Problema A1 - La NASA se dispone a lanzar una nave espacial desde la base que tienen en Cabo Cañaveral, Florida.

a) [0.5 puntos] Supongamos que la nave viaja siempre en línea recta. Si se lanza en dirección \(\vec{d} = (2, 3, 6)\) y sabemos que la Luna se encuentra a 384.400 km de la Tierra, ¿cuáles son las coordenadas de la Luna respecto a la base localizada en Cabo Cañaveral?

b) [0.5 puntos] Calcula el plano perpendicular a la trayectoria de la nave y que contiene la Luna.

c) [0.75 puntos] En lugar de lanzar la nave directamente hacia la Luna, normalmente se hace un primer lanzamiento para ajustar la trayectoria y, a continuación, se reajusta la trayectoria hacia el destino deseado. Si, partiendo desde la base, el primer lanzamiento se hace en dirección \(\vec{d}_{\text{inicial}} = (1, 1, 2)\), ¿cuál es la dirección que deben establecer en el reajuste para llegar a la Luna con esta segunda trayectoria?

d) [0.75 puntos] Calcula la intersección de la recta que pasa por la Luna y tiene vector director \((2, 3, 6)\), con el plano \( z = 0 \).

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Problema B1 - Una fábrica de vino de Mallorca produce 3 tipos de vino: tinto, blanco y rosado. Con el fin de saber el precio de cada tipo de vino, hemos comprado vino, el mismo día y en la fábrica misma, de 4 maneras diferentes:

• comprando 3 botellas de vino tinto y 2 de vino blanco hemos pagado 67 €,
• comprando 2 botellas de vino tinto, 4 de vino blanco y 1 de rosado hemos pagado 85 €,
• comprando 1 botella de vino tinto y 1 de vino rosado hemos pagado 21 €, y finalmente,
• comprando 4 botellas de vino blanco y 5 de vino rosado hemos pagado 85 €.

a) [0.75 puntos] Escribe, en forma matricial, el sistema de ecuaciones lineales que se debería resolver para poder descubrir el precio de cada tipo de vino.

b) [0.5 puntos] ¿Es necesario tener los datos de las 4 compras para saber el precio de cada tipo de vino? Justifica la respuesta.

c) [1.25 puntos] Calcula cuál es el precio de cada tipo de vino.

Problema B2 - Considera las matrices:

\[ A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \text{ y } B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \] y sea \( O \) la matriz nula de orden \( 2 \times 2 \).

a) [1 punto] Calcula todas las matrices \( X \) tales que \( AX - X = B \).

b) [0.75 puntos] Encuentra una matriz \( Y \) diferente de \( O \) tal que \( (A - B) Y = O \).

c) [0.75 puntos] Indica todas las matrices \( Z \) que cumplen la igualdad \( AZ = O \).

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Problema C1 - [2.5 puntos] Queremos hacer una valla en un campo rectangular usando diferentes materiales en cada lado. Comenzando por el fondo del campo y moviéndonos alrededor de este en sentido contrario a las agujas del reloj, el coste del material para cada lado es de 6 €/m, 9 €/m, 12 €/m y 14 €/m, respectivamente. Si tenemos que gastar exactamente 1000 € para comprar el material de vallado, determina las dimensiones del campo que maximizarán el área vallada.

Problema C2 - La cantidad de toneladas de agua infectada por una bacteria se espera que siga la función \( f(x) = e^{-x} + 0.15x + 1 \), siendo \( x \geq 0 \) los días de infección y \( f(x) \) las toneladas de agua infectada.

a) [1 punto] ¿Cuántas toneladas de agua había inicialmente infectadas por la bacteria? ¿Hacia qué valor tiende la cantidad de agua infectada? Interpreta los resultados.

b) [1 punto] ¿En qué momento hay menos cantidad de agua infectada? ¿Cuántas toneladas hay en ese momento?

c) [0.5 puntos] ¿Hay... [Nota: El enunciado está incompleto en el original].

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Problema D1 - Sean \( A \) y \( B \) dos sucesos de un mismo espacio muestral tales que satisfacen que \( P(A \cup B) = 0.7 \), \( P(A \cap B) = 0.1 \) y \( P(A \cap B^c) = 0.35 \) (siendo \( B^c \) el suceso complementario de \( B \)), calcula:

a) [0.75 puntos] \( P(A) \).

b) [0.75 puntos] \( P(B) \).

c) [0.5 puntos] \( P(A^c \cup B^c) \).

d) [0.5 puntos] ¿Son \( A \) y \( B \) sucesos independientes?

Problema D2 - El 38% de los habitantes de un pueblo afirman que su deporte preferido es la natación, mientras que el 21% prefieren el ciclismo y el resto se inclinan más por otros deportes. Si se escoge al azar una persona y, a continuación, otra diferente, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:

a) [0.75 puntos] Que las dos personas sean aficionadas a la natación.

b) [0.75 puntos] Que una de las dos personas sea aficionada al ciclismo y la otra a la natación.

c) [1 punto] Sabiendo que la primera prefiere el ciclismo, que la segunda no prefiera este deporte.