Problema 1A (2,5 puntos)

a) [1,5 puntos] Discutir el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro \( a \in \mathbb{R} \):

\[ \left\{ \begin{array}{c} x + \frac{y}{2} + z = 0 \\ 2a x + y = 0 \\ 2x + y + a z = 0 \end{array} \right. \]

b) [1 punto] Resolverlo para \( a = 1 \).

Problema 1B (2,5 puntos)

a) [1,5 puntos] Dadas las matrices \( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \), \( B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \), \( C = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) y \( D = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \), hallar la matriz \( X \) tal que \( AB + CX = D \).

b) [1 punto] Sea \( M \) una matriz cuadrada de orden 2 tal que \( |M| = -3 \), calcular el determinante de \( 4M \) y el determinante de \( (2M)^{-1} \).

Problema 2 (2,5 puntos)

a) [1 punto] Dada la función \( f(x) = e^{-x}(x - 1) \), determinar su dominio de definición, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos. Esbozar su gráfica.

b) [1 punto] Calcular el área de la región limitada por la gráfica de la función \( f \) y el eje de abscisas en el intervalo \( [1, 3] \).

c) [0,5 puntos] Demostrar que la función \( g(x) = 2x + \sin x \) se anula en un único punto.

Problema 3A (2,5 puntos)

Sean las rectas \( r = \left\{ \begin{array}{l} x = 1 \\ y = \alpha \\ z = \alpha \end{array} \right. \) y \( s = \left\{ \begin{array}{c} x - z = 3 \\ y - 3z = 4 \end{array} \right. \).

a) [1 punto] Estudiar la posición relativa de \( r \) y \( s \).

b) [1 punto] Hallar el punto simétrico a \( P(1, 0, 1) \) respecto de la recta \( r \).

c) [0,5 puntos] Calcular el plano que contiene a la recta \( s \) y al punto \( P(1, 0, 1) \).

Problema 3B (2,5 puntos)

Los puntos \( A(1, 1, 1) \), \( B(2, 2, 2) \) y \( C(1, 3, 3) \) son vértices consecutivos del paralelogramo \( ABCD \).

a) [1 punto] Calcular el área del paralelogramo.

b) [1 punto] Hallar la ecuación general del plano que contiene a dicho paralelogramo.

c) [0,5 puntos] Calcular las coordenadas del vértice \( D \).

Problema 4A (2,5 puntos)

En las pruebas de acceso a la universidad, las notas que se han obtenido por 1000 estudiantes han seguido una distribución normal de media 6,05 y desviación típica 2,5.

a) [1,25 puntos] ¿Cuántos estudiantes han superado el 7? Razona la respuesta.

b) [1,25 puntos] Si tenemos que adjudicar 330 plazas, calcula razonadamente la nota de corte.

Problema 4B (2,5 puntos)

En una oficina del ayuntamiento se asigna un número a cada persona que entra. Se observa que el 70% de las personas que entran son mujeres y que el 40% de los hombres y el 30% de las mujeres que entran son menores de 30 años.

a) [0,5 puntos] Indicar las probabilidades que aparecen en el enunciado utilizando una notación adecuada.

Si se escoge una persona al azar, calcula:

b) [0,5 puntos] La probabilidad de que un número sea asignado a una persona menor de 30 años.

c) [0,75 puntos] La probabilidad de que un número sea asignado a un hombre que no tiene menos de 30 años.

d) [0,75 puntos] Si la persona a la que se le ha asignado un número no tiene menos de 30 años, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre?