre una avería, éste se para y no funciona.
i. (0,75 puntos) Calcular la probabilidad de que un ascensor, elegido al azar, se averíe.
ii. (0,75 puntos) Si un inquilino queda atrapado un cierto día en el ascensor, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido en el segundo?
b) (1 punto) La duración de los contratos temporales sigue una distribución normal de media desconocida y una desviación típica de 3 meses. Una muestra aleatoria de 100 contratos temporales ha dado una duración media de 10 meses. Obtener un intervalo de confianza al 94% para la duración media de los contratos temporales.
Curso 2023-2024 - Convocatoria extraordinaria
Observaciones importantes: Debes responder a un máximo de 4 preguntas. Cada cuestión tiene una puntuación de 2,5 puntos. Si se responde a más de 4 preguntas, sólo se corregirán las cuatro primeras que haya respondido el estudiante. No se podrán usar calculadoras gráficas ni programables.
CUESTIÓN 1. (2,5 puntos) Dadas las matrices:
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} ; B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} ; C = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} ; D = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \]
Realiza las siguientes operaciones:
a) (0,5 puntos) El producto \( A \cdot B \).
b) (0,5 puntos) La inversa \( C^{-1} \).
c) (0,5 puntos) La diferencia \( D - A \cdot B \).
d) (1 punto) Resuelve la ecuación matricial: \( A \cdot B + C \cdot X = D \); es decir calcula la matriz \( X \).
CUESTIÓN 2. (2,5 puntos) Sea \( S \) la región del plano delimitado por el sistema de inecuaciones:
\[ \begin{cases} x + 2 y \leq 10 \\ x + y \geq 2 \\ 0 \leq x \leq 8 \\ y \geq 0 \end{cases} \]
a) (2 puntos) Representa la región \( S \) y calcule sus vértices.
b) (0,5 puntos) Determine los puntos de la región factible dónde la función \( f(x, y) = 2 x + y \) alcanza su valor máximo y mínimo. Calcule dichos valores.
CUESTIÓN 3. (2,5 puntos) El número de espectadores, en miles de personas, en unas competiciones de atletismo durante las 5 primeras horas de realización de estas pruebas, viene dada por la función \( P(x) = x^3 - 6 x^2 + 9 x + 4 \), donde \( x \) representa el número de horas, \( 1 \leq x \leq 5 \). Determine:
a) (1 punto) ¿En qué intervalo aumenta el número de espectadores a la competición?
b) (0,75 puntos) ¿Cuándo hay un mayor número de espectadores?, ¿Cuántos son?
c) (0,75 puntos) ¿En qué hora hay menos espectadores?, ¿Cuántos son?
CUESTIÓN 4. (2,5 puntos) Dada la función:
\[ f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + 1}{x} & \text{si } x < 1 \\ \frac{a x + b}{x} & \text{si } 1 \leq x \leq 2 \\ \sqrt{x^3 + 1} & \text{si } x > 2 \end{cases} \]
a) (1,5 puntos) Calcular el valor de los parámetros \( a \) y \( b \) para que la función sea continua en todo su dominio.
b) (1 punto) Determine la derivada \( f'(x) \) para \( x > 2 \).
CUESTIÓN 5. (2,5 puntos) Dada la función \( f(x) = \frac{1}{x^2 - 4} \), calcule:
a) (0,5 puntos) El dominio de la función y los puntos de corte con los ejes coordenados.
b) (0,5 puntos) Las asíntotas verticales y horizontales, si las hay.
c) (1 punto) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d) (0,5 puntos) Máximos y mínimos locales.
CUESTIÓN 6. (2,5 puntos) Dada la función \( f(x) = \frac{2 x}{x^2 + 2} \):
a) (1,25 puntos) Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva \( f(x) = \frac{2 x}{x^2 + 2} \) en el punto \( x = 1 \).
b) (1,25 puntos) Calcular el área del recinto limitado por la curva \( f(x) = \frac{2 x}{x^2 + 2} \), el eje de abscisas y la recta \( x = 1 \).
CUESTIÓN 7. (2,5 puntos) Calcular el área de la región plana delimitada por las gráficas de las funciones \( f(x) = x^2 \) y \( g(x) = x + 2 \) y representar gráficamente esta región.
CUESTIÓN 8. (2,5 puntos)
a) Al 45% de los socios de un club le gusta jugar a las cartas, al 40% jugar al dominó y al 23% jugar a las cartas y al dominó. Si elegimos al azar a un socio de este club, calcula las siguientes probabilidades:
i. (0,5 puntos) Que juegue a las cartas o al dominós.
ii. (0,5 puntos) Que no juegue ni a las cartas ni al dominó.
iii. (0,5 puntos) Que juegue a las cartas, sabiendo que juega al dominó.
b) (1 punto) La altura de los estudiantes de una clase se distribuye según una distribución normal de media desconocida \( \mu \) y una desviación típica de 4 cm. Se toma una muestra aleatoria de 16 estudiantes de la clase obteniendo una estatura media de 172 cm. Hallar un intervalo de confianza para la estatura media con un nivel de confianza del 99%.